届福建省南平市高三第二次综合质量检查数学理试题Word版含答案.docx
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届福建省南平市高三第二次综合质量检查数学理试题Word版含答案
2020届福建省南平市高三第二次(5月)综合质量检查
数学理试题
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知为虚数单位,复数,,若复数是纯虚数,则()
A.1B.C.2D.4
2.若,是第三象限的角,则()
A.B.C.D.
3.命题,命题,真命题的是()
A.B.C.D.
4.如图,半径为的圆内有四个半径相等的小圆,其圆心分别为,这四个小圆都与圆内切,且相邻两小圆外切,则在圆内任取一点,该点恰好取自阴影部分的概率为()
A.B.C.D.
5.过双曲线上任意点作双曲线的切线,交双曲线两条渐近线分别交于两点,若为坐标原点,则的面积为()
A.4B.3C.2D.1
6.的展开式中的常数项为()
A.20B.-20C.40D.-40
7.我国古代数学名著《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱)称之为“堑堵”.现有一块底面两直角边长为3和4,侧棱长为12的“堑堵”形石材,将之切削、打磨,加工成若干个相同的石球,并让石球的体积最大,则所剩余的石料体积为()
A.B.C.D.
8.已知函数,将的图象向右平移个单位后所得图象关于点对称,将的图象向左平移个单位后所得图象关于轴对称,则的值不可能是()
A.B.C.D.
9.在中,若,边上中线长为3,则()
A.-7B.7C.-28D.28
10.执行如图所示的程序框图,输出的值为()
A.-1008B.-1010C.1009D.1007
11.已知顶点在同一球面上的某三棱锥三视图中的正视图,俯视图如图所示.若球的体积为,则图中的的值是()
A.B.C.D.
12.若函数在区间有一个极大值和一个极小值,则实数的取值范围是()
A.B.C.D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.若实数满足,且的最大值为4,则的最小值为.
14.已知实数满足,则的取值范围是.
15.直线与椭圆相交于两点,若(为坐标原点),则以点为圆心且与直线相切的圆方程为.
16.在中,若,则角.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.设为数列的前项和,已知,,.
(Ⅰ)求证:
是等差数列;
(Ⅱ)设,求数列的前项和.
18.某地区某农产品近五年的产量统计如下表:
(Ⅰ)根据表中数据,建立关于的线性回归方程,并由所建立的回归方程预测该地区2018年该农产品的产量;
(Ⅱ)若近五年该农产品每千克的价格(单位:
元)与年产量(单位:
万吨)满足的函数关系式为,且每年该农产品都能售完.求年销售额最大时相应的年份代码的值,
附:
对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的计算公式:
,.
19.如图,在四棱锥中,侧面为钝角三角形且垂直于底面,,点是的中点,,,.
(Ⅰ)求证:
平面平面;
(Ⅱ)若直线与底面所成的角为60°,求二面角余弦值.
20.过点任作一直线交抛物线于两点,过两点分别作抛物线的切线.
(Ⅰ)记的交点的轨迹为,求的方程;
(Ⅱ)设与直线交于点(异于点),且,.问是否为定值?
若为定值,请求出定值.若不为定值,请说明理由.
21.己知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若函数的最小值为-1,,数列满足,,记,表示不超过的最大整数.证明:
.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的方程为,曲线的参数方程为(为参数),曲线的方程为,(),曲线与曲线分别交于两点.
(Ⅰ)求曲线的极坐标方程;
(Ⅱ)求的取值范围.
23.选修4-5:
不等式选讲
已知函数,.
(Ⅰ)当时,解不等式;
(Ⅱ)若关于的不等式有解,求的取值范围.
2020届福建省南平市高三第二次(5月)综合质量检查
数学理试题参考答案
一、选择题
1-5:
CDCAD6-10:
CCBAC11、12:
BA
二、填空题
13.214.15.16.
三、解答题
17.(Ⅰ)证:
当时,,
代入已知得,,
所以,
因为,所以,
所以,故是等差数列;
(Ⅱ)解:
由(Ⅰ)知是以1为首项,1为公差的等差数列,
所以
从而,当时,
,
又适合上式,所以.
所以
①
②
②-①得,
18.解:
(Ⅰ)由题意可知:
,,
,,
∴关于的线性回归方程为;
当时,,
即2018年该农产品的产量为6.69万吨
(Ⅱ)当年产量为时,年销售额(万元),
因为二次函数图像的对称轴为,又因为,
所以当时,即2016年销售额最大,于是.
19.(Ⅰ)证明:
取中点,连接,设,,
依题意得,四边形为正方形,且有,,
所以,所以,
又平面底面,平面底面,底面,
所以平面.
又平面,所以平面平面
(Ⅱ)过点作的垂线,交延长线于点,连接,
因为平面底面,平面底面,
平面,所以底面,故为斜线在底面内的射影,
为斜线与底面所成的角,即
由(Ⅰ)得,,所以在中,,,,
在中,,,,由余弦定理得,
所以,从而,
过点作,所以底面,
所以两两垂直,如图,以点为坐标原点,为轴正方向,为轴正方向,为轴正方向建立空间直角坐标系,
则,,,
,,
设平面的法向量
得
取得,
设平面的法向量
得,
取得,,
所以
故所求的二面角的余弦值为.
20.解(Ⅰ)设切点,,交点
由题意得切线的方程为,
切线的方程为,
又因为点分别在直线上,
所以,
则直线的方程为,又因为点在直线上,
所以,即切线交点的轨迹的方程是.
(Ⅱ)设点,
,因为,
所以,
因此,,
即,,
又因为点在抛物线上,
所以
(1)
由于点在直线上,所以,
把此式代入
(1)式并化简得:
(2),
同理由条件可得:
(3),
由
(2),(3)得是关于的方程的两根,
由韦达定理得.即为定值.
21.解:
(Ⅰ)函数的定义域为.
1、当时,,即在上为增函数;
2、当时,令得,即在上为增函数;
同理可得在上为减函数.
(Ⅱ)有最小值为-1,由(Ⅰ)知函数的最小值点为,
即,则,
令
当时,,故在上是减函数
所以当时
∵,∴.(未证明,直接得出不扣分)
则.由得,
从而.∵,∴.
猜想当时,.
下面用数学归纳法证明猜想正确.
1、当时,猜想正确.
2、假设时,猜想正确.
即时,.
当时,有,
由(Ⅰ)知是上的增函数,
则,即,
由得.
综合1、2得:
对一切,猜想正确.
即时,.
于是,,则.
故
22.解:
(Ⅰ)因为,,所以曲线的极坐标方程为
,即
由(为参数),消去,
即得曲线直角坐标方程为
将,,代入化简,
可得曲线的极坐标方程为
(Ⅱ)曲线的极坐标方程为,
由
(1)得,
即
因为,所以,
所以
23.解:
(Ⅰ)当时,即解不等式
当时,不等式可化为,即,与矛盾无解
当时,不等式可化为,
即,所以解得
当时,不等式可化为,
即,所以解得
综上所述,不等式的解集为
(Ⅱ)
因为函数在上单调递增,在上单调递减,
所以当时,
不等式有解等价于,
故的取值范围为
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