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材料力学练习册56详细答案
第五章弯曲应力
5-1直径为d的金属丝,环绕在直径为D的轮缘上。
试求金属丝内的最大正应变与最大正应力。
已知材料的弹性模量为E。
解:
■
a
_2_d
p一D厂D+d
I—
22
5-2图示直径为d的圆木,现需从中切取一矩形截面梁。
试问:
(1)如欲使所切矩形梁的弯曲强度最高,h和b应分别为何值;
⑵如欲使所切矩形梁的弯曲刚度最高,h和b应分别为何值;
解:
(1)欲使梁的弯曲强度最高,只要抗弯截面系数
bh1扳宀沪)
r_66
取极大值,为此令
便得
普
便得
(2)欲使梁的弯曲刚度最高,只要惯性矩取极大值,为此令
5-3图示简支梁,由血18工字钢制成,在外载荷作用下,测得横截面A底边的
纵向正应变&=3.0X10-4,试计算梁内的最大弯曲正应力。
已知钢的弹性模量
E=200GPa,a=1m。
解:
梁的剪力图及弯矩图如图所示,从弯矩图可见:
%二2込1
仏-2◎畑<-=2x200x10sx3xl0^4=120MPa
5-4No.20a工字钢梁的支承和受力情况如图所示。
若〔小-160MPa,试求许可载
由梁的强度条件
。
miF 画弯矩图如题5.5图〈c)所示,最大禺 査附录三型钢表,No.20a工字钢的W=237cm\代入上式,可确定许可载荷 30W_3X160X10°X237X10^ ~22 (e) 5-5图示结构中,AB梁和CD梁的矩形截面宽度均为b。 如已知AB梁高为hi, CD梁高为h2。 欲使AB梁CD梁的最大弯曲正应力相等,则二梁的跨度li和12之间应满足什么样的关系? 若材料的许用应力为[二],此时许用载荷F为多大? 解乂C1)柞弯矩图如圈示.两梁的应力: 叫,吆计算 二隔二百二阿 6 _^2才@7)沁―心 (3)应力相等: 叭=巧,亠=~. 厶用+酹 3J7/ ⑷吩专磅引仃 F兰週空 5-6某吊钩横轴,受到载荷F=130kN作用,尺寸如图所示。 已知1=300mm, h-110mm,b=160mm,d。 =75mm,材料的I」TOOMPa,试校核该轴的强 度。 解: (1)弯矩图如图示,中间截面为危险截面• (2)危险截面的抗弯截面系数升理_匕迦£_ 66 -(160-75)x1102xlO^= 6 171.4xl0^m^ (3)最犬正应力 =56-9MPa<[cr]=100MPa. °~la^ W4fF 130xl03xSOOxlO-3 4x171.4x10^ 故: 梁强度足够* 5-7矩形截面梁AB,以固定铰支座A及拉杆CD支承,C点可视为铰支,有关尺寸如图所示。 设拉杆及横梁的Ic.l-160MPa,试求作用于梁B端的许可载荷F 解: (1)CQ杆拉力为2巧, 4N4x2耳r. 据b苗二二二一兰[叩 2 得^[tr]~-x|=6280N (2)梁的最大弯矩在C截面 M_=0.35^, M6xO.35Kr】 0.3.5F =5490N. •”时防_160x106x(30-10)x602xlO-9 20.35x60.35x6 故: 许可载荷尸兰5.49RNo 5-8图示槽形截面铸铁梁,F=10kN,Me=70kNm,许用拉应力[(t]=35MPa,许用压应力[(c]=120MPa。 试校核梁的强度 klNin 解: 先求形心坐标,将图示截面看成一大矩形减去一小矩形 250x150x125-100x200x150— yn==9b.43mm,y.二nS.jf 250x150-100x200 惯性矩 =10186x10®mm4 弯矩图如图所示,C截面的左、右截面为危险截面。 在C左截面,其最大拉、压应力分别为 在C右截面,其最大拉、压应力分别为 故 crtw=60^3MPa,Jc^=45.2MPa 5-9一铸铁梁,其截面如图所示,已知许用压应力为许用拉应力的4倍,即[。 c]=4[(Tt]。 试从强度方面考虑,宽度b为何值最佳。 