河南省商丘市届高三上学期期末数学理试题Word版含答案.docx
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河南省商丘市届高三上学期期末数学理试题Word版含答案
商丘市2017-2018学年度第一学期期末考试
高三数学(理科)
第I卷(共60分)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的•
1.设A={x||x-2|乞1},B={x|ln(3—2x):
:
:
1},则AB=()
3333
AG:
:
-)B.[1,-)C.(1,-)D.(-,3]
2222
2.已知非零向量m,n的夹角为一,且n_(-2m•n),则匹1=()
3|n|
11
A.1B.2C.D
23
3.《九章算术》上有这样一道题:
“今有垣厚若干尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一
尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢,各穿几何?
”题意是:
“有两只老鼠从墙的两
边打洞穿墙,大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也进一尺,以后每天减半.假设墙厚16尺,现用程序框图描述该问题,则输出n二()
A.2B.4C.6D.8
4.以F(0,号)(p-0)为焦点的抛物线C的准线与双曲线x2-y2=2相交于M,N两点,若
MNF为正三角形,则抛物线C的标准方程为()
A.y2=2、6xb.y2=4、6xC.x2=4、6yD.x2=26y
5.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x-1^f(x1),当0乞x胡时,
f(x)=x2,则
y=f(x)-|log5x|的零点个数为(
A.4B.8C.5D
6.如图,网格纸上小正方形的边长为
1,
粗实线画出的是某几何体的三视图,
则该几何体的
F列命题中的假命题是(
)
7.
体积为()
C.
-(23二)
3
3(2二)
3
A.
:
)二sin:
-
sin
B.
sin(2x•「)都不是偶函数
C.
X。
•R,使X。
-
2
ax°
bx0•c=0(a,b,c•R且未常数)
D.
-a0,函数f(x)=In2
xTnx-a有零点
8.如图,在由x=0,y=0,
八兀,及y=cosx围成区域内任取一点,则该点
cosx围成的区域内(阴影部分)的概率为(
尸&inx
y=ctys.x
A.1-—B
2
2-1
2
9.正项等比数列{an}中,
a2016
卄24
=a2015'2a2014,右aman=16a1,贝V
m
1
的最小值等
n
于(
A.1B
C.
13
~6
10.函数f(x)
2sin(
2x
汀兰戸的部分图像如图所示,且
f(a)二f(b)
二0,对不同的
X1,
X2[a,b],若f(xj=f(X2),有
B.
f(x)在(一,)上是减函数
36
C.
5兀兀
f(x)在(冷方上是增函数
D.
f(x)在(一,^)上是增函数
36
22
xy
11.设双曲线C:
二2=1(a0,b0)的左、
ab
右焦点分别为Fi,F2,IF1F21=2C,过F2
作X轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为
已知Qc,三-),|F2Q|习F?
A|,点P是
双曲线C右支上的动点,且|PF|+|PQ|>
21f.jF2|恒成立,则双曲线的离心率的取
值范围是(
B.(诗。
(7耳)D.(1甘)
12.设曲线f(X)
£x-x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为丨1,总存在曲
线g(x)二3ax
-2cosx上某点处的切线
12,使得11_12,则实数a的取值范围是
A.[-1,2]B.(3,:
:
)C.
[-2,1D•[-1,2
3333
(共90分)
、填空题(每题5分,满分20分,
将答案填在答题纸上)
0兰x兰J3
表示的平面区域I】内的一动点,且不等式
13.若点P(x,y)是不等式组y空•.3
x<、3y
14.已知(X2
2x-ya-0恒成立,则实数a的取值范围是
n的展开式中第五项与第七项的系数之和为0,其中i为虚数单位,则
展开式中常数项为
15.在三棱锥A-BCD中,侧棱AB,AC,AD两两垂直,ABC^ACD,.=ADB的面积分
别为上23,空,则三棱锥A-BCD的外接球的体积为
222
16.设点P是函数y--4-(x-1)2的图像上的任意一点,点Q(2a,a-3)(aR),则
|PQ|的最小值为三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
31*
17.已知数列la「的前n项和Sn,Snana1(nN),且a^1,2a?
