完整word版《离散数学》试题及答案.docx

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完整word版《离散数学》试题及答案

一、填空题

1设集合A,B，其中A＝{1,2,3},B={1,2},则A-B＝{3};（A）-（B）＝{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.

2.设有限集合A,|A|=n,则|（A×A）|=.

3.设集合A={a,b},B={1,2},则从A到B的所有映射是1={（a,1）,（b,1）},2={（a,2）,（b,2）},3={（a,1）,（b,2）},4={（a,2）,（b,1）},其中双射的是3,4.

4.已知命题公式G＝（PQ）∧R，则G的主析取范式是（P∧Q∧R）

5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为12，分枝点数为3.

6设A、B为两个集合,A={1,2,4},B={3,4},则从AB＝{4};AB＝{1,2,3,4};

A－B＝{1,2}.

7.设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是自反性,对称性

传递性.

8.设命题公式G＝（P（QR）），则使公式G为真的解释有（1,0,0）,（1,0,1）,（1,1,0）

9.设集合A＝{1,2,3,4},A上的关系R1={（1,4）,（2,3）,（3,2）},R2={（2,1）,（3,2）,（4,3）},则R1R2={（1,3）,（2,2）,（3,1）},R2R1={（2,4）,（3,3）,（4,2）}_R12={（2,2）,（3,3）.

10.设有限集A,B，|A|=m,|B|=n,则||（AB）|=.

11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A={x|-1≤x≤1,xR},B={x|0≤x<2,xR},则A-B=-1<=x<0,B-A={x|1

A∩B={x|0≤x≤1,xR},.

13.设集合A＝{2,3,4,5,6}，R是A上的整除关系，则R以集合形式（列举法）记为

{（2,2）,（2,4）,（2,6）,（3,3）,（3,6）,（4,4）,（5,5）,（6,6）}.

14.设一阶逻辑公式G=xP（x）xQ（x），则G的前束范式是x（P（x）∨Q（x））.

15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加21条边才能把G变成完全图。

（完全图的边数，树的边数为n-1）

16.设谓词的定义域为{a,b},将表达式xR（x）→xS（x）中量词消除，写成与之对应的命题公式是_（R（a）∧R（b））→（S（a）∨S（b））_.

17.设集合A＝{1,2,3,4}，A上的二元关系R＝{（1,1）,（1,2）,（2,3）},S＝{（1,3）,（2,3）,（3,2）}。

则RS＝{（1,3）,（2,2）},

R2＝{（1,1）,（1,2）,（1,3）}.

二、选择题

1设集合A={2,{a},3,4}，B={{a},3,4,1}，E为全集，则下列命题正确的是（C）。

（A）{2}A（B）{a}A（C）{{a}}BE（D）{{a},1,3,4}B.

2设集合A={1,2,3},A上的关系R＝{（1,1）,（2,2）,（2,3）,（3,2）,（3,3）}，则R不具备（D）.

（A）自反性（B）传递性（C）对称性（D）反对称性

3设半序集（A,≤）关系≤的哈斯图如下所示，若A的子集B={2,3,4,5},则元素6为B的（B）。

（A）下界（B）上界（C）最小上界（D）以上答案都不对

4下列语句中，（B）是命题。

（A）请把门关上（B）地球外的星球上也有人

（C）x+5>6（D）下午有会吗？

5设I是如下一个解释：

D＝{a,b},

则在解释I下取真值为1的公式是（D）.

（A）xyP（x,y）（B）xyP（x,y）（C）xP（x,x）（D）xyP（x,y）.

6.若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的是（C）.

（A）（1,2,2,3,4,5）（B）（1,2,3,4,5,5）（C）（1,1,1,2,3）（D）（2,3,3,4,5,6）.

7.设G、H是一阶逻辑公式，P是一个谓词，G＝xP（x）,H＝xP（x）,则一阶逻辑公式GH是（C）.

（A）恒真的（B）恒假的（C）可满足的（D）前束范式.

8设命题公式G＝（PQ），H＝P（QP），则G与H的关系是（A）。

（A）GH（B）HG（C）G＝H（D）以上都不是.

9设A,B为集合，当（D）时A－B＝B.

（A）A＝B（B）AB（C）BA（D）A＝B＝.

10设集合A={1,2,3,4},A上的关系R＝{（1,1）,（2,3）,（2,4）,（3,4）},则R具有（B）。

（A）自反性（B）传递性（C）对称性（D）以上答案都不对

11下列关于集合的表示中正确的为（B）。

（A）{a}{a,b,c}（B）{a}{a,b,c}（C）{a,b,c}（D）{a,b}{a,b,c}

12命题xG（x）取真值1的充分必要条件是（A）.

（A）对任意x，G（x）都取真值1.（B）有一个x0，使G（x0）取真值1.

（C）有某些x，使G（x0）取真值1.（D）以上答案都不对.

