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高等代数习题

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高等代数习题

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高等代数习题

第一章基本概念

§1.1集合

1、设Z是一切整数的集合，X是一切不等于零的有理数的集合．Z是不是X的子集？

2、设a是集A的一个元素。

记号{a}表示什么？

{a}A是否正确？

3、设

写出和.

4、写出含有四个元素的集合{}的一切子集．

5、设A是含有n个元素的集合．A中含有k个元素的子集共有多少个？

6、下列论断那些是对的，那些是错的？

错的举出反例，并且进行改正．

（i）

（ii）

（iii）

（iv）

7．证明下列等式：

（i）

（ii）

（iii）

§1.2　映射

1、设A是前100个正整数所成的集合．找一个A到自身的映射，但不是满射．

2、找一个全体实数集到全体正实数集的双射．

3、是不是全体实数集到自身的映射？

4．设f定义如下：

f是不是R到R的映射？

是不是单射？

是不是满射？

5、令A={1,2,3}.写出A到自身的一切映射.在这些映射中那些是双射？

6、设a,b是任意两个实数且a

7、举例说明，对于一个集合A到自身的两个映射f和g来说，fg与gf一般不相等。

8、设A是全体正实数所成的集合。

令

（i）g是不是A到A的双射？

（ii）g是不是f的逆映射？

（iii）如果g有逆映射，g的逆映射是什么？

9、设是映射，又令，证明

（i）如果是单射，那么也是单射；

（ii）如果是满射，那么也是满射；

（iii）如果都是双射，那么也是双射，并且

10．判断下列规则是不是所给的集合A的代数运算:

§1.3数学归纳法

1、证明:

2、设是一个正整数.证明,是任意自然数.

3、证明二项式定理:

这里，是个元素中取个的组合数.

4、证明第二数学归纳法原理.

5、证明,含有个元素的集合的一切子集的个数等于。

§1.4　整数的一些整除性质

1、对于下列的整数,分别求出以除所得的商和余数:

;　　;

;　　.

2、设是整数且不全为0,而,,.证明,的一个最大公因数必要且只要.

3、设是不等于零的整数.满足下列两个条件的正整数叫做与的最小公倍数:

;如果且,则.

证明:

任意两个不等于零的整数都有唯一的最小公倍数;

令是与的最小公倍数而,则.

4、设是一个大于1的整数且具有以下性质:

对于任意整数,如果,则或.证明,是一个素数（定理1.4.5的逆命题）.

5、设是两两不相同的素数,而.

证明;

利用证明,素数有无限多个．

§1.5数环和数域

1．证明,如果一个数环那么含有无限多个数．

2．证明,是数域．

3．证明,是一个数环,是不是数域?

4．证明,两个数环的交还是一个数环;两个数域的交还是一个数域.两个数环的并是不是数环?

5．设是一整数,令

由例1,是一个数环.设,记．

证明:

是一个数环．

．

这里是与的最大公因数．

．

第二章多项式

§2.1一元多项式的定义和运算

1．设和是实数域上的多项式．证明：

若是

（6），那么

2．求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式和

3．证明：

§2.2多项式的整除性

1．求被除所得的商式和余式：

（i）

（ii）

2．证明：

必要且只要

3．令都是数域F上的多项式，其中且证明：

4．实数满足什么条件时，多项式能够整除多项式

5．设F是一个数域，证明：

整除

6．考虑有理数域上多项式

这里和都是非负整数．证明：

7．证明：

整除必要且只要整除

§2.3多项式的最大公因式

1.     计算以下各组多项式的最大公因式：

（i）

（ii）

2.     设证明：

若且和不全为零，则反之，若则是与的一个最大公因式．

3.     令与是的多项式，而是中的数，并且

证明：

4．证明：

（i）是和的最大公因式；

（ii）

此处等都是的多项式。

5．设都是有理数域Q上的多项式。

求使得

6．设令是任意正整数，证明：

由此进一步证明，对于任意正整数，都有

7．设证明：

8．证明：

对于任意正整数都有

9．证明：

若是与互素，并且与的次数都大于0，那么定理里的与可以如此选取，使得的次数低于的次数，的次数低于的次数，并且这样的与是唯一的。

10．决定，使与的最大公因式是一次的。

11．证明：

如果那么对于任意正整数，

12．设是数域F上的多项式。

与的最小公倍式指的是F[x]中满足以下条件的一个多项式：

且；

如果∈F[x]且，那么

证明：

F[x]中任意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式的差别外，是唯一的。

设都是最高次项系数是1的多项式，令表示和的最高次项系数是1的那个最小公倍式。

证明

13．设并且证明：

14．设证明：

互素的充要条件是存在多项式

使得

15．设令

比照定理1.4.2，证明：

有最大公因式．[提示：

如果不全为零，取是I中次数最低的一个多项式，则就是的一个最大公因式．]

§2.4多项式的分解

1.     在有理数域上分解以下多项式为不可约多项式的乘积：

2.     分别在复数域，实数域，有理数域上分解多项式为不可约因式的乘积.

