函数的单调性 知识点与题型归纳.docx
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函数的单调性知识点与题型归纳
•高考明方向
1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.
2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.
★备考知考情
1.函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的热点,常见问题有:
求单调区间,判断函数的单调性,求参数的取值,利用函数单调性比较数的大小,以及解不等式等.客观题主要考查函数的单调性,最值的确定与简单应用.2.题型多以选择题、填空题的形式出现,若与导数交汇命题,则以解答题的形式出现.
一、知识梳理《名师一号》P15
注意:
研究函数单调性必须先求函数的定义域,函数的单调区间是定义域的子集单调区间不能并!
知识点一函数的单调性
1.单调函数的定义
2.单调性、单调区间的定义
若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做f(x)的单调区间.
注意:
1、《名师一号》P16问题探究问题1关于函数单调性的定义应注意哪些问题?
(1)定义中x1,x2具有任意性,不能是规定的特定值.
(2)函数的单调区间必须是定义域的子集;
(3)定义的两种变式:
设任意x1,x2∈[a,b]且x1 x-x ①f(x1)-f(x2)0⇔f(x)在[a,b]上是增函数; f(x1)-f(x2)0⇔f(x)在[a,b]上是减函数. x-x ②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇔f(x)在[a,b]上是增函数;(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0⇔f(x)在[a,b]上是减函数. 2、《名师一号》P16问题探究问题2单调区间的表示注意哪些问题? 单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号“∪”联结,也不能用“或”联结. 知识点二单调性的证明方法: 定义法及导数法《名师一号》P16高频考点例1规律方法 (1)定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是: ①任取x1、x2∈D,且x1 (“分解因式”、配方成同号项的和等);③依据差式的符号确定其增减性. (2)导数法: 设函数y=f(x)在某区间D内可导.如果f′(x)>0,则f(x)在区间D内为增函数;如果f′(x)<0,则f(x)在区间D内为减函数. 注意: (补充) (1)若使得f′(x)=0的x的值只有有限个, 则如果f′(x)0,则f(x)在区间D内为增函数;如果f′(x)0,则f(x)在区间D内为减函数. 2)单调性的判断方法: 名师一号》P17高频考点例2规律方法定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性(同增异减)、用已知函数的单调性等 (补充)单调性的有关结论1.若f(x),g(x)均为增(减)函数,则f(x)+g(x)仍为增(减)函数. 2.若f(x)为增(减)函数, 则-f(x)为减(增)函数,如果同时有f(x)>0, 3.互为反函数的两个函数有相同的单调性. 4.y=f[g(x)]是定义在M上的函数, 若f(x)与g(x)的单调性相同, 则其复合函数f[g(x)]为增函数; 若f(x)、g(x)的单调性相反, 则其复合函数f[g(x)]为减函数. 简称”同增异减” 5.奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同;偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反. 函数单调性的应用《名师一号》P17特色专题 (1)求某些函数的值域或最值. (2)比较函数值或自变量值的大小. (3)解、证不等式. (4)求参数的取值范围或值. (5)作函数图象. 二、例题分析: (一)函数单调性的判断与证明 例1. (1)《名师一号》P16对点自测1判断下列说法是否正确 (1)函数f(x)=2x+1在(-∞,+∞)上是增函数.