解: 又因yi+y2=400mm,故yi=80mm,y2=320mm。 将截面对形心轴z取静矩,得 ^=6C6x50-30x340xl50=0 A=510mm 5-10铸铁梁的载荷及横截面尺寸如图所示。 材料的许用拉应力tJ-40MPa。 试 正应力强度条件校核梁的强度。 若载荷不变,但将T形截面倒置,即翼缘在下成®,是否合理? 何故? 5-11图示简支梁,由四块尺寸相同的木板胶接而成,试校核其强度。 已知载荷 F=4kN,梁跨度l=400mm,截面宽度b=50mm,高度h=80mm,木板的许用应力[(T]=7MPa,胶缝的许用切应力[t]=5MPa。 解: 从内力图可见 JFJFl尸$WK-亍1』M]WK-g 木板的最大正应力 %二整小MP包g hn 由剪应力互等定理知: 胶缝的最大切应力等于横截面上的最大切应力 ^=I^r=10NIPa<[rl 2bh 可见,该梁满足强度条件。 第六章弯曲变形 6-1试用积分法求图示梁的转角方程和挠曲线方程。 已知梁的EI为常量。 (图有 问题,支座处) 6-2试用积分法求图示梁的转角方程和挠曲线方程。 已知梁的EI为常量 3解: -o A1L=0M2=-MM2=0 JEJy'=0Efy^=-M砂;=0 E19y=CL 因巳=-Aife+C2 E冷=C3 当龚=o时*X=Q勺工=我时,仇=舄J? =y2 当JC=f+e时,比二%匕=”当=/+2aW^,y=0 得—与―等(DQ 鹹、M 曲=0D2=~~^a/(/ha) MMAf 皿g二一£7^=-Jkf+—(4-)£J^=-— 2工2 MM*M3M. Eg=三氐^y-i-—-~^a~=^i(l-x+2a) l+a a<.x^.£+a 6-3试用积分法求图示梁的转角方程和挠曲线方程。 已知梁的EI为常量 w解七 £7vf=M}二普此一£» E閃二胚一乎(/_力+牝_对 42 EIQ二坐宀纟宀q 86 £70—~^x)2-律。 7)、+Cj S6 Ely.二虫护-g〒+CH+Q ]2424 恋"叙—好十知—初十3+马 已Ji=y2 得=-— i”192 186192 盘忙西y二 '2424192 型叮-里—旦(1齐-必"瞪 22424192192 3 3192 3 E19.二生Q-xf丄Q-好 -86192 6-4T形截面梁,受力如图所示,EI为常数。 求梁的转角方程和挠曲线方程。 EIy\=陆=一15 EI9.=-^x2-丄F+q ■22】 El&2=一15戈+5 EIv,=—x3--x4+C]x+D] 16811 当a=0时,y=0当a=50t,y=0当工=5m时'耳=92y}=yL 得G—3.123C2=35.625D严QD2=-39.375 E19}=—a2--a5-3J25E⑹=-15^+35.625 4+5314ria- =—x——x—3*125jc 68 22 =-—x2+35.6251-39375 2 6-5试用积分法求图示梁的转角方程和挠曲线方程。 已知梁的EI为常量 Eia +G o Me A B 1/2 fF ml 3EI EI0z 6-6试用叠加法计算截面B的转角与截面C的挠度。 已知弯曲刚度EI为常数 %二%+% 所以 盼%+盼竺+旦=廻沁 e割圧16创3EI48因 解: 由叠加原理 查表: 一.三 X6E1 \6E1 (r)解: 支反力如图示. (I十2d) Elyl=M3=倉+2M Q十2d) (I+2cr) 2Mel^2a EIG、= M2 x+Adx+G(I+2d)2 岛52 fP 肿FP+ 的—0小+—— C1342SZ16皿42SZ 6-7试计算图示刚架截面A的水平和铅垂位移。 设弯曲刚度EI为常数。 解: 如图 将B看成为固定端时 叭3E1 2SI Fah ~eF 所以: %詢“咲泌+空奶处对sEEI3EI 3E1 6-8用叠加法计算图示阶梯形梁的最大挠度。 设惯性矩 /V~ ////// 12=2110 (图) h h B( a a F/2 A D D B 解: 刚化: ,则: 牯A? 