届北京市海淀区高三下学期期中练习文科数学试题及答案.docx
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届北京市海淀区高三下学期期中练习文科数学试题及答案
海淀区高三年级第二学期期中练习
数学(文科)4
本试卷共4页,150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上
作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.
A.B.C.D.
2.已知集合
A.B.C.D.
3.抛物线上到其焦点距离为5的点有
A.0个B.1个C.2个D.4个
4.平面向量满足,,且的夹角为,则=
A.1B.3C.5D.7
5.函数的部分图象可能是
ABCD
6.已知等比数列的前项和为,且,,成等差数列,则数列的公比为
A.1B.2C.D.3
7.已知和是指数函数,则“”是“”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
8.已知,点在曲线上,若线段与曲线相交且交点恰为线段的中点,则称为曲线关于曲线的一个关联点.那么曲线关于曲线的关联点的个数为
A.0B.1C.2D.4
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.双曲线的离心率为2,则__________.
10.李强用流程图把早上上班前需要做的事情做了如下几种方案,则所用时间最少的方案是_______
方案一:
方案二:
方案三:
11.在中,,,,则
12.某商场2017-2018年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势,现有三种函数模型:
①,;;.
能较准确反映商场月销售额与月份x关系的函数模型为_________(填写相应函数的序号),若所选函数满足,则=_____________.
13.一个空间几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积为
__________.
14.设不等式组表示的区域为,不等式表示的平面区域为.
(1)若与有且只有一个公共点,则=;
(2)记为与公共部分的面积,则函数的取值范围是.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.(本小题满分13分)
已知函数.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)求在上的取值范围.
16.(本小题满分13分)
某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况,随机对100名出租车司机进行调查.调查问卷共10道题,答题情况如下表:
答对题目数
8
9
女
2
13
12
8
男
3
37
16
9
(Ⅰ)如果出租车司机答对题目数大于等于9,就认为该司机对新法规的知晓情况比较好,试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率;
(Ⅱ)从答对题目数少于8的出租车司机中任选出两人做进一步的调查,求选出的两人中至少有一名女出租车司机的概率.
17.(本小题满分14分)
如图1,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D为AC中点,于(不同于点),延长AE交BC于F,将△ABD沿BD折起,得到三棱锥,如图2所示.
(Ⅰ)若M是FC的中点,求证:
直线//平面;
(Ⅱ)求证:
BD⊥;
(Ⅲ)若平面平面,试判断直线与直线CD能否垂直?
并说明理由.
18.(本小题满分13分)
已知函数.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)当时,求证:
恒成立.
19.(本小题满分14分)
已知是椭圆上两点,点的坐标为.
(Ⅰ)当关于点对称时,求证:
;
(Ⅱ)当直线经过点时,求证:
不可能为等边三角形.
20.(本小题满分13分)
在平面直角坐标系中,对于任意相邻三点都不共线的有序整点列(整点即横纵坐标都是整数的点):
与:
,其中,若同时满足:
①两点列的起点和终点分别相同;②线段,其中,
则称与互为正交点列.
(Ⅰ)试判断:
与:
是否互为正交点列,并说明理由;
(Ⅱ)求证:
:
不存在正交点列;
(Ⅲ)是否存在无正交点列的有序整数点列?
并证明你的结论.
海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案
数学(文科)4
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1.B2.B3.C4.C5.A6.D7.C8.B
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.110.方案三11.,12.③,13.152
14.,
{说明:
两空的第一空3分,第二空2分;14题的第二空若写成不扣分}
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.解:
(Ⅰ)---------------------------------1分
---------------------------------2分
---------------------------------3分
---------------------------------4分
(Ⅱ)---------------------------------6分
--------------------------------8分
因为
所以--------------------------------10分
所以--------------------------------12分
所以的取值范围是--------------------------------13分
16.解:
(Ⅰ)答对题目数小于9道的人数为55人,记“答对题目数大于等于9道”为事件A
--------------------------------5分
(Ⅱ)设答对题目数少于8道的司机为A、B、C、D、E,其中A、B为女司机,选出两人包含AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE共10种情况,至少有1名女驾驶员的事件为AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE共7种.
记“随机选出的两人中至少有1名女驾驶员”为事件M,则
--------------------------------13分
17.解:
(Ⅰ)因为,分别为中点,所以//---------------------2分
又,
所以.-----------------------4分
(Ⅱ)因为,且
所以-------------7分
又
所以------------------------9分
(Ⅲ)直线与直线不能垂直---------------------------------------10分
因为,,,
,
所以.---------------------------------------12分
因为,所以,
又因为,所以.
假设,
因为,,
所以,------------------------------------------13分
所以,
这与为锐角矛盾
所以直线与直线不能垂直.---------------------------------------14分
18.解:
(Ⅰ)定义域为------------------------------------1分
------------------------------------2分
令,得------------------------------------3分
与的情况如下:
0
↘
极小值
↗
--------------------------------5分
所以的单调减区间为,单调增区间为--------------------------6分
(Ⅱ)证明1:
设,------------------------------------7分
-------------------------------8分
与的情况如下:
1
0
↘
极小值
↗
所以,即
在时恒成立,----------------------10分
所以,当时,,
所以,即,
所以,当时,有.------------------------13分
证明2:
令----------------------------------7分
-----------------------------------8分
令,得-----------------------------------9分
与的情况如下:
0
↘
极小值
↗
---------------------10分
的最小值为-------------------11分
当时,,所以
故-----------------------------12分
即当时,.------------------------------------13分
19.解:
(Ⅰ)证明:
因为在椭圆上,
所以-----------------------------------1分
因为关于点对称,
所以,--------------------------------2分
将代入②得③,
由①和③消解得,------------------------------------------4分
所以.------------------------------------------5分
(Ⅱ)当直线不存在斜率时,,
可得,不是等边三角形.-----------------------6分
当直线存在斜率时,显然斜率不为0.
设直线:
,中点为,
联立消去得,------------------7分
由,得到-----------------------------------8分
又,
所以,
所以-------------------------------------------10分
假设为等边三角形,则有,
又因为,
所以,即,---------------------11分
化简,解得或---------------12分
这与式矛盾,所以假设不成立.
因此对于任意不能使得,故不能为等边三角形.------------14分
20.解:
(Ⅰ)有序整点列与互为正交点列.
-------------------------1分
理由如下:
由题设可知,,
因为,
所以.
所以整点列与互为正交点列.
----------------------------3分
(Ⅱ)证明:
由题意可得,
设点列是点列的正交点列,
则可设,
因为相同,所以有
因为,方程②不成立,
所以有序整点列不存在正交点列.----------8分
(Ⅲ)存在无正交点列的整点列.-------------------------------------------9分
当时,设其中是一对互质整数,
若有序整点列是点列的正交点列,
则,由
得
取,
由于是整点列,所以有.
等式②中左边是3的倍数,右边等于1,等式不成立,
所以存在无正交点列的整点列.-----------------------------------
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