() (2)函数f(x)=1在其定义域上是减函数.() (3)已知f(x)=x,g(x)=-2x,则y=f(x)-g(x)在定义域上是增函数.() 答案: √×√ 例1. (2)《名师一号》P16高频考点例1 (1) (2014·北京卷)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是() A.y=x+1B.y=(x-1)2 C.y=2-xD.y=log0.5(x+1) 答案: A. 法一: 定义法 设-1 ∵-1 ∴当a>0时,f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1) ∴函数y=f(x)在(-1,+∞)上单调递增. 同理当a<0时,f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2), ∴函数y=f(x)在(-1,+∞)上单调递减. 法二: 导数法 注意《名师一号》P17高频考点例1规律方法 1.判断函数的单调性应先求定义域; 2.用定义法判断(或证明)函数单调性的一般步骤为: 取值—作差—变形—判号—定论,其中变形为关键,而变形的方法有因式分解、配方法等; 3.用导数判断函数的单调性简单快捷,应引起足够的重视 (二)求复合函数、分段函数的单调性区间例1.《名师一号》P16高频考点例2 (1)求函数y=x-|1-x|的单调增区间; 1,x≥1, y=x-|1-x|= 2x-1,x<1. 作出该函数的图象如图所示. 由图象可知,该函数的单调增区间是(-∞,1]. 例2. (1)《名师一号》P16高频考点例2 (2)求函数y=log1(x2-4x+3)的单调区间. 3 解析: 令u=x2-4x+3,原函数可以看作y=log1u与u=x2-4x+3的复合函数. 3令u=x2-4x+3>0.则x<1或x>3.∴函数y=log1(x2-4x+3)的定义域为 3 (-∞,1)∪(3,+∞). 又u=x2-4x+3的图象的对称轴为x=2,且开口向上,∴u=x2-4x+3在(-∞,1)上是减函数,在(3,+∞)上是增函数. 而函数y=log1u在(0,+∞)上是减函数, ∴y=log1(x2-4x+3)的单调递减区间为(3,+∞),3 单调递增区间为(-∞,1). 注意《名师一号》P17高频考点例2规律方法求函数的单调区间的常用方法 (1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间. (2)定义法: 先求定义域,再利用单调性定义. (3)图象法: 如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间. (4)导数法: 利用导数的正负确定函数的单调区间. 2 例2. (2)(补充)y=log1x-4log1x 2 2 1,+4,+ 1 0,1 4 答案: 增区间: ;减区间: 练习: y=(log2x)2-log2x答案: 增区间: (2,+);减区间: (0,2) 三)利用单调性解(证)不等式及比较大小例1. (1)《名师一号》P17特色专题典例 (1)已知函数f(x)=log2x+1,若x1∈(1,2),x2∈(2,+∞),则() A.f(x1)<0,f(x2)<0B.f(x1)<0,f(x2)>0 C.f(x1)>0,f(x2)<0D.f(x1)>0,f(x2)>0 【规范解答】∵函数f(x)=log2x+1在(1,+∞)上为 增函数,且f (2)=0, ∴当x1∈(1,2)时,f(x1) (2)=0, 当x2∈(2,+∞)时,f(x2)>f (2)=0, 即f(x1)<0,f(x2)>0. 例1. (2)《名师一号》P17特色专题典例 (2)x2-4x+3,x≤0,已知函数f(x)=-x-x2-4x+2x+3,3,x≤x0>,0,则不等式f(a2-4)>f(3a)的解集为() A.(2,6)B.(-1,4)C.(1,4)D.(-3,5) 【规范解答】作出函数f(x)的图象,如图所示,则函数f(x)在R上是单调递减的.由f(a2-4)>f(3a),可得a2-4<3a,整理得a2-3a-4<0,即(a+1)(a-4)<0,解得-1 注意: 本例分段函数的单调区间可以并! 四)已知单调性求参数的值或取值范围 例1. (1)《名师一号》P17特色专题典例(3) (a-2)x,x2 满足对任意的实数 -1,x2 已知函数f(x)=í x è2ø x1≠x2,都有f(x1)-f(x2)0成立,则实数a的取值范 x-x 围为() 13 A.