1991年上海市高三年级数学竞赛试题.docx
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1991年上海市高三年级数学竞赛试题
1991年上海市高三年级数学竞赛试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、填空题
1.在的二项展开式中,若第9项系数与第13项系数相等,则第20项系数为______。
2.已知集合,,则用列举法表示______。
3.已知,,,则用表示______。
4.已知每项都是正数的无穷等比数列各项的和是,首项,则公比最小的可能值是______。
5.已知,则的值为______。
6.已知直角坐标平面内四点,,,。
则该直角坐标平面内到这四点的距离平方和最小的点的坐标是______。
7.当点在曲线上变动时,代数式所能取到的最大值与最小值的和是______。
8.一个等腰三角形顶角的顶点在原点,另两个顶点,在直角坐标平面的上半平面,腰长,底边中点的坐标为,两腰所在直线的倾角分别为,,则用,,表示______。
9.已知函数的定义域为,则实数的取值范围为______。
10.使复数成为实数的所有构成的集合是______。
11.在四棱锥中,已知底面为矩形,且面积为1平方米,侧面,都与底面垂直,侧面,与底面分别成角与角,则该四棱锥的体积为______立方米。
12.已知三个半径为的球在平面的同一侧,与平面都相切,且每个球与另外两个球外切,另有一个球和平面及这三个球都相切,则它的半径为______。
13.已知,,则的取值范围为______。
14.10张不同颜色的卡片上各写一个数,其中有两个5,三个2,五个1。
从中取5张卡片,使得这5张卡片上的数字和在开区间内,则不同的取法种数是______。
15.对每个,设,则的值是______。
16.在双曲线的两条渐近线上分别取点和点,使,其中是双曲线的中心,则中点轨迹的普通方程是______。
17.用平面去截一个正四棱柱,使截面为菱形,且有一个内角为,则截面与底面所成的二面角大小为______。
18.若三角方程有实数解,则实数的取值范围为______。
19.若,是方程的两个根,则的值是______。
20.已知椭圆的长轴长为4,焦距,过椭圆的焦点的两条互相垂直的弦的长度和为,则这两条弦的长度的积是______。
21.设为使取实数的最小自然数,则对应此的______。
22.将一枚硬币抛10次,那么至少连续5次都出现正面的不同情形共______种。
23.设在坐标平面上有区域,,那么,在此区域中,,的坐标都取整数的点的个数有______个(在这里,()是给定的正整数)。
24.设多项式的根都是正整数,并且,那么______。
25.给定正整数,令是集的所有非空子集组成的集合,对每一个,,,,,令是中所有元素的乘积,那么,______。
26.将三个数,,给予适当的编排,分别取常用对数后成公差为1的等差数列,那么,此时______。
二、双空题
27.设是正实数,且方程有两个实数根,,则当为______时,最小,最小值为______.
三、解答题
28.求满足的一切实数,其中表示不超过的最大整数。
29.设。
,,,是中的数所成的数列,它包含的不以1结尾的任何排列,即对于的四个数的任意一个不以1结尾的排列,,都有,,,,使得,并且,求这种数列的项数的最小值。
30.对于自然数和,求证是一个自然数的完全平方。
31.给定,,,所对的边分别是,,,在所在平面作直线与的某两边相交,沿将折成一个空间图形,将由分成的小三角形的不在上的顶点与另一部分的顶点连接,形成一个三棱锥或四棱锥。
问:
(1)当时,如何作,并折成何种锥体,才能使所得锥体体积最大?
(需详证)
(2)当时,如何作,并折成何种锥体,才能使所得锥体体积最大?
(叙述结果,不要证明)
参考答案
1.20
【解析】
【详解】
设二项式展开式的通项为,
所以第9项的系数为,第13项的系数为,
由题得
所以第20项的系数为
故答案为:
20
2.
【解析】
【详解】
先化简集合P,由题得,
因为=.
联立得.
所以.
故答案为:
3.
【解析】
【详解】
由题得
所以.
故答案为:
4.
【解析】
【详解】
由题得.
故答案为:
5.
【解析】
【详解】
由题得
所以
所以=.
故答案为:
6.
【解析】
【详解】
设平面内的点为P(x,y),则
所以当时,该直角坐标平面内到这四点的距离平方和最小.
故答案为:
7.
【解析】
【详解】
由题得设
当取最大值,
当取最大值,
所以代数式所能取到的最大值与最小值的和是.
故答案为:
8.
【解析】
【详解】
由题得
因为OA=OB,AM=BM,所以OM⊥AB,
所以,
所以.
故答案为:
9.
【解析】
【详解】
由题得
故答案为:
10.
【解析】
【详解】
由题得复数z=
因为复数z是实数,所以
所以2x=
由题得函数的定义域为
故答案为:
11.
【解析】
【详解】
因为侧面,都与底面垂直,所以PA⊥平面ABCD,
因为侧面,与底面分别成角与角,
所以∠PBA=60°,∠PDA=30°,
设AB=x,则AD=
在直角△PAB中,PA=在直角△PAD中,
所以该四棱锥的体积为
故答案为:
12.2
【解析】
【详解】
由题得三个球的球心组成一个边长为12的正三角形,第四个球的球心为正三角形的中心,
中心到顶点的距离即为三角形的外接圆的半径,由正弦定理得
设第四个球的半径为r,由于前三个球和第四个球外切,所以.
故答案为:
2
13.或()
【解析】
【详解】
当n=1时,显然通过给n取值,得到()时,
下面用数学归纳法证明:
当n=10时,.
假设n=k(k≥10,k∈N)时,
则n=k+1时,
.