,a37成
等差数列.
(1)求数列a/的通项公式;
*1
(2)令bn=2log9an(n•N),求数列{}的前n项和Tn.
18.已知ABC的外接圆半径为R,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且
2R(sin2A—sin2C)=(..3a—b)sinB.
(1)求角C;
(2)若a=4,c=2.、2,求ABC的面积.
19•心理学家发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣
小组中按分层抽样的方法抽取50名同学,给所有同学几何和代数各一题,让各位同学自由
选择一道题进行解答,统计情况如下表:
(单位:
人)
几何题
代数题
总计
男同学
22
8
30
女同学
8
12
20
总计
30
20
50
(1)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关?
(2)现从选择几何题的8名女生中任意抽取两人对他们的答题进行研究,记甲、乙两名女
生被抽到的人数为X,求X的分布列及数学期望
P(K2*)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
2
附表及公式:
2n(ad-be)
k
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
20.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,•ABC二“BAD=90°,
PDC和BDC均为等边三角形,且平面PDC_平面BDC,点E为PB的中点.
(1)求证:
AE〃平面PDC;
(2)求平面PAB与平面PBC所成的锐二面角的余弦值
21.已知圆0:
x2•y2=4,点F(0,-..3),以线段FP为直径的圆内切于圆0,记点P的
轨迹为C.
(1)求曲线C的方程;
(2)若A(xi,yi),B(x2,y2)为曲线C上的两点,记m=(Xi,为,WX2占),且m—n,
试问AOB的面积是否为定值?
如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由
121
22.函数f(x)x-mln、12xmx-2m,其中m
22
(1)求函数f(x)的单调区间;
e1e-1
(2)已知当m(其中e=2.71828…是自然对数)时,在,]上至少存在
222
f(X2)-f(X1)
x2-为
一点X0,使f(x0)e1成立,求m的取值范围;
(3)求证:
当m=-1时,对任意x1,x^(0,1),
商丘市2017—2018学年度第一学期期末考试
高三数学(理科)参考答案
一、选择题
(每小题5
分,共
60分)
(i)
B
(2)
A
(3)D
(4)C
(5)C
(6)A
(7)
B(8)
D
(9)B
(i0)C
(ii)b
(i2)D
二、填空题
(每小题5
分,共
20分)
(i3)
[、3:
:
)
(I4)45
(I5)•6二
(I6)
..5-2
三、解答题(共70分)
31
(17)解:
(I)由Snanai得2Sn=3an-ai,
22
2Sn=3an-ai
由,
2Sn厂3an4-ain一2
做差得an二3an4n-2,又ai-1,2a2,a3'7成等差数列,所以4a?
=曰T'a3'7,
即i2ai-i9ai7,解得a^3,
所以数列是以3为首项公比为3的等比数列,即务=3n.
(n)由b^2log9an=log33n=n,
111
bnbn1nn1
于是
1.1
22
(18)解:
(I):
2R(sin2A-sin2C)*3a-b)sinB,
•••两边同乘以2R得(2RsinA)2-(2RsinC)2=(、.3a-b)2RsinB,
由正弦定理得a2-c2=(-、3a-b)b,即a2b2-c2=Wab,
由余弦定理得cosC=—-c3C.
2ab26
(n)由c2=a2b2—2abcosC得8=16+b2-4、3b,即b2-4.J3b8=0,
解得b=2.、3_2,
_1_
当b=2、32时,SabcabsinC=2、32,
s2
—1—
当b=2、3-2时,SabcabsinC=2、3-2.
(19)解:
(1)由表中数据得K2的观测值K2=50(2212一88)-5.5565.024,
所以根据统计有97.500的把握认为视觉和空间能力与性别有关
15
3070x30x20
151211
•-E(X)=012.