時时14A? 十aHaHa= 6E厶4E右他2民212削2 刚化丄,则: 所以: 3F^ 气二%+%广4阻 6-9图示悬臂梁,承受均布载荷q与集中载荷ql作用。 试计算梁端的挠度及其方向,材料的弹性模量为E。 解: 只有f作用时, r2皿__3 /4 1_3^,q_8E/i_16Eb 只有「'作用时, .1,4畀灯 ,- 贝U: %朋肆+阮)=201丽 得: 二-乙舌与水平方向夹角为5.36。 斜向上 6-10试求图示梁的支反力。 设抗弯刚度EI为常数 解: 把结构分为两部分来求解。 由于轴力很小,可以忽略不计 对左半部,查表,并利用叠加原理可得B点挠度: qa1朋 对右半部,查表,可得B点挠度: 3E1 由于左右两部分是连接在一起的,所以它们在B点的挠度相等,即: 41二珞 所以, 得: N=一qa 16 取左半部受力分析,求解A处的支反力。 13 II\川_11得: -上: 16 取右半部受力分析,求解C处的支反力 2 二;II丄..-一L,11得: ■-__r■ 6-11图示刚架,弯曲刚度EI为常数,试画刚架的弯矩图 3Mea2 ~2Er飞厂2助 由于C处的实际位移为零'所以: "」1即: -—丄' 求得: R严 刚架A、 B处的弯矩为: 丁 8 刚架C处的弯矩为: 二_丄二由此可以画出刚架的弯矩图 6—12图示匀质梁,放置在水平的刚性平台上。 若伸出台外部分AB的长度为a,试计算台面上拱起部分BC的长度bo设抗弯刚度EI为常数,梁单位长度的重量为q。 解: 可以简化为如下图的计算模型 图⑵, 由11 6x05x200x10sx— 64 6-13图示圆截面轴,两端用轴承支持,承受载荷F=10kN作用。 若轴承处的许用转角bI-0.05rad,材料的弹性模量E=200GPa,试根据刚度要求确定轴径d 解: ,「、二丄,[一JL—,1L— 300 .1.200-1 门盹'一护)10x103x02x[(0.5)2-(0.2)2]143xlO"® 61EI dA==;=: sIJ.Uj 4* 6x0.5x200x109x— 64 门F卅-宀10xl03x03x[(0.5)3-(0J3)a]1.63xW®八心 £&E1」" 得: >23.9mm 6-14图示梁,若跨度I=5m,力偶矩M! =5kN,M^10kN,许用应力 lcI-160MPa,弹性模量E=200GPa,许用挠度! ■.1-I/500,试选择工字钢 M2 —I居x 解: 由于作用产生的挠度方程为: 由于丄i作用产生的挠度方程为: 由叠加原理,且厂•-…i],可得挠度方程为: -3? -6/i+4/2=0 解得: -1代入(i;')式, I_0・1881加十<I炉一~E1~~500 代入数据并计算得: />1175.6cm 很容易求得梁的最大弯矩为 cr=^ W : 62.5cm3 查工字钢表,可以得到,选择No18工字钢合适。 BC为圆截面钢 如载荷F二30kN, C的铅垂位移。 6-15图示结构,悬臂梁AB与简支梁DG均用Nq18工字钢制成杆,直径d=20mm,梁与杆的均弹性模量均为E=200GPa。 试计算梁内的最大弯曲正应力与杆内的最大正应力,以及横截面 解: 把结构分成三部分。 根据作用力与反作用力原理,,防二>厂.二;二、-二/'■ 查表: No18工字钢,1: b处的挠度: ,代入数据得: 「匸二m厂a 33E13EI£ C处的挠度: ‘厂^^-一三-代入数据得: ^=1.21xlO-2-4.02xlO_Ty BC杆的伸长: 由变形协调条件: .-'.i.■'! 1.21x1俨-4.02x1严M-8・03x1Ln二223x1尸AT DG梁C处弯矩最大,梁的抗弯截面系数为185cm3, 横截面C的垂直位移为: ^=L21xlO_a-402xlO_7x9.86xl03=8.14mm
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- 材料力学 练习 56 详细 答案