函数图象中点的存在性问题1.docx
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函数图象中点的存在性问题1
中考动点专题
函数图象中点的存在性问题
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.
关键:
动中求静.
数学思想:
分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想
注重对几何图形运动变化能力的考查
从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形,通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法,来探索与发现图形性质及图形变化,在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形,让学生经历探索的过程,以能力立意,考查学生的自主探究能力,促进培养学生解决问题的能力.图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况,需要理解图形在不同位置的情况,才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展.这些压轴题题型繁多、题意创新,目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力,内容包括空间观念、应用意识、推理能力等.从数学思想的层面上讲:
(1)运动观点;
(2)方程思想;(3)数形结合思想;(4)分类思想;(5)转化思想等.
一、因动点产生的相似三角形问题
例1、如图,直线
分别交x、y轴于点A、C,P是该直线上在第一象限内的一点,PB⊥x轴,B为垂足,S△ABP=9。
(1)求点P的坐标;
(2)设点R与点P在同一个反比例函数的图象上,且点R在直线PB的右侧,作RT⊥x轴,T为垂足,当△BTR与△AOC相似时,求点R的坐标。
例2、如图,直线
与双曲线
交于点A(-1,-5),并分别与x轴、y轴交于点C、B。
(1)求b、m的值;
(2)点D在x轴的正半轴上,若以点D、C、B组成的三角形与△OAB相似,试求点D的坐标。
例3、如图,双曲线
和
在第二象限中的图象,A点在
的图象上,点A的横坐标为
,AC∥y轴,交
的图象于点C,AB、DC与x轴平行,分别交
的图象于点B、D。
(1)用m表示A、B、C、D的坐标;
(2)求证:
梯形ABCD的面积是定值;
(3)若△ABC与△ACD相似,求m的值。
例4、已知:
如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=900,点A、C的坐标分别为A(-3,0),C(1,0),
=
。
(1)求过点A、B的直线的函数解析式;
(2)在x轴上找一点D,连结DB,使得△ADB与△ABC相似(不包括全等),并求点D的坐标;
(3)在
(2)的条件下,如果P、Q分别是AB和AD上的动点,连结PQ,设AP=DQ=m,问是否存在这样的m,使得△APQ与△ADB相似?
如存在,请求出m的值;如不存在,请说明理由。
例5将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中,O(0,0),A(6,0),C(0,3)。
动点Q从点O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动,运动
秒时,动点P从点A出发以相等的速度沿AO向终点O运动。
当其中一点到达终点时,另一点也停止运动。
设点P的运动时间为t(秒)。
(1)用含t的代数式表示OP、OQ;
(2)当t=1时,如图1,将△OPQ沿PQ翻折,点O恰好落在CB边上的点D处,求点D的坐标;
(3)连结AC,将△OPQ沿PQ翻折,得到△EPQ,如图2。
问:
PQ与AC能否平行?
PE与AC能否垂直?
若能,求出相应的t值;若不能,说明理由。
二、因动点产生的等腰三等形问题
例6、如图,一次函数y=kx+k过点(1,4),且分别x轴、y轴交于A、B点,点P(a,0)在x轴正半轴上运动,点Q(0,b)在y轴正半轴上运动,且PQ⊥AB。
(1)求k的值,并在直角坐标系中画出一次函数的图象;
(2)求a、b满足的等量关系式;
(3)若△APQ是等腰三角形,求△APQ的面积。
例7、如图,在正方形ABCD中,点F在CD边上,射线AF交BD于点E,交BC的延长线于点G。
(1)求证:
△ADE≌△CDE;
(2)过点C作CH⊥CE,交FG于点H,求证:
FH=GH;
(3)设AD=1,DF=x,试问是否存在x的值,使△ECG为等腰三角形?
若存在,请求出x的值;若不存在,请说明理由。
例8、如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,点E是边CD上任意一点(点E与点C、D不重合),过点A作AF⊥AE,交边CB的延长线于点F,连结EF,交边AB于点G。
设DE=x,BF=y。
(1)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(2)如果AD=BF,求证:
△AEF∽△DEA;
(3)当点E在边CD上移动时,△AEG能否成为等腰三角形?
