角函数的奇偶性与单调性.docx
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角函数的奇偶性与单调性
3.3三角函数的奇偶性与单调性
【知识网络】1.正弦、余弦、正切函数的奇偶性、对称性;
2.正弦、余弦、正切函数的的单调性.
【典型例题】
[例1]
(1)已知,函数为奇函数,则a= ( )
(A)0 (B)1 (C)-1 (D)±1
(1)A提示:
由题意可知,得a=0
(2)函数的单调增区间为( )
A.B.
C.D.
(2)C提示:
令可得
(3)定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数,若的最小正周期
是,且当时,,则的值为()
A.B.C.D.
(3)B提示:
(4)如果是奇函数,则.
(4)-2 由
(5)已知函数满足以下三个条件:
1在上是增函数 ②以为最小正周期 ③是偶函数
试写出一满足以上性质的一个函数解析式 .
(5) 提示:
答案不唯一,如还可写成等
[例2]判断下列函数的奇偶性
(1);
(2);
(3);(4).
解:
(1)的定义域为,故其定义域关于原点对称,
又
为奇函数
(2)时,,而,
的定义域不关于原点对称,为非奇非偶函数。
(3)的定义域为R,又
为偶函数。
(4)由得,又,故此函数的定义域为
,关于原点对称,此时
既是奇函数,又是偶函数。
[例3]已知:
函数.
(1)求它的定义域和值域;
(2)判断它的奇偶性;(3)求它的单调区间;(4)判断它的周期性,若是周期函数,求它的最小正周期.
解:
(1).由定义域为,
值域为
(2).定义域不关于原点对称,函数为非奇非偶函数
(3)
的递增区间为
递减区间为
(4).
是周期函数,最小正周期T.
[例4]已知函数,.求:
()函数的最大值及取得最大值的自变量的集合;
()函数的单调增区间.
解()
当,即时,取得最大值.
函数的取得最大值的自变量的集合为.
()
由题意得:
即:
因此函数的单调增区间为.
【课内练习】
1.函数f(x)=sin(2x+φ)+cos(2x+φ)的图像关于原点对称的充要条件是( )
A.φ=2kπ-,k∈ZB.φ=kπ-,k∈Z
C.φ=2kπ-,k∈ZD.φ=kπ-,k∈Z
1.D提示:
令可得
2.在中,,若函数在[0,1]上为单调递减函数,则下列命题正确的是
(A)(B)
(C)(D)
2.C提示:
根据所以
3.同时具有性质“⑴最小正周期是;⑵图象关于直线对称;
⑶在上是增函数”的一个函数是()
AB
CD
3.D提示:
由性质
(1)和
(2)可排除A和C,再求出的增区间即可
4.设函数,若,则下列不等式必定成立的是( )
A.B.C.D.
4.B提示:
易知,且当x∈时,为增函数.又由,得,故|,于是.
5.判断下列函数奇偶性
(1)是;
(2)是;
(3)f(x)=是.
5.
(1)偶函数(2)非奇非偶函数(3)奇函数
提示:
先判断函数的定义域是否关于原点对称,然后用奇函数和偶函数的定义判断
6.若是以5为周期的奇函数,且,则=.
6.-4提示:
7.五个函数①②③④
⑤中,同时满足且
的函数的序号为 .
7.③ 提示:
①②⑤不满足 ④不满足
8.求下列函数的单调区间.
(1)
(2)
解:
(1).原函数变形为令,则只需求的单调区间即可.,()上
即,()上单调递增,
在,上
即,上单调递减
故的递减区间为:
递增区间为:
.
(2)原函数的增减区间即是函数的减增区间,令
由函数的图象可知:
周期且在上,即上递增,
在即在上递减
故所求的递减区间为,递增区间为()
9.已知为奇函数,且当时,.
(1)当时,求的解析式;
(2)当时,求的解析式.
解:
(1)当时,则,,又 为奇函数,所以
(3)当时,为奇函数,所以
由(1)知
10.已知函数是上的偶函数,其图象关于点对称,且在区间上是单调函数,求的值.