3.     证明：

当且仅当

4.     求在内的典型分解式；

求在内的典型分解式

5.证明：

数域F上一个次数大于零的多项式是中某一不可约多项式的幂的充分且必要条件是对于任意或者或者存在一个正整数使得

6．设是中一个次数大于零的多项式.如果对于任意只要就有或那么不可约.

§2.5重因式

1.     证明下列关于多项式的导数的公式：

2.     设是的导数的重因式.证明：

未必是的重因式；

是的重因式的充分且必要条件是

3.证明有理系数多项式

没有重因式.

4.应该满足什么条件，下列的有理系数多项式才能有重因式？

5.证明：

数域F上的一个次多项式能被它的导数整除的充分且必要条件是

，这里的是F中的数。

§2.6多项式函数多项式的根

1．设,求.

2．数环R的一个数说是的一个重根,如果可以被整除,但不能被整除.判断5是不是多项式

的根.如果是的话,是几重根?

3．设求

[提示:

应用综合除法．]

4．将下列多项式表成的多项式.

;.

5．求一个次数小于4的多项式,使

6．求一个2次多项式,使它在处与函数有相同的值.

7．令是两个多项式,并且可以被整除.

证明

8．令是一个复数,并且是中一个非零多项式的根,令

证明:

在J中存在唯一的最高次项系数是1的多项式,使得中每一多项式都可以写成的形式,这里.

在中不可约.如果,求上述的

[提示:

取是J中次数最低的、最高次项系数是1的多项式.]

9．设中多项式且,是一个大于1的整数.

证明:

的根只能是零或单位根.

[提示:

如果是的根,那么都是的根.]

§2.7　复数和实数域上多项式

1．设次多项式的根是.求

以为根的多项式,这里是一个数。

（ii）以,,…,（假定都不等于零）为根的多项式.

2．设是一个多项式,用表示把的系数分别换成它们的共轭数后所得多项式.证明:

若是g,那么;

若是是和的一个最大公因式,并且的最高次项系数是1,那么是一个实系数多项式）.

3．给出实系数四次多项式在实数域上所有不同类型的典型分解式.

4．在复数和实数域上,分解为不可约因式的乘积.

5．证明:

数域F上任意一个不可约多项式在复数域内没有重根.

§2.8有理数域上多项式

1．证明以下多项式在有理数域上不可约:

;

;

.

2．利用艾森斯坦判断法,证明:

若是是个不相同的素数而是一个大于1的整数,那么是一个无理数.

3．设是一个整系数多项式.证明:

若是和都是奇数,那么不能有整数根.

4．求以下多项式的有理根:

;

;

.

第三章行列式

§3.1线性方程组和行列式§3.2排列

1．计算下列排列的反序数：

523146879；

2．假设n个数码的排列的反序数是k,那么排列的反序数是多少？

3．写出4个数码的一切排列．

§3.3阶行列式

1．确定六阶行列式

D=中以下各乘积的符号：

2．写出下列四阶行列式中一切带有负号且含元素的项。

3．证明：

阶行列式

4．考察下列行列式：

，，

其中是这个数码的一个排列。

这两个行列式间有什么关系？

5．计算阶行列式

6．计算行列式

7．证明：

行列式

8．设在阶行列式

中，

§3.4子式和代数余式行列式的依行依列展开

1．把行列式依第三行展开，然后加以计算．

2．计算以下行列式:

提示：

把第一列的元素看成两项的和，然后把行列式拆成两个行列式的和。

3．令

计算行列式。

§3.5克拉默规则

1．解以下线性方程组：

2．设是个不同的数,是任意个数,而多项式

有以下性质:

.

用线性方程组的理论证明,的系数是唯一确定的,并且对的情形导出拉格朗日插值公式.