2828282
(20)解:
(I)过点E作EF//BC交PC于点F,连接DF;
取BC的中点G,连接DG,:
DG是等边BCD底边BC的中线,
•DGB=90,
•••ABC=BAD=90,•四边形ABGD是矩形,
1
二AD=BGBC,AD//BC,
2
1
•••EF是BCP底边BC的中位线,•••EFBC,EF//BC,
2
•AD二EF,AD//EF,
•四边形ADFE是平行四边形,•AE//DF,
•••DF-平面PDC,•AE//平面PDC.
(n)以点A为坐标原点,AB为x轴正方向,AD为单位长度建立空间直角坐标系
A-xyz,如图所示,
各个点的坐标分别为
A(0,0,0),BG.3,0,0),C(、、3,2,0),P^^,-^.3),
22
•AB
=(/3,o,o),
=(-辽,3八3),£=(0,2,0),
22
设平面
ABP和平面CBP的法向量分别为口=(片,%,乙),n=(x2,y2,z2)
AB,得
BP=0
3
“,不妨令心,解得心(0,1二
同理得
n=(2,0,1).
设平面
ABP和平面CBP所成的锐二面角为
贝yCOST=
(21)解:
(I)取F(0,-'.3),连结PF',设动圆的圆心为M,•••两圆相内切,
•OM|=2-1|FP,又OM
4|pf,,
•PF|=4>|FF'=2/3,
•••点P的轨迹是以F,F•为焦点的椭圆,
其中2a=4,2c=2、、3,•a=2,c=/3,
•-b2二a2-c2=1,•C的轨迹方程为
2
y-x^i.
4
(n)当AB_x轴时,有%!
=x2,y1
二-y,由m_n,得|%=2X),
2
P%2.
又x-i1,
4
•-X!
yi
=2,
S.AOB-—
x^<2力=丄X2J2況返=1.
22
当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx•m,
y=kxm
22—
y2得(k4)x2kmxm-4=0,7分
x2=1
2
m-4
k24
4
-2km
若X?
—2,X1X2二
k24
mn=0,得%y24xjX2=0,•(kx-)m)(kx2m)4xjX2=0,整理得(k24)x^2km(x1x2)m^0,
22
•-2m=k4,
X1-X2
=g|m丿(片+x2)2—4x^2=2m
、、:
k2_m24
k24
=1,
m
12x
2x2(2m1)x
12x
2x(xm1)
12x
综上所述,AOB的面积为定值1.
(22)解:
(I)易知f(x)的定义域为x^L1,垃
.2
由f(x)=0得:
x=0或.
2
11n
-m,•-m0.
1
二x(--,0)时f(x)•0,f(x)为增函数;
1
x(0,-m)时f(x):
:
0,f(x)为减函数;
x(一m—l,
-
:
:
)时f(x)0,
f(x)为增函数,
11
•••函数的递增区间为x(,0)和x(-m_—,•:
:
),
--
1递减区间为xw(0_m——).
-
1e—1
(n)在x(-■-,—〒]上至少存在一点x°,使f(x0)e1成立,等价于当
1e—1
x(,]时,f(x)maxe1.
--
e1e—1
tm,•-m-一
---
1e—1
由(i)知,(--,0]时,f(x)为增函数,[0,—厂)时,f(x)为减函数.
1e—1•••在X(一-,丁]时,f(X)max二f(0)=-加.
一-me1,即m:
:
-
-
e—1—e
检验,上式满足m,所以m是所求范围.:
学.科.网Z.X.X.K]
--
1-.
(川)当m=-1时,函数f(x)xln1•-x-x•-.构造辅助函数
2
1g(x)=f(x)_§x,
并求导得
g(x)
6x--5x-1(6x1)(x-1)
1-x
显然当(0,1)时,g(x):
:
0,
3(1-x)g(x)为减函数.
3(1-x)
11
•对任意0:
:
:
人:
:
:
x-:
:
:
1,都有g(xj■g(x-)成立,即f(xjx,-f(x-)x-.
33
1
即f(X2)-f(X1)(X2-X1).又•X2-X10,
3
f(x-)-f(xj1
22
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