九年级中考数学 几何专题训练全等三角形.docx
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九年级中考数学几何专题训练全等三角形
2021中考数学几何专题训练:
全等三角形
一、选择题(本大题共10道小题)
1.下列各图中a,b,c为三角形的边长,则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是( )
A.甲和乙B.乙和丙C.甲和丙D.只有丙
2.如图,已知∠1=∠2,欲证△ABD≌△ACD,还需从下列条件中补选一个,则错误的选项是( )
A.∠ADB=∠ADCB.∠B=∠C
C.DB=DCD.AB=AC
3.如图,PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D,E,且PD=PE,则△APD与△APE全等的理由是( )
A.SASB.AAAC.SSSD.HL
4.如图,李颖同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最合理的办法是带哪块玻璃去( )
A.只带①B.只带②
C.只带③D.带①和②
5.如图所示,△ABD≌△CDB,下列四个结论中,不正确的是( )
A.△ABD和△CDB的面积相等
B.△ABD和△CDB的周长相等
C.∠A+∠ABD=∠C+∠CBD
D.AD∥BC,AD=BC
6.如图所示,已知△ABC≌△ADE,BC的延长线交DE于点F,∠B=∠D=25°,∠ACB=∠AED=105°,∠DAC=10°,则∠DFB的度数为( )
A.40°B.50°C.55°D.60°
7.如图,AB⊥CD,且AB=CD.E,F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为( )
A.a+cB.b+c
C.a-b+cD.a+b-c
8.(2019•陕西)如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E.若DE=1,则BC的长为
A.2+
B.
C.
D.3
9.如图,平面上到两两相交的三条直线a,b,c的距离相等的点一共有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
10.如图,有一张三角形纸片ABC,已知∠B=∠C=x°,按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开,可能得不到全等三角形纸片的是( )
二、填空题(本大题共8道小题)
11.将两块完全相同的三角尺在∠AOB的内部如图摆放,两块三角尺较短的直角边分别与∠AOB的两边重合,且含30°角的顶点恰好也重合于点C,则射线OC即为∠AOB的平分线,理由是______________________.
12.如图,已知∠ABC=∠DCB,添加下列条件中的一个:
①∠A=∠D,②AC=DB,③AB=DC,其中不能判定△ABC≌△DCB的是________(只填序号).
13.如图,AC与BD相交于点O,且AB=CD,请添加一个条件:
________,使得△ABO≌△CDO.
14.如图,D为Rt△ABC中斜边BC上的一点,且BD=AB,过点D作BC的垂线,交AC于点E.若AE=12cm,则DE的长为 cm.
15.如图,点O在△ABC的内部,且到三边的距离相等.若∠BOC=130°,则∠A=________°.
16.(2019•南通)如图,△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF,若∠BAE=25°,则∠ACF=__________度.
17.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2cm,CD⊥AB,在AC上取一点E,使EC=BC,过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F.若EF=5cm,则AE=________cm.
18.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,E为AB的中点,D为AC上一点,BF∥AC,交DE的延长线于点F,AC=6,BC=5,则四边形FBCD周长的最小值是 .
三、解答题(本大题共4道小题)
19.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,△ABC的面积是142.5cm2,AB=20cm,AC=18cm,求DE的长.
20.如图所示,BE=CF,DE⊥AM于点E,DF⊥AN于点F,点B,C分别在AM,AN上,且BD=CD,AD是∠BAC的平分线吗?
为什么?
21.如图,在菱形ABCD中,AB=5,sin∠ABD=
,点P是射线BC上一点,连接AP交菱形对角线BD于点E,连接EC.
(1)求证:
△ABE≌△CBE;
(2)如图①,当点P在线段BC上时,且BP=2,求△PEC的面积;
(3)如图②,当点P在线段BC的延长线上时,若CE⊥EP,求线段BP的长.
22.如图②,在△ABC中,AB=AC,AB>BC,点D在边BC上,且CD=2BD,点E,F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为15,求△ABE与△CDF的面积之和.