解:
由是上的偶函数,得,即,
展开整理得:
,对任意都成立,且,所以.
又,所以.由的图象关于点对称,
得.
取,得,
所以,∴.
所以,.即
;
;
;
综上所得,
作业本
A组
1.函数y=-xcosx的部分图象是 ( )
1.D提示:
y=-xcosx为奇函数,且当.
2.函数y=2sin(-2x)(x∈[0,π])为增函数的区间是()
A.[0,]B.[,]C.[,]D.[,π]
2.C提示:
由y=2sin(-2x)=-2sin(2x-)其增区间可由y=2sin(2x-)的减区间得到,即2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z.∴kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.
令k=0,故选C.
3.若是周期为的奇函数,则可以是()
A.sinxB.cosxC.sin2xD.cos2x
3.B
4.已知,则= .
4.-17提示:
5.已知的一条对称轴为轴,且.求=.
5. 提示:
由可得
6.已知函数
(1)画出的图象,并写出其单调区间、最大值、最小值;
(2)判断是否为周期函数.如果是,求出最小正周期.
解:
(1)实线即为的图象.
单调增区间为[2kπ+,2kπ+],[2kπ+,2kπ+2π](k∈Z),
单调减区间为[2kπ,2kπ+],[2kπ+,2kπ+](k∈Z),
f(x)max=1,f(x)min=-.
(2)f(x)为周期函数,T=2π.
7.比较下列各组中两个值的大小:
(1),,;
(2),.
解:
(1)∵,,
又∵及在内是减函数,
∴可得.
(2)∵,∴,而在上递增,
∴.
8.是定义在上的偶函数,当∈时,;当∈时,的图象是斜率为,在轴上截距为-2的直线在相应区间上的部分.
(1)求,的值;
(2)求的解析式,并作出图象,写出其单调区间.
解:
(1)当x∈(π,2π]时,y=f(x)=x-2,
又f(x)是偶函数,∴f(-2π)=f(2π)=2.
又x∈[0,π]时,y=f(x)=cosx,
∴f(-)=f()=.
(2)y=f(x)=
单调增区间为[-π,0],[π,2π].单调减区间为[-2π,-π],[0,π]。
B组
1.函数是奇函数的充要条件是()
A.B.C.D.
1.D提示:
由奇函数的定义可得
2.函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数()
A.(,)B.(π,2π)C.(,)D.(2π,3π)
2.B提示:
利用导数判断
3.设是一个钝角三角形的两个锐角,则下列四个不等式中不正确的是
(A)(B)(C)(D)
3.D提示:
取特值,如取
4.给出下列命题:
①正切函数的图象的对称中心是唯一的;
②y=|sinx|、y=|tanx|的周期分别为π、;
③若x1>x2,则sinx1>sinx2;
④若f(x)是R上的奇函数,它的最小正周期为T,则f(-)=0.
其中正确命题的序号是____________.
4.④提示:
①正切函数的对称中心是;②y=|sinx|、y=|tanx|的周期都是π ③正弦函数在定义域R上不是单调函数;
④
5.设函数。
若是奇函数,则__________.
5.提示
由可得
6.已知函数.
(1)这个函数是否为周期函数?
为什么?
(2)求它的单调增区间和最大值.
解:
(1)是以为周期的周期函数.
(2)当时,增区间为,最大值为;
当,增区间为,,最大值为
7.设函数,图象的一条对称轴是直线.
(1)求;
(2)求函数的单调增区间;
(3)证明直线与函数的图象不相切.
解:
(1)是函数的图象的一条对称轴
(2)由
(1)知,因此由题意得
所以函数
的单调增区间为.
(3)证明:
所以曲线的切线斜率取值范围为[-2,2],而直线的斜率为,所以直线与函数的图象不相切.
8.已知偶函数的最小值是0,求的最大值及此时的集合.
解:
因为是偶函数,所以对任意,都有
即
即,所以
由解得 或
此时,.当时,最大值为0,不合题意最小值为0,舍去;当时,最小值为0,符合题意,故当时,有最大值为,
自变量的集合为
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- 函数 奇偶性 调性