13.设G是连通平面图，有5个顶点，6个面，则G的边数是（A）.

（A）9条（B）5条（C）6条（D）11条.

14.设G是5个顶点的完全图，则从G中删去（A）条边可以得到树.

（A）6（B）5（C）10（D）4.

15.设图G的相邻矩阵为，则G的顶点数与边数分别为（D）.

（A）4,5（B）5,6（C）4,10（D）5,8.

三、计算证明题

1.设集合A＝{1,2,3,4,6,8,9,12}，R为整除关系。

（1）画出半序集（A,R）的哈斯图；

（2）写出A的子集B={3,6,9,12}的上界，下界，最小上界，最大下界；

（3）写出A的最大元，最小元，极大元，极小元。

解：

（1）

（2）B无上界，也无最小上界。

下界1,3;最大下界是3

（3）A无最大元，最小元是1，极大元8,12,9;极小元是1

2.设集合A＝{1,2,3,4}，A上的关系R＝{（x,y）|x,yA且xy},求

（1）画出R的关系图；

（2）写出R的关系矩阵.

解：

（1）

（2）

3.设R是实数集合，,,是R上的三个映射，（x）=x+3,（x）=2x,（x）＝x/4,试求复合映射•，•,•,•，••.

解：

（1）•＝（（x））＝（x）+3＝2x+3＝2x+3.

（2）•＝（（x））＝（x）+3＝（x+3）+3＝x+6,

（3）•＝（（x））＝（x）+3＝x/4+3,

（4）•＝（（x））＝（x）/4＝2x/4=x/2,

（5）••＝•（•）＝•+3＝2x/4+3＝x/2+3.

▲4.设I是如下一个解释：

D={2,3},

a

b

f

（2）

f（3）

P（2,2）

P（2,3）

P（3,2）

P（3,3）

3

2

3

2

0

0

1

1

试求

（1）P（a,f（a））∧P（b,f（b））;

（2）xyP（y,x）.

解：

（1）P（a,f（a））∧P（b,f（b））=P（3,f（3））∧P（2,f

（2））

=P（3,2）∧P（2,3）

=1∧0

=0.

（2）xyP（y,x）=x（P（2,x）∨P（3,x））

=（P（2,2）∨P（3,2））∧（P（2,3）∨P（3,3））

=（0∨1）∧（0∨1）

=1∧1

=1.

5.设集合A＝{1,2,4,6,8,12}，R为A上整除关系。

（1）画出半序集（A,R）的哈斯图；

（2）写出A的最大元，最小元，极大元，极小元；

（3）写出A的子集B={4,6,8,12}的上界，下界，最小上界，最大下界.

解：

（1）

（2）无最大元，最小元1，极大元8,12;极小元是1.

（3）B无上界，无最小上界。

下界1,2;最大下界2.

6.设命题公式G=（P→Q）∨（Q∧（P→R））,求G的主析取范式。

解：

G=（P→Q）∨（Q∧（P→R））

=（P∨Q）∨（Q∧（P∨R））

=（P∧Q）∨（Q∧（P∨R））

=（P∧Q）∨（Q∧P）∨（Q∧R）

=（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）

=（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）

=m3∨m4∨m5∨m6∨m7=（3,4,5,6,7）.

7.（9分）设一阶逻辑公式：

G=（xP（x）∨yQ（y））→xR（x），把G化成前束范式.

解：

G=（xP（x）∨yQ（y））→xR（x）

=（xP（x）∨yQ（y））∨xR（x）

=（xP（x）∧yQ（y））∨xR（x）

=（xP（x）∧yQ（y））∨zR（z）

=xyz（（P（x）∧Q（y））∨R（z））

9.设R是集合A={a,b,c,d}.R是A上的二元关系,R={（a,b）,（b,a）,（b,c）,（c,d）},

（1）求出r（R）,s（R）,t（R）；

（2）画出r（R）,s（R）,t（R）的关系图.

解：

（1）

r（R）＝R∪IA＝{（a,b）,（b,a）,（b,c）,（c,d）,（a,a）,（b,b）,（c,c）,（d,d）},

s（R）＝R∪R－1＝{（a,b）,（b,a）,（b,c）,（c,b）（c,d）,（d,c）},

t（R）＝R∪R2∪R3∪R4＝{（a,a）,（a,b）,（a,c）,（a,d）,（b,a）,（b,b）,（b,c）,（b,d）,（c,d）}；

（2）关系图:

11.通过求主析取范式判断下列命题公式是否等价：

（1）G=（P∧Q）∨（P∧Q∧R）

（2）H=（P∨（Q∧R））∧（Q∨（P∧R））

解：

G＝（P∧Q）∨（P∧Q∧R）

＝（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）

＝m6∨m7∨m3

＝（3,6,7）

H=（P∨（Q∧R））∧（Q∨（P∧R））

＝（P∧Q）∨（Q∧R））∨（P∧Q∧R）

＝（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）∨（