2021中考数学几何专题训练:
全等三角形-答案
一、选择题(本大题共10道小题)
1.【答案】B [解析]依据SAS全等判定可得乙三角形与△ABC全等;依据AAS全等判定可得丙三角形与△ABC全等,不能判定甲三角形与△ABC全等.故选B.
2.【答案】C [解析]当添加条件A时,可用“ASA”证明△ABD≌△ACD;当添加条件B时,可用“AAS”证明△ABD≌△ACD;当添加条件D时,可用“SAS”证明△ABD≌△ACD;当添加条件C时,不能证明△ABD≌△ACD.
3.【答案】D
4.【答案】C [解析]由“ASA”的判定方法可知只带③去就可以配出一块和以前一样(全等)的三角形玻璃.
5.【答案】C [解析]A.∵△ABD≌△CDB,
∴△ABD和△CDB的面积相等,故本选项不符合题意;
B.∵△ABD≌△CDB,
∴△ABD和△CDB的周长相等,故本选项不符合题意;
C.∵△ABD≌△CDB,
∴∠A=∠C,∠ABD=∠CDB.
∴∠A+∠ABD=∠C+∠CDB≠∠C+∠CBD,故本选项符合题意;
D.∵△ABD≌△CDB,
∴AD=BC,∠ADB=∠CBD.
∴AD∥BC,故本选项不符合题意.故选C.
6.【答案】D [解析]因为△ABC≌△ADE,∠B=∠D=25°,∠ACB=∠AED=105°,所以∠CAB=∠EAD=
180°-105°-25°=50°.所以∠DAB=∠CAB+∠DAC=60°.由图易得∠DFB=∠DAB=60°.
7.【答案】D [解析]∵AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD,∴∠CED=∠AFB=90°,∠A=∠C.又∵AB=CD,∴△CED≌△AFB.∴AF=CE=a,DE=BF=b,DF=DE-EF=b-c.∴AD=AF+DF=a+b-c.故选D.
8.【答案】A
【解析】如图,过点D作DF⊥AC于F,
∵AD为∠BAC的平分线,且DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,∴DF=DE=1,
在Rt△BED中,∠B=30°,∴BD=2DE=2
,
在Rt△CDF中,∠C=45°,∴△CDF为等腰直角三角形,
∴CF=DF=1,∴CD=
=
,
∴BC=BD+CD=
,故选A.
9.【答案】A [解析]如图,到三条直线a,b,c的距离相等的点一共有4个.
10.【答案】C [解析]选项A中由全等三角形的判定定理“SAS”证得图中两个小三角形全等.
选项B中由全等三角形的判定定理“SAS”证得图中两个小三角形全等.
选项C中,如图①,∵∠DEC=∠B+∠BDE,
∴x°+∠FEC=x°+∠BDE.
∴∠FEC=∠BDE.
这两个角所对的边是BE和CF,而已知条件给的是BD=CF=3,故不能判定两个小三角形全等.
选项D中,如图②,∵∠DEC=∠B+∠BDE,∴x°+∠FEC=x°+∠BDE.
∴∠FEC=∠BDE.
又∵BD=CE=2,∠B=∠C,
∴△BDE≌△CEF.
故能判定两个小三角形全等.
二、填空题(本大题共8道小题)
11.【答案】角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
12.【答案】② [解析]∵已知∠ABC=∠DCB,且BC=CB,
∴若添加①∠A=∠D,则可由“AAS”判定△ABC≌△DCB;
若添加②AC=DB,则属于“SSA”,不能判定△ABC≌△DCB;
若添加③AB=DC,则可由“SAS”判定△ABC≌△DCB.
13.【答案】∠A=∠C或∠B=∠D或AB∥CD(答案不唯一)
[解析]由题意可知∠AOB=∠COD,AB=CD.
∵AB是∠AOB的对边,CD是∠COD的对边,∴只能添加角相等,故可添加∠A=∠C或∠B=∠D或AB∥CD.
14.【答案】12 [解析]如图,连接BE.∵D为Rt△ABC中斜边BC上的一点,过点D作BC的垂线,交AC于点E,∴∠A=∠BDE=90°.
