常微分方程试题及答案docx.docx
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常微分方程试题及答案docx
第十二章常微分方程
(A)
一、是非题
1.任意微分方程都有通解。
(X)
2.微分方程的通解中包含了它所有的解。
(
X)
3.函数y
3sinx
4cosx是微分方程y
y0的解。
(O)
4.函数y
x2ex是微分方程y
2y
y0的解。
(X
)
5.微分方程
xy
lnx
0的通解是
y
1
lnx2
C(
C为任意常数)。
2
(O)
6.y
siny是一阶线性微分方程。
(X)
7.y
x3y3
xy不是一阶线性微分方程。
(
O)
8.y
2y
5y
0的特征方程为r2
2r
5
0。
(O)
9.dy
1
x
y2
xy2是可分离变量的微分方程。
(O
)
dx
二、填空题
1.在横线上填上方程的名称
①
y
3
lnxdx
xdy
0是可分离变量微分方程。
②
xy2
xdx
yx2ydy
0是可分离变量微分方程。
③
xdy
y
lny是齐次方程。
dx
x
④
xy
y
x2sinx是一阶线性微分方程。
⑤
y
y
2y
0是二阶常系数齐次线性微分方程。
2.y
sinxy
x
cosx的通解中应含
3
个独立常数。
3.y
e2x的通解是1e2x
C1xC
2。
4
1
4.y
sin2xcosx的通解是
cosxC1xC2。
sin2x
4
5.xy
2x2y2
x3y
x4
1是
3
阶微分方程。
6.微分方程yy
y6
0是
2
阶微分方程。
7.y
1所满足的微分方程是y
y2
0。
x
8.y
2y的通解为y
Cx2。
x
9.dx
dy
0的通解为x2
y2
C。
y
x
10.dy
2y
5
yCx
12。
x
12,其对应的齐次方程的通解为
dx
x
1
x2
11.方程xy
1
x2
y
0的通解为y
Cxe2
。
12.3阶微分方程y
x3的通解为y
1
x6
C1x
C2x
C3。
120
三、选择题
1.微分方程xyy
xy
3
y4y
0的阶数是(D)
。
A.3B.4C.5D.2
2.微分方程y
x2y
x5
1的通解中应含的独立常数的个数为
(A)。
A.3B.5C.4D.2
3.下列函数中,哪个是微分方程
dy
2xdx
0的解(B)
。
A.y2x
B.yx2
C.y
2xD.yx
2
4.微分方程y
3y3的一个特解是(B
)
。
A.yx3
1B.yx23
C.y
xC2
D.yC1x3
5.函数ycosx是下列哪个微分方程的解(C)。
A.y
y
0
B.y2y
0
C.yn
y0D.yycosx
6.yC1ex
C2ex是方程y
y
0的(A)
,其中C1,C2为任意常数。
A.通解B.特解C.是方程所有的解
D.上述都不对
7.y
y满足y|x0
2的特解是(
B)。
A.yex
1B.y2ex
x
D.y3ex
C.y2e2
8.微分方程y
y
sinx的一个特解具有形式(C)
。
A.y*
asinx
B
.y*
acosx
C.y*
xasinx
bcosx
D
.y*
acosx
bsinx
9.下列微分方程中,(A)是二阶常系数齐次线性微分方程。
A.y2y0
B
.yxy3y2
0
C.5y4x0
D.y2y10
10.微分方程y
y
0满足初始条件y0
1的特解为(A)
。
A.ex
B.ex
1C.ex
1D.2ex
11.在下列函数中,能够是微分方程
y
y
0
的解的函数是(C)。
A.y
1
B.y
x
C.y
sinx
D.y
ex
12.过点1,3且切线斜率为2x的曲线方程y
yx应满足的关系是
(C)。
A.y
2x
B.y
2xC.y
2x,y13
D.y
2x,y13
13.下列微分方程中,可分离变量的是
(
B
)
。
A.dy
y
e
B
.dy
kx
a
b
y
(k,a,b是常数)
dx
x
dx
C.dy
siny
x
D
.y
xy
y2
ex
dx
14.方程y2y
0的通解是(
C)
。
A.y
sinxB.y
4
e2x
C.y
C
e2x
D.y
ex
15.微分方程dx
dy
0
满足y|x3
4的特解是(
A
)
。
y
x
A.
2
2
25
.
.
2
2
D
.