(-∞,2)B.-∞, C.(-∞, 2]D.183,2 【规范解答】函数f(x)是R上的减函数, a-2<0, 13 于是有1由此解得a≤13, a-2×2≤2-1,8 即实数a的取值范围是-∞,183. 例2. (1)(补充)如果函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞,4)上单调递增,则实数a的取值范围是. [答案][-14,0] [解析] (1)当a=0时,f(x)=2x-3,在定义域R上单调递增,故在(-∞,4)上单调递增; (2)当a≠0时,二次函数f(x)的对称轴为直线x=-1,因为f(x)在(-∞,4)上单调递增,所以a<0,且-a1≥4,解 得-1≤a<0.综上所述-1≤a≤0. 例2. (2)(补充若f(x)=x3-6ax的单调递减区间是(-2,2),则a的取值范围是() A.(-∞,0]B.[-2,2]C.{2}D.[2,+∞) [答案]C [解析]f′(x)=3x2-6a, 若a≤0,则f′(x)≥0,∴f(x)单调增,排除A; 若a>0,则由f′(x)=0得x=±2a,当x<-2a和x>2a时,f′(x)>0,f(x)单调增,当-2a 变式: 若f(x)=x3-6ax在区间(-2,2)单调递减, 则a的取值范围是? [点评]f(x)的单调递减区间是(-2,2) 和f(x)在(-2,2)上单调递减是不同的,应加以区分.本例亦可用x=±2是方程f′(x)=3x2-6a=0的两根解得a=2. 例2.(3)(补充) 若函数f(x)=log1(x-ax)在(-3,-2)上单调递减, 2 则实数a的取值范围是() A.[9,12]B.[4,12]C.[4,27]D.[9,27] 答案: A 温故知新P23第9题 若函数f(x)=log1(x2-ax+3a)在区间2 2,+)上单调递减,则实数a的取值范围是 《计时双基练》P217基础7 计时双基练》P217基础8、10 8、设函数f(x)=ax+1在区间(-2,+)上是增函数,那么a的取值范围是 答案: 1,+) x 10、设函数f(x)=x(xa) x-a (2)若a0且f(x)在区间(1,+)内单调递减,求a的取值范围. 答案: 1,+) (五)抽象函数的单调性 例1.(补充)已知f(x)为R上的减函数,那么满足 f(|1|) (1)的实数x的取值范围是() x A.(-1,1)B.(0,1) C.(-1,0)∪(0,1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 答案: C 解析: 因为f(x)为减函数,f(|1|) (1),所以|1|>1,则|x|<1 xx 且x≠0,即x∈(-1,0)∪(0,1). 练习: y=f(x)是定义在-1,1上的增函数, 解不等式f(1-x)f(1-x2)答案: (0,1) 温故知新P12第8题 注意: 解抽象函数的不等式通常立足单调性定义或借助图像求解 例2.《计时双基练》P216培优4 函数f(x)的定义域为(0,+),且对一切x0,y0 x 都有f(x)=f(x)-f(y),当x1时,有f(x)0。 y (1)求f (1)的值; (2)判断f(x)的单调性并加以证明; (3)若f(4)=2,求f(x)在1,16上的值域. 答案: 单调增;0,4注意: 有关抽象函数单调性的证明通常立足定义 练习: 《计时双基练》P218培优4函数f(x)的定义域为(0,+),且对一切x,yR都有f(x)+f(y)=f(x+y),当x0时,有 2f(x)0,f (1)=-. (1)求证: f(x)在R上是减函数; (2)求f(x)在-3,3上的最大值与最小值. 答案: 2;-2 课后作业 一、计时双基练P217基础1-10课本P16-17变式思考1、2; 二、计时双基练P217基础11、培优1-4课本P18对应训练1、2、3 预习第二章第四节函数的奇偶性与周期性补充: 练习1: -x+3a,x<0 函数f(x)=(a>0且a≠1) ax,x≥0 是R上的减函数,则a的取值范围是() 112 A.(0,1)B.[,1)C.(0,]D.(0,] 分析: f(x)在R上为减函数,故f(x)=ax(x≥0)为减函数,可知0 1 ∴≤a<1. 解析: ∵f(x)在R上单调递减,
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