综上所述,()时,
故答案为:
或()
14.110
【解析】
【详解】
当和为11时,11=1+1+2+2+5,共有种取法;
当和为12时,12=1+2+2+2+5,共有种取法;
当和为13时,13=1+1+1+5+5,共有种取法;
当和为14时,14=1+1+2+5+5,共有种取法.
综合得不同的取法种数60+10+10+30=110.
故答案为:
110
15.5
【解析】
【详解】
所以
所以=.
故答案为:
5
16.
【解析】
【详解】
∵双曲线,∴a2=,b2=4
∴渐近线y=2x,y=﹣2x,
设A(m,2m),B(n,﹣2n),由于|OA|•|OB|=15,
∴|OA|2•|OB|2=25,
∴(m2+4m2)(n2+4n2)=25
∴m2n2=1,
设AB中点M(x,y)
x=(m+n),y=m﹣n,
∴(2x)2﹣y2=(m+n)2﹣(m﹣n)2
4x2﹣y2=4mn
(4x2﹣y2)2=16m2n2=16,
∴4x2﹣y2=±4,
故答案为:
17.
【解析】
【详解】
设正四棱柱的底面边长为1,
由题得菱形的较短的对角线长为,
所以菱形的较长的对角线长为
设截面与底面所成的二面角为.
故截面与底面所成的二面角大小为
故答案为:
18.
【解析】
【详解】
由sin(x+)﹣sin2x=a,
得,
即,
设t=sinx+cosx,t∈[﹣,],
则2sinxcosx=t2﹣1,代入,得
,
∴关于x的方程sin(x+)﹣sin2x=a有实数解,
等价于方程在区间[﹣,]上有实根,
设函数f(x)=2t2at+2a﹣2,
①当方程在区间[﹣,]上有一个实根时,
即f(﹣)•f()≤0,
∴.
解得:
﹣2≤a≤0;
②当方程在区间[﹣,]上有2个实根时,
,
解得:
0.
∴a的取值范围为[﹣2,].
故答案为:
19.
【解析】
【详解】
由x1、x2是方程的两根,
可得x1+x2=sin,x1•x2=cos,
故x1、x2均大于零,故arctanx1+arctanx2∈(0,π),
且tan(arctanx1+arctanx2)===cotπ=tan(﹣π),
∴arctanx1+arctanx2=.
故答案为:
20.
【解析】
【详解】
设互相垂直的两条弦分别为AB和CD,
由题得直线存在斜率,设直线的方程为
联立得,
所以,
所以|AB|=,
因为AB⊥CD,所以,
由题得,
所以.
故答案为:
21.
【解析】
【详解】
由题得=,
所以,
因为为实数,所以
所以.
故答案为:
-64
22.112
【解析】
【详解】
如果刚好有5次连续正面向上,分成三类,第一类,5次正面向上的前后各有一次反面向上,有种;第二类,5次正面向上在最后,前面一次反面向上,有种;第三类,5次正面向上在最前面,后面一次反面向上,有种,共有64种方法.
如果刚好有6次连续正面向上,分成三类,第一类,6次正面向上的前后各有一次反面向上,有种;第二类,6次正面向上在最后,前面一次反面向上,有种;第三类,6次正面向上在最前面,后面一次反面向上,有种,共有28种方法.
如果刚好有7次连续正面向上,分成三类,第一类,7次正面向上的前后各有一次反面向上,有种;第二类,7次正面向上在最后,前面一次反面向上,有种;第三类,7次正面向上在最前面,后面一次反面向上,有种,共有12种方法.
如果刚好有8次连续正面向上,分成三类,第一类,8次正面向上的前后各有一次反面向上,有1种;第二类,8次正面向上在最后,前面一次反面向上,有种;第三类,8次正面向上在最前面,后面一次反面向上,有2种,共有5种方法.
如果刚好有9次连续正面向上,共有2种方法.
如果刚好有10次连续正面向上,共有1种方法.
综上所述共有64+28+12+5+2+1=112种.
故答案为:
112
23.
【解析】
【详解】
当x=1时,共有个整数点;
当x=2时,共有个整数点;
当x=3时,共有个整数点;
当x=n时,共有个整数点;
所以共有.
故答案为:
24.
【解析】
【详解】
令x=1,则+1=0+1=1,
不妨设P(x)=,其通项为
令r=1,则.
故答案为:
25.
【解析】
【详解】
设,
则
说明:
{2,3,4,…,n,n+1}中,若不取n+1,则有,若取n+1,则2,3,…,n全不取时,为n+1,2,3,…,n至少取一个时,为,
所以
所以
=
所以
故答案为:
26.
【解析】
【详解】
设x=10a2+81a+207,y=a+2,z=26﹣2a.首先,由x>0,y>0,z>0,知﹣2<a<13.
其次,判断x,y,z的大小关系.
由于x﹣y=10a2+80a+205,其判别式恒小于0,因此x﹣y>0,即x>y;同样,x﹣
z=10a2+83a+181的判别式也恒小于0,故x>z.此外,y﹣z=3(a﹣8),因当a=8时,y=z不
合题意,所以分﹣2<a<8和8<a<13两种情况讨论.
(1)当﹣2<a<8.此时y<z,lgy,lgz,lgx构成公差为1的等差数列,所以lgx﹣lgz=lgz
﹣lgy=1.
∴x=10z,z=10y
∴10a2+81a+207=10(26﹣2a),26﹣2a=10(a+2).
∴a=∈(﹣2,8).
(2)8<a<13.此时y>z,lgz,lgy,lgx构成公差为1的等差数列,所以lgy﹣lgz=lgx﹣lgy=1.
∴y=10z,x=10y
∴a+2=10(26﹣2a),10a2+81a+207=10(a+2).
此时方程无解.因此只有a=合乎题意.
故答案为:
27.42
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- 1991 上海市 三年级 数学 竞赛 试题