3．设.用线性方程组的理论证明,若是有个不同的根,那么是零多项式.

第四章线性方程组

§4.1消元法

1．解以下线性方程组：

2．证明：

对矩阵施行第一种行初等变换相当于对它连续施行若干次第二和第三种行初等变换。

3．设阶行列式0.

证明：

用行初等变换能把行列矩阵化为。

4．证明：

在前一题的假设下，可以通过若干次第三种初等变换把

化为．

§4.2矩阵的秩线性方程组可解的判别法

1．对第一和第二种行初等变换证明定理4.2.1．

2．利用初等变换求下列矩阵的秩：

3．证明：

一个线性方程组的增广矩阵的秩比系数矩阵的秩最多大1．

4．证明：

含有个未知量个方程的线性方程组

有解的必要条件是行列式

这个条件不是充分的，试举一反例．

5．

有解？

6．取怎样的数值时，线性方程组

有唯一解，没有解，有无穷多解？

§4.3线性方程组的公式解

1．考虑线性方程组：

这里．

2．

3．设线性方程组：

（9）

有解，并且添加一个方程：

于方程组（9）所得的方程组与（9）同解．证明：

添加的方程是（9）中个方程的结果．

4．设齐次线性方程组

的系数行列式，而中某一元素的代数余子式．证明：

这个方程组的解都可以写成的形式,此处k是任意数.

5．设行列式

令是元素的代数余子式.证明:

矩阵

的秩．

第五章矩阵

§5.1矩阵的运算

1．计算

；

；

；　　；

．

2．证明，两个矩阵A与B的乘积AB的第i行等于A的第i行右乘以B，第j列等于B的第j列左乘以A．

3．可以按下列步骤证明矩阵的乘法满足结合律：

（i）设B=（）是一个np矩阵．令=是B的第j列，j=1,2,…,p．又设是任意一个p1矩阵．证明：

B=．

（ii）设A是一个mn矩阵．利用（i）及习题2的结果，证明：

A（B）=（AB）．

（iii）设C是一个pxq矩阵．利用（ii），证明：

A（BC）=（AB）C．

4．设

A=

证明：

当且仅当

B=时，AB=BA。

5．令是第i行第j列的元素是1而其余元素都是零的n阶矩阵．求．

6．求满足以下条件的所有n阶矩阵A

（i）i,j=1,2,…,n,

（ii）AB=BA；这里B是任意n阶矩阵。

7．举例证明，当AB=AC时，未必B=C．

8．证明，对任意n阶矩阵A和B，都有AB-BA≠I．[提示，考虑AB-BA的主对角线上的元素的和]

9．令A是任意n阶矩阵，而I是n阶单位矩阵，证明：

（）（）=

10.对任意n阶矩阵A，必有n阶矩阵B和C，使A=B+C，并且

§5.2可逆矩阵　矩阵乘积的行列式

1．设对5阶矩阵实行以下两个初等变换：

把第二行的3倍加到第三行，把第二列的3倍加到第三列，相当于这两个初等变换的初等矩阵是什么？

2．证明：

一个可逆矩阵可以通过列初等变换化为单位矩阵．

3．求下列矩阵的逆矩阵：

4．设A是一个n阶矩阵，并且存在一个正整数m使得

（i）证明可逆，并且

（ii）求下列矩阵的逆矩阵

。

5．设

证明，总可以表成和型初等矩阵的乘积．

6．令是n阶矩阵的伴随矩阵，证明

（区别detA≠0和detA=0两种情形）

7．设A和B都是n阶矩阵．证明，若AB可逆,则A和B都可逆．

8．设A和B都是n阶矩阵．证明，若AB=I,则A和B互为逆矩阵．

9．证明，一个n阶矩阵A的秩≤1必要且只要A可以表为一个n1矩阵和一个

1n矩阵的乘积．

10.证明：

一个秩为r的矩阵总可以表为r个秩为1的矩阵的和．

11．设A是一个nn矩阵，都是n1矩阵．用记号表示以代替A的第i列后所得到的矩阵．

（i）线性方程组可以改写成I是n阶单位矩阵．

（ii）当detA≠0时，对（i）中的矩阵等式两端取行列式，证明克拉默规则．

§5.3矩阵的分块

1．求下面矩阵的逆矩阵．

2．设A，B都是n阶矩阵，I是n阶单位矩阵，证明

3．设都是n=r+s阶矩阵，而

是一个n阶矩阵，并且与S,T有相同的分法．求SA,AS,TA和AT.由此能得出什么规律？

4．证明，2n阶矩阵总可以写成几个形如的矩阵的乘积．

5．设

是一个对角线分块矩阵．证明:

6．证明，n阶矩阵的行列式等于（detA）（detB）

7．设A,B,C,D都是n阶矩阵，其中detA≠0并且AC=CA，证明

第六章向量空间

§6.1定义和例子

1．令F是一个数域，在F3里计算

（i）（2，0，-1）+（-1，-1，2）+（0，1，-1）；

（ii）5（0，1，-1）-3（1，，2）+（1，-3，1）．

2．证明：

如果

a（2，1，3）+b（0,1,2）+c（1，-1，4）=（0，0，0），

那么a=b=c=0．

3．找出不全为零的三个有理数a，b，c（即a，b，c中至少有一个不是0），使得

a（1，2，2）+b（3，0，4）+c（5，-2，6）=（0，0，0）．

4．令1=（1，0，0），2=（0，1，0），3=（0，0，1）．证明，R3中每个向量可以唯一地表示为=a11+a22+a33的形式，这里a1，a2，a3R．

5．证明，在数域F上向量空间V里，以下算律成立：

（i）a（）=a-a；

（ii）（a-b）=a-b,这里a，bF，,V．

6．证明：

数域F上一个向量空间如果含有一个非零向量，那么它一定含有无限多个向量．

7．证明，对于任意正整数n和任意向量，都有n=+…+．

8．证明，向量空间定义中条件3º，8）不能由其余条件推出．

9．验证本节最后的等式：

（1，…，n）（AB）=（（1，…，n）A）B．

§6.2　子空间

1．判断Rn中下列子集哪些是子空间：

（i）                 {（a1，0，…，0，an）|a1，anR}；

（ii）               {（a1，a2，…，an）|ai=0}；

（iii）              {（a1，a2，…，an）|ai=1}；

（iv）             {（a1，a2，…，an）|aiZ，i=1，…，n}.

2．Mn（F）表示数域F上一切n阶矩阵所组成的向量空间（参看6.1，例2）令

S={AMn（F）|A′=A}，

T={AMn（F）|A′=–A}．

证明，S和T都是Mn（F）的子空间，并且Mn（F）=S+T，ST={0}．

3．设W1，W2是向量空间V的子空间，证明：

如果V的一个子空间既包含W1又包含W2，那么它一定包W1+W2．在这个意义下，W1+W2是V的既含W1又含W2的最小子空间．

4．设V是一个向量空间，且V{0}．证明：

V不可能表成它的两个真子空间的并集．

5．设W，W1，W2都是向量空间V的子空间，其中W1W2且WW1=WW2，

W+W1=W+W2.证明：

W1=W2．

6．设W1，W2是数域F上向量空间V的两个子空间，,是V的两个向量，其中W2，但W1，又W2，证明：

（i）                  对于任意kF,+kW2；

（ii）                至多有一个kF，使得+kW1．

7．设W1，W2，…，Wr是向量空间V的子空间，且WiV，i=1，…，r.证明：

存在一个向量V，使得Wi，i=1，…，r．

[提示：

对r作数学归纳法并且利用第6题的结果．]

§6.3向量的线性相关性

1.下列向量组是否线性相关:

（i）（3，1，4），（2，5，-1），（4，-3，7）；

（ii）（2，0，1），（0，1，-2），（1，-1，1）；

（iii）（2，-1，3，2），（-1，2，2，3），（3，-1，2，2），（2，-1，3，2）．

2．证明，在一个向量组{}里，如果有两个向量与成比例，

即=k，，那么{}线性相关．

3．令。

证明线性相关必要且只要行列式=0．

4．设，线性无关．对每一个任意添上p个数，得到的m个向量．

证明{1，2，…，m}也线性无关

5．设线性无关，证明也线性无关．

6．设向量组{}（线性无关，任取．证明，向量组线性无关．

7．下列论断哪些是对的，哪些是错的，如果是对的，证明；如果是错的，举出反例：

（i）如果当，那么线性无关．

（ii）如果线性无关，而不能由线性表示，那么，也线性无关．

（iii）如果线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合．

（iv）如果线性相关，那么其中每一个向量都是其余向量的线性组合．

8．设向量可以由表示，但不能由线性表示．证明，向量组{}与向量组{，}等价．

9．设向量组中并且每一都不能表成它的前个向量的线性组合．证明线性无关．

10．设向量线性无关，而，，线性相关，证明，或者与中至少有一个可以由线性表示，或者向量组{，}与{，}等价．

§6.4基和维数

1．令Fn[x]表示数域F上一切次数n的多项式连同零多项式所组成的向量空间．这个向量空间的维数是几？

下列向量组是不是F3[x]的基：

（i）{x3+1，x+1，x2+x，x3+x2+2x+2}；

（ii）{x-1，1-x2，x2+2x-2，x3}.