2
2
7
x
y
B3x4yCCx
y
C
x
y
16.微分方程dy
1
y
0
的通解是y
(B
)
。
A.C
dx
x
C.1
B.Cx
C
D.xC
x
x
17.微分方程y
y
0的解为(B
)
。
A.ex
B.ex
C.ex
ex
D.ex
18.下列函数中,为微分方程
xdx
ydy
0的通解是(
B
)
。
A.xyC
B.x2
y2
C
C.Cxy0
D.Cx2
y0
19.微分方程2ydy
dx
0
的通解为(
A)
。
A.y2
xC
B.y
xC
C.yxC
D.y
xC
20.微分方程cosydy
sinxdx的通解是(D)
。
A.sinx
cosy
C
B
.cosy
sinx
C
C.cosx
siny
C
D
.cosx
siny
C
21.y
ex的通解为
y
(
C)
。
A.ex
B.ex
C.ex
C1xC2
D.ex
C1xC2
22.按照微分方程通解定义,y
sinx的通解是(A
)
。
A.sinx
C1x
C2
B
.sinx
C1
C2
C.sinx
C1x
C2
D
.sinx
C1
C2
四、解答题
1.验证函数y
C
e3x
e2x(C为任意常数)是方程dy
e2x
3y的通解,
dx
并求出满足初始条件y|x
0
0的特解。
2.求微分方程
xy2
1dx
y1
x2dy0的通解和特解。
y|x
0
1
解:
1y2
C,2x2
y2
1
1x2
3.求微分方程dy
y
tany的通解。
y
dx
x
x
Cx。
解:
sin
x
y
x
y
4.求微分方程
y
x的特解。
y|x1
2
解:
y2
2x2lnx
2。
5.求微分方程
y
y
cosx
esinx的通解。
解:
yesinx
x
C
6.求微分方程dy
y
sinx的通解。
1
dx
x
xcosx
C
解:
ysinx
x
7
7.求微分方程
x
1y
2yx12
0的特解。
y|x01
解:
y
2
3
x12
3
1x12
3
8.求微分方程y
2yx
满足初始条件x
0,y
1,y
3的特解。
x2
1
解:
y
x3
3x1
9.求微分方程y
2yy满足初始条件x
0,y
1,y
2的特解。
解:
arctany
x
或y
tan
x
4
4
10.验证二元方程x2
xyy2
C所确定的函数为微分方程
x2yy
2x
y的解。
11.求微分方程ex
y
ex
dx
exy
ey
dy
0的通解。
解:
ex
1ey
1
C
12.求dy
y
tanx
secx,y|x0
0的特解。
dx
解:
y
x
cosx
13.验证y1
cosx,y2
sin
x都是y
2y0的解,并写出该方程的通
解。
14.求微分方程y
2y
x2
的通解。
x
解:
y
Cx2
x2lnx
15.求微分方程y
1y
ex
0满足初始条件y1
0的特解。
x
解:
y
ex
ex
x
16.求微分方程dy
x
2
y
x
13的通解。
dx
1
解:
y
x
12
x
12
C
2
17.求微分方程
x
dx
y
dy0满足条件y0
1的特解。
1
y
1
x
解:
2y3
x3
3y2
x2
5
18.求微分方程
y
y
2y
0
的通解。
解:
yC1ex
C2e2x
19.求微分方程y
2y
5y
0
的通解。
解:
y
ex
C1cos2x
C2sin2x
20.求微分方程y
4y
4y
0
的通解。
解:
y
C1
C2xe2x
21.试求y
x的经过点
M0,1
且在此点与直线y
x
1相切的积分曲线。
1
1
2
解:
y
x3
x
1
6
2
(B)
一、是非题
1.可分离变量微分方程不都是全微分方程。
(X)
2.若y1x,y2
x
都是y
Pxy
Qx
的特解,且y1x与y2x线性无关,
则通解可表为yx
y1
xCy1
xy2
x。
(O
)
3.函数y
e1x
e2x是微分方程y
1
2
y
12y0的解。
(
O)
4.曲线在点
x,y
处的切线斜率等于该点横坐标的平方,则曲线所满足的微
分方程是yx2
C(C是任意常数)。
(X)
5.微分方程
y
e2xy,满足初始条件
y|x
0
0的特解为ey1
e2x
1。
2
(
X)
二、填空题
1.y1
cosx与y2sinx是方程y
y
0的两个解,则该方程的通解为
y
C1cosx
C2sinx。
2.微分方程y
2y
3y
0
的通解为y
C1ex
C2e3x。
3.微分方程y
2y
y
0的通解为y
C1
C2xex。
4.微分方程y
e2x的通解是y
1e2x
C1x2
C2x
C3。
8
5.微分方程y
y'的通解是y
C1ex
C2。
6.微分方程dy
2xy的通解是y
C
ex2
。
dx
三、选择题
1.微分方程y
4y
4y
0
的两个线性无关解是(
C
)
。
A.e2x与2e2x
B.e2x与xe2x
C.e2x与xe2x
D.e2x与4e2x
2.下列方程中,不是全微分方程的为(C)
。
A.3x2
6xy2dx
6x2y
4y2dy
0
B.eydxxey
2ydy0
C.yx
2ydx
x2dy
0
D
.
x2
ydx
xdy
0
3.下列函数中,哪个函数是微分方程
s
t
g的解(
C
)
。
A.s
gtB.s
gt2
C.s
1gt2
D.s
1gt2
2
2
4.下列函数中,是微分方程
y
7y
12y0
的解(
C
)
。
A.yx3
B.yx2
C.ye3x
D.ye2x
5.方程
1
x2
y
xy
0的通解是(D)
。
A.
C
1
x
2
B
.
C
C
.
1
3
D.
1
x2
Cx
y
Cxe
2
y
y
x2
y
x
1
2
6.微分方程y
lnxdx
x
lnydy满足y|x
11的特解是(A
)
。
A.ln2x
ln2y
B.ln2xln2y1
C.ln2x
ln2y
0
D.ln2xln2y1
7.微分方程
1
x2
dy
1y2dx
0的通解是(
A)
。
A.arctanx
arctany
C
B.tanx
tany
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