概率论与数理统计习题及答案第二章doc.docx
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概率论与数理统计习题及答案第二章doc
习题2-2
1.设A为任一随机事件,且P(A)=p(0
1,
发生
X
A
0,
不发生.
A
写出随机变量
X的分布律.
解
{
=1}=
{
=0}=1-
p
.
P
X
p
PX
或者
X
0
1
P
1-p
p
2.已知随机变量
X只能取-1,0,1,2
四个值,且取这四个值的相应概率依次为
1
3
5,7.试确定常数c,
并计算条件概率P{X
1|X
0}.
2c
4c
8c
16c
解由离散型随机变量的分布律的性质知,
1
3
5
7
1,
2c
4c
8c
16c
37
所以c
.
16
1
P{X
1}
8
所求概率为
{
<1|
X
0
}=
2c
.
PX
P{X
0}
1
5
7
25
2c
8c
16c
3.设随机变量X服从参数为2,
p的二项分布,
随机变量Y服从参数为3,
p的二项分
布,
若P{X≥1}
5
求P{Y≥1}.
9
解
注意p{x=k}=
Cnkpkqnk,由题设
5
P{X≥1}
1
P{X
0}1
q2,
9
故q
1
p
2
从而
.
3
P{Y≥1}
1
P{Y
0}
1(
2
)3
19
.
3
27
4.在三次独立的重复试验中,每次试验成功的概率相同,已知至少成功一次的概率
19
为,求每次试验成功的概率.
27
解设每次试验成功的概率为p,由题意知至少成功一次的概率是19,那么一次都
27
没有成功的概率是
8
.即(1p)3
8
故
p=
1.
27
27
3
5.
若X服从参数为
的泊松分布,
且P{X
1}
P{X
3},求参数.
解
由泊松分布的分布律可知
6
.
6.
一袋中装有
5只球,编号为1,2,3,4,5.
在袋中同时取
3只球,
以X表示取出的3
只球中的最大号码,
写出随机变量X的分布律.
解
从1,2,3,4,5中随机取
3个,以X表示3个数中的最大值,X的可能取值是
3,
4,5,在5个数中取3个共有C53
10种取法.
{
=3}表示取出的
3个数以3为最大值,P{
=3}=C22
=1;
X
X
C53
10
{
=4}表示取出的
3个数以4为最大值,P{
=4}=C32
3;
X
X
C53
10
{
=5}表示取出的
3个数以5为最大值,P{
=5}=C42
3.
X
X
5
C53
X的分布律是
X
3
4
5
P
1
3
3
10
10
5
习题2-3
1.设X的分布律为
X
-1
0
1
P
求分布函数
(),
并计算概率
{<0},
{<2},
{-2≤<1}.
Fx
PXPX
PX
0,
x
1,
解
(1)
0.15,
1≤x
0,
F(x)=
0≤x
1,
0.35,
1,x≥1.
(2)P{X<0}=P{X=-1}=;
(3)P{X<2}=P{X=-1}+P{X=0}+P{X=1}=1;
(4)P{-2≤x<1}=P{X=-1}+P{X=0}=.
2.设随机变量X的分布函数为
(
)=
+arctan
x
-∞<<+∞.
Fx
AB
x
试求:
(1)
常数A与B;
(2)
X落在(-1,1]
内的概率.
解
(1)
由于(-∞)=0,
(+∞)=1,
可知
F
F
A
B(
)
0
1
1
2
A
B
.
A
B(
)
1
2
2
于是
F(x)
1
1arctanx,
x
.
2
(2)P{1
X≤1}
F
(1)
F(
1)
1
1
1
1
arctan(
1))
(
arctan1)(
2
2
1
1
1
1(
)
1.
