浅谈不等式的证明策略.docx
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浅谈不等式的证明策略
浅谈不等式的证明策略
(南宁三中许兴华数学)
在高二学习“不等式证明”这个内容时,很多同学还是觉得学习上碰到很多困难的。
因为我们知道,不等式的证明,方法灵活多样,它可以和很多内容相互结合.而在有时的高考解答题中,常渗透不等式证明的内容,纯不等式的证明,历来是高中数学中的一个难点,这个难点着重培养考生数学式子的变形能力,逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.
(注:
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命题意图:
本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力,属于中上级题目.
知识依托:
该题实质是给定条件求最值的题目,所求a的最值蕴含于恒成立的不等式中,因此需利用不等式的有关性质把a呈现出来,等价转化的思想是解决题目的突破口,然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值.
命题意图:
本题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题目,考查学生观察能力、构造能力以及逻辑分析能力,属中上级的题目.
知识依托:
本题是一个与自然数n有关的命题,首先想到应用数学归纳法,另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等.
技巧与方法:
本题证法一采用数学归纳法从n=k到n=k+1的过渡采用了放缩法;证法二先放缩,后裂项,有的放矢,直达目标;而证法三运用函数思想,借助单调性,独具匠心,发人深省.
【证题妙计点拨】
1.不等式证明常用的方法有:
比较法、综合法和分析法,它们是证明不等式的最基本的方法.
(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤,变形的主要方向是因式分解、配方,判断过程必须详细叙述;如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式,则考虑用判别式法证.
(2)综合法是“由因导果”,而分析法是“执果索因”。
两法相互转换,互相渗透,互为前提,充分运用这一辩证关系,可以增加解题思路,开扩视野.
2.不等式证明还有一些常用的方法:
换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等.
换元法主要有三角代换,均值代换两种,在应用换元法时,要注意代换的等价性.放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一,放缩要有的放矢,目标可以从要证的结论中考查.有些不等式,从正面证如果不易说清楚,可以考虑反证法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题,则宜用反证法.
证明不等式时,要依据题设、题目的特点和内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.
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