在Rt△DBE和Rt△ABE中,
∴Rt△DBE≌Rt△ABE(HL).∴DE=AE.∵AE=12cm,∴DE=12cm.
15.【答案】80 [解析]∵点O到△ABC三边的距离相等,∴BO平分∠ABC,CO平分∠ACB.
∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-2(∠OBC+∠OCB)=180°-2(180°-∠BOC)=80°.
16.【答案】70
【解析】∵∠ABC=90°,AB=AC,∴∠CBF=180°–∠ABC=90°,∠ACB=45°,
在Rt△ABE和Rt△CBF中,
,∴Rt△ABE≌Rt△CBF,
∴∠BCF=∠BAE=25°,∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45°+25°=70°,故答案为:
70.
17.【答案】3 [解析]∵∠ACB=90°,∴∠ECF+∠BCD=90°.∵CD⊥AB,∴∠BCD+∠B=90°.
∴∠ECF=∠B.
在△ABC和△FCE中,
∴△ABC≌△FCE(ASA).∴AC=FE.
∵AE=AC-CE,BC=2cm,EF=5cm,
∴AE=5-2=3(cm).
18.【答案】16 [解析]∵BF∥AC,
∴∠EBF=∠EAD.
在△BFE和△ADE中,
∴△BFE≌△ADE(ASA).∴BF=AD.
∴BF+FD+CD+BC=AD+CD+FD+BC=AC+BC+FD=11+FD.
∵当FD⊥AC时,FD最短,此时FD=BC=5,
∴四边形FBCD周长的最小值为5+11=16.
三、解答题(本大题共4道小题)
19.【答案】
解:
∵AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.
设DE=xcm,则S△ABD=
AB·DE=
×20x=10x(cm2),S△ACD=
AC·DF=
×18x=9x(cm2).
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD,∴10x+9x=142.5,
解得x=7.5,∴DE=7.5cm.
20.【答案】
解:
AD是∠BAC的平分线.
理由:
∵DE⊥AM于点E,DF⊥AN于点F,
∴∠DEB=∠DFC=90°.
在Rt△DBE与Rt△DCF中,
∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL).
∴DE=DF.
又∵DE⊥AM,DF⊥AN,
∴AD是∠BAC的平分线.
21.【答案】
(1)证明:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,∠ABE=∠CBE.
在△ABE和△CBE中,AB=BC,∠ABE=∠CBE,BE=BE,
∴△ABE≌△CBE(SAS);
(2)解:
如解图①,连接AC交BD于点O,分别过点A、E作BC的垂线,垂足分别为点H、F,
解图①
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∵AB=5,sin∠ABD=
,
∴AO=OC=
,
∴BO=OD=2
,
∴AC=2
,BD=4
,
∵
AC·BD=BC·AH,
即
×2
×4
=5AH,
∴AH=4,
∵AD∥BC,
∴△AED∽△PEB,
∴
=
,
∴
=
,
即
=
=
,
∴AP=
PE,
又∵EF∥AH,
∴△EFP∽△AHP,
∴
=
,
∴EF=
·AH=
×4=
,
∴S△PEC=
PC·EF=
×(5-2)×
=
;
(3)解:
如解图②,连接AC交BD于点O,
解图②
∵△ABE≌△CBE,CE⊥PE,
∴∠AEB=∠CEB=45°,
∴AO=OE=
,
∴DE=OD-OE=2
-
=
,BE=3
.
∵AD∥BP,
∴△ADE∽△PBE,
∴
=
,
∴
=
,
∴BP=15.
22.【答案】
∵∠1=∠2=∠BAC,且∠1=∠BAE+∠ABE,∠2=∠CAF+∠ACF,∠BAC=∠BAE+∠CAF,
∴∠BAE=∠ACF,∠ABE=∠CAF.
在△ABE和△CAF中,
∴△ABE≌△CAF(ASA).
∴S△ABE=S△CAF.
∴S△ABE+S△CDF=S△CAF+S△CDF=S△ACD.
∵CD=2BD,△ABC的面积为15,
∴S△ACD=10.
∴S△ABE+S△CDF=10.
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