2
4
2
4
2
3.设随机变量X的分布函数为
F(x)=
0,x0,
x
0≤x1,
1,x≥1,
求P{X≤-1},P{ 解P{X≤1}F (1)0, P{ P{0 (2)-F(0)=1. 5. X的绝对值不大于 1; P{X 1} 1 1} 1 假设随机变量 P{X ;在事件 {1 X 1}出现的条件下, 8 4 X在(-1,1) 内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度 成正比. (1) 求X的分布函数F(x)P{X≤x}; (2) 求X取负值的概率p. 解 (1) 由条件可知, 当x 1时, F(x) 0; 当x 1时, F( 1) 1 ; 当x 1时, 8 F (1)=P{X≤1}=P(S)=1. 所以 P{ 1 X 1} F (1) F( 1) P{X1} 1 1 5 1 4 . 8 8 易见, 在X的值属于( 1,1) 的条件下,事件{ 1 X x}的条件概率为 P{ 1 X ≤x| 1 X1} k[x (1)], 取x=1得到1=k(1+1), 所以k=1. 2 x1. 因此 P{1X≤x|1 X 1} 于是, 对于 1 x1,有 2 P{ 1 X≤x} P{ 1 X≤x, 1 X 1} P{ 1X1}P{1X≤x|1X1} 5 x 1 5x5. 对于x≥1, 8 2 16 有F(x) 1. 从而 0, x 1, F(x) 5x 7, 1 x 1, 16 1, ≥ x 1. (2)X取负值的概率 p P{X 0} F(0)P{X 0} F(0) [F(0) F(0 )] F(0 ) 7. 习题2-4 16 1. 选择题 设f(x) 2x, x [0,c], 则f(x)是某一随机变量的概率 (1) 0, x 如果c=( ), [0,c]. 密度函数. (A) 1 (B) 1 . (C) 1. (D) 3 . 2 . 3 c 2 f(x)dx1 1, 于是c 1 解 由概率密度函数的性质 可得 2xdx 故本题 0 应选(C). (2) 设X~N(0,1),又常数c满足P{X≥c}P{X c}, 则c等于( ). (A) 1. (B) 0. (C) 1 (D)-1. . 2 解 因为P{X≥c} P{X c}, 所以1 P{X c} P{X c},即 2P{X c} 1,从而P{X c}0.5,即(c)0.5, 得c=0.因此本题应选(B). (3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是 ( ). cosx,x [0, ], 1 x 2, (A) f(x) (B) f(x) 0, 其它. 2 0, 其它. 1 (x )2 x ≥ 2 2 e ≥ 0, e x 0, (C) f(x) x (D) f(x) 2 0, x 0. 0, x 0. 解 由概率密度函数的性质 f(x)dx1可知本题应选(D). (4) 设随机变量X~N( 42), Y~N( 52),P1 P{X≤ 4}, P2PY≥ 5}, 则(). (A) 对任意的实数 P1 P2. (B) 对任意的实数 P1 P2. (C) 只对实数 的个别值, 有P1 P2.(D) 对任意的实数 P P. 1 2 解 由正态分布函数的性质可知对任意的实数 有 P1 (1) 1 (1) P2. 因此本题应选(A). X f x f(x) f( x) Fx (5) 设随机变量 的概率密度为 且 又 ()为分布函数,则 对任意实数a, 有( ). a (A) F( a) 1∫0f(x)dx.(B) F( a) (C) F( a) F(a). (D)F a 解由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为 1a 2∫0f(x)dx. 2F(a)1. (B). (6) 设随机变量 X服从正态分布 N( 1,12),Y服从正态分布 N( 2,22),且 P{X 1 1} P{Y 2 1}, 则下式中成立的是( ). (A) σ1< σ2. (B) σ1>σ2. (C) μ1<μ2. (D) μ1 >μ2. 解 答案是(A). X N (0 1) u满足 (7) 设随机变量 服从正态分布 对给定的正数 数 (0,1), P{Xu} 若P{X x} 则x等于( ). (A) u. (B) u . (C) u1-. (D) u1 . 2 1 2 2 解 答案是(C). 2.设连续型随机变量X服从参数为 的指数分布, 要使P{k X 2k} 1 成立, 4 应当怎样选择数k? 解因为随机变量X服从参数为的指数分布,其分布函数为 F(x) 1e x, x 0, 0, x≤0. 由题意可知 1 P{k X2k}F(2k) F(k) (1 e2k) (1ek)ek e2k. 4 于是 k ln2 . 3.设随机变量X有概率密度 f(x) 4x3, 0 x 1, 0, 其它, 要使P{X≥a} P{X a}(其中a>0)成立, 应当怎样选择数a? 解 由条件变形,得到1 P{X a}P{X a}, 可知P{Xa} 0.5,于是 a 3dx 0.5, 因此a 1 4x . 0 4 2 4. 设连续型随机变量 X的分布函数为 0, x 0, F(x) x2, 0≤x≤1, 1, x 1, 求: (1) X的概率密度; (2) P{0.3 X 0.7} . 解 (1) 根据分布函数与概率密度的关系 F(x) f(x), 可得 f(x) 2x, 0 x 1, 0, 其它. (2) P{0.3 X 0.7} F(0.7) F(0.3) 0.72 0.32 0.4. 5. 设随机变量X的概率密度为 2x, 0≤x≤1, f(x)= 其它, 0, 求P{X≤1}与P{ 1 <X≤2}. 2 4 1} 1 1 1 解 P{X≤ 22xdx x2 2 ; 2 0 0 4 P{ 1 X≤2} 1 2xdx x2 1 15. 1 1 4 4 4 16 6.设连续型随机变量X具有概率密度函数 x,0x≤1, f(x)Ax,1x≤2, 0,其它. 求: (1)常数A; (2)X的分布函数F(x). 解 (1)由概率密度的性质可得 1 1 2 (Ax)dx 1 x2 xdx 0 1 2 于是 A 2; (2) 由公式F(x) x f(x)dx可得 当x≤0时,F(x)0;
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