2．求下列子空间的维数：

（i）L（（2，-3，1），（1，4，2），（5，-2，4））R3

（ii）L（x-1，1-x2，x2-x）F[x]；

（iii）L（ex，e2x，e3x）C[a，b].

3．把向量组{（2，1，-1，3），（-1，0，1，2）}扩充为R4的一个基．

4．令S是数域F上一切满足条件A’=A的n阶矩阵A所成的向量空间，求S的维数．

5．证明，复数域C作为实数域R上向量空间，维数是2．如果C看成它本身上的向量空间的话，维数是几？

6．证明定理6.4.2的逆定理：

如果向量空间V的每一个向量都可以唯一地表成V中向量的线性组合，那么dimV=n.

7．设W是Rn的一个非零子空间，而对于W的每一个向量（a1，a2，…，an）来说，要么a1=a2=…=an=0，要么每一个ai都不等于零，证明dimW=1．

8．设W是n维向量空间V的一个子空间，且0

W在V中有不只一个余子空间．

9．证明本书最后的论断．

§6.5　坐标

1．设{1，2，…，n}是V的一个基．求由这个基到{2，…，n，1}的过渡矩阵．

2．证明，{x3，x3+x，x2+1，x+1}是F3[x]（数域F上一切次数3的多项式及零）的一个基．求下列多项式关于这个基的坐标：

（i）x2+2x+3；（ii）x3；（iii）4；（iv）x2-x．

3．设1=（2，1，-1，1），2=（0，3，1，0），3=（5，3，2，1），

4=（6，6，1，3）．证明{1，2，3，4}作成R4的一个基．在R4中求一个非零向量，使它关于这个基的坐标与关于标准基的坐标相同．

4．设

1=（1，2，-1），2=（0，-1，3），3=（1，-1，0）；

1=（2，1，5），2=（-2，3，1），3=（1，3，2）．

证明{1，2，3}和{1，2，3}都是R3的基．求前者到后者的过渡矩阵．

5．设{1，2，…，n}是F上n维向量空间V的一个基．A是F上一个ns矩阵．令（1，2，…，s）=（1，2，…，n）A．

证明dimL（1，2，…，s）=秩A．

§6.6向量空间的同构

1．证明,复数域C作为实数域R上向量空间,与V2同构．

2．设是向量空间V到W的一个同构映射,V1是V的一个子空间.证明是W的一个子空间．

3．证明:

向量空间可以与它的一个真子空间同构．

§6.7矩阵的秩齐次线性方程组的解空间

1．证明：

行列式等于零的充分且必要条件是它的行（或列）线性相关．

2．证明，秩（A+B）秩A+秩B．

3．设A是一个m行的矩阵，秩A=r，从A中任取出s行，作一个s行的矩阵B．证明，秩Br+s–m．

4．设A是一个mn矩阵，秩A=r．从A中任意划去m–s行与n–t列，其余元素按原来位置排成一个st矩阵C，证明，秩Cr+s+t–m–n．

5．求齐次线性方程组

x1+x2+x3+x4+x5=0，

3x1+2x2+x3+x4–3x5=0，

5x1+4x2+3x3+3x4–x5=0，

x2+2x3+2x4+x5=0

的一个基础解系．

6．证明定理6.7.3的逆命题：

Fn的任意一个子空间都是某一含n个未知量的齐次线性方程组的解空间．

7．证明，Fn的任意一个≠Fn的子空间都是若干n–1维子空间的交．

第七章线性变换

§7.1线性映射

1．令=（x1，x2，x3）是R3的任意向量．下列映射哪些是R3到自身的线性映射？

（1）（）=+，是R3的一个固定向量．

（2）（）=（2x1–x2+x3，x2+x3，–x3）

（3）（）=（x12，x22，x32）．

（4）（）=（cosx1，