如果能,请直接写出线段DE的长;如果不能,请说明理由。
例9、如图,在矩形ABCD中,AB=6米,BC=8米,动点P以2米/秒的速度从点A出发,沿AC向点C移动,同时动点Q以1米/秒的速度从点C出发,沿CB向点B移动,当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动。
设P、Q两点移动t秒后,四边形ABQP的面积为S平方米。
(1)求面积S关于时间t的函数关系,并求出t的取值范围。
(2)在P、Q两点移动的过程中,当△PQC为等腰三角形时,求t的值。
例10、如图,在Rt△ABC中,∠A=900,AB=6,AC=8,D、E分别是边AB、AC的中点,点P从点D出发沿DE方向运动,过点P作PQ⊥BC于Q,过点Q作QR∥BA交AC于R,当点Q与点C重合时,点P停止运动,设BQ=x,QR=y。
(1)求点D到BC的距离DH的长;
(2)求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);
(3)是否存在点P,使△PQR为等腰三角形?
若存在,请求出所有满足要求的x的值;若不存在,请说明理由。
三、因动点产生的平行四边形问题
例11、如图,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,正比例函数
(x为自变量)的图象与双曲线
交于点A,且点A的横坐标为
。
(1)求k的值;
(2)将直线
(x为自变量)向上平移4个单位得到直线BC,直线BC分别交x轴、y轴于B、C,如点D在直线BC上,在平面直角坐标系中求一点P,使以O、B、D、P为顶点的四边形是菱形。
例12、如图1,已知双曲线
与直线
交于A,B两点,点A在第一象限。
试解答下列问题:
(1)若点A的坐标(4,2),则点B的坐标为;若点A的横坐标为m,则点B的坐标可表示为;
(2)如图2,过原点O作另一条直线l,交双曲线
于P,Q两点,点P在第一象限。
①说明四边形APBQ一定是平行四边形;②设点A、P的横坐标分别为m、n,四边形APBQ可能是矩形吗?
可能是正方形吗?
若可能,直接写出m、n应满足的条件;若不可能,请说明理由。
例13、如图,在直角梯形COAB中,OC∥AB,以O为原点建立平面直角坐标系,A,B,C三点的坐标分别为A(8,0),B(8,10),C(0,4),点D为线段BC的中点,动点P从点O出发,以每秒1个单位的速度,沿折线OABD的路线移动,移动的时间为t秒。
(1)求直线BC的解析式;
(2)若动点P在线段OA上移动,当t为何值时,四边形OPDC的面积是梯形COAB的面积的
?
(3)动点P从点O出发,沿折线OABD的路线移动的过程中,设△OPD的面积为S,请直接写出S与t的函数关系式,并指出自变量t的取值范围;
(4)当动点P在线段AB上移动时,能否在线段OA上找到一点Q,使四边形CQPD为矩形?
若能,请求出此时动点P的坐标;若不能,请说明理由。
例14、已知:
如图1,在Rt△ABC中,∠C=900,AC=4cm,BC=3cm,点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动,速度为1cm/s;点Q由点A出发沿A出发沿AC方向向点C匀速运动,速度为2cm/s;连结PQ。
设运动的时间为t(s)(0 (1)当t为何值时,PQ∥BC? (2)设△APQ的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式。 (3)是否存在某一时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的周长和面积同时平分? 若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由。 (4)如图2,连结PC,并把△PQC沿QC翻折,得到四边形PQP/C,那么是否存在某一时刻t,使四边形PQP/C为菱形? 若存在,求出此时菱形的边长;若不存在,请说明理由。 四、因动点产生的梯形问题 例15、如图,已知A(-1,m)与B(2, )是反比例函数 图象上的两个点。 (1)求k的值; (2)若点C(-1,0),则在反比例函数 的图象上是否存在点D,使得以A、B、C、D四点为顶点的四边形为梯形? 若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由。 五、因动点产生的面积问题 例16、如图,直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=900,AB=6,AD=4,DC=3,动点P从点A出发,沿A→D→C→B方向移动,动点Q从点A出发,在AB边上移动,设点P移动的路程为x,点Q移动的路程为y,线段PQ平分梯形ABCD的周长。 (1)求y与x的函数关系式,并求出x,y的取值范围; (2)当PQ∥AC时,求x,y的值; (3)当P不在BC边上时,线段PQ能否平分梯形ABCD的面积? 若能,求出此时x的值。 六、因动点产生的线段和差的问题 例17、如图,A、B分别为x轴和y轴正半轴上的点。 OA、OB的长分别是方程 的两根(OA>OB),直线BC平分∠ABO交x轴于C点,P为BC上一动点,P点以每秒1个单位的速度从B点开始沿BC方向移动。 (1)设△APB和△OPB的面积分别为S1、S2,求S1: S2的值; (2)求直线BC的解析式; (3)设PA-PO=m,P点的移动时间为t。 ①当o 时,试求出m的取值范围; ②当> 时,你认为m的取值范围如何(只要求写出结论)?
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