线性代数模拟试题及答案.docx

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线性代数模拟试题及答案

一、填空题（每题2分，共20分）

1.行列式=。

2.若齐次线性方程组有非零解，且,则的值为。

3.若4×4阶矩阵A的行列式是A的伴随矩阵则=。

4.A为阶矩阵，且，则。

5.和是的两组基，且，若由基到基的基变换公式为（）=（）A，则A=。

6.向量。

7.设。

8.若。

9.二次型的正惯性指数为。

10.矩阵为正定矩阵，则的取值范围是。

二、单项选择（每小题2分，共12分）

1.矩阵。

A、1B、2C、3D、4

2.齐次线性方程组的基础解系中含有解向量的个数是（）

A、1B、2C、3D、4

3.已知向量组（）

A、-1B、-2C、0D、1

4.A、B（）

A、B=EB、A=EC、A=BD、AB=BA

5.已知（）

A、1或2B、-1或-2C、1或-2D、-1或2

6.下列矩阵中与矩阵（）

A、B、C、D

三、计算题（每小题9分，共63分）

1．计算行列式

2．当有解？

在方程组有解时，用其导出组的基础解系表示方程组的通解。

3．给定向量组。

当为何值时，向量组线性相关？

当线性组线性相关时，求出极大线性无关组，并将他们向量用极大线性无关组线性表示。

4．设矩阵，。

5．已知阶正交矩阵，且|A|<0。

（1）求行列式|A|的值；

（2）求行列式|A+E|的值。

6．已知实对称矩阵1）求正交矩阵Q，使Q-1AQ为对角矩阵2）求A10。

7．将二次型化为标准形，并写出相应的可逆线性变换。

四、证明题（5分）

A、B均为n阶矩阵，且A、B、A+B均可逆，证明：

（A-1+B-1）-1=B（A+B）-1A

答案

一、填空题（每小题2分，共20分）

1.1602.-23.274.5.6.-9

7.78.1,,9.110.

二、单项选择（每小题2分，共12分）

1.A2.B3.C4.D5.C6.B

三、计算题（每小题9分，共63分）

1.将第2列的倍，第3列的倍统统加到第1列上去，得

2.先对方程组的增广矩阵进行初等行变换

所以，当方程组有解，特解其导出的基础解系为原方程组的全部解为为任意常数。

3.由向量组为列向量组作矩阵

当时，向量组线性相关。

向量组的极大线性无关组是且

4.由AX=2X+B得，（A-2E）X=B

所以有X=B=

=

5.由于则因为，，所以

所以，

6.，所以A的4特征值为。

对应与特征于的特征向量，标准正交化；

对应于特征值的特征向量，，标准正交化，，。

由此可得正交矩阵，

使得。

四、证明题（4分）

证明：

或

一、填充题（每小题2分，共20分）

1.。

2.=（n为正整数）。

3.设A=，则=。

4.非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件是。

5.向量。

6.A、B、C有ABC=E,E为。

7.若阶矩阵A有一特征值为2，则。

8.若A、B为同阶方阵，则的充分必要充分条件是。

9.正交矩阵A如果有实特征值，则其特征值。

10.二次型

值范围是。

二、单项选择（每小题2分，共10分）

1.若（）

A、12B、-12C、18D、0

2.设A、B都是（）

A、A=0或B=0B、A、B都不可逆

C、A、B中至少有一个不可逆D、A+B=O

3.向量组（）

A、

B、中有两个向量的对应分量成比例

C、中每一个向量都可用其余个向量线性表示

D、中至少有一个向量可由其余个向量线性表示

4.由（）

A、B、C、D、

5.若（）

A、它们的特征矩阵相似B、它们具有相同的特征向量

C、它们具有相同的特征矩阵D、存在可逆矩阵

三、计算题（每小题9分，共63分）

1.计算行列式

2.当、为何值时有解，在有解的情况下，求其全部解（用其导出组的基础解系线性表示）。

3.求向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示。

4.设

5.已知矩阵

（1）求

6.给定，将其化为正准交基，并求向量。

7.化二次型为标准形，写出相对应的非奇异线性变换。

并指出二次型的秩、正惯性指数及符号差。

四、证明题（7分）

如果A是

答案

一、填空题

1.2.3.4.

5.6.AB7.08.AB=BA9.1或-110.

二、单项选择题

1.A2.C3.D4.B5.A

三、计算题

1.原式=

2.

当时线性方程组有解

全部解为为任意常数。

3.

且

4.由AX+B=X，得（E-A）X=B，即X=B

5.由于A与B相似，则

所以，A的特征值为

对于A对应的特征向量为

对于A对应的特征向量为

对于A对应的特征向量为

6.先正交化得，

再单位化得，

7.

令，即作线性变换

可将二次型化为标准形

二次型的秩是3，正惯性指数是2，符号差是1。

四、证明题

证明：

由于

另一方面，元素的代数余子式不等于0，故由此可得，

一、单项选择题

1.如果n阶矩阵A满足条件其中是元素的代数余子式，

那么矩阵A的伴随矩阵等于（）

....

2.设A是mn矩阵,是非齐次线性方程组对应的齐次方程

组，那么下列叙述正确的是（）

（A）如果只有零解，那么有唯一解.

（B）如果有非零解，那么有无穷多个解.

（C）如果有无穷多个解,那么只有零解.

（D）如果有无穷多个解,那么有非零解.

3.实二次型的秩与符号差的和必为（）

（A）零.（B）负数.（C）偶数.（D）奇数.

4.若3阶矩阵A的秩r（A）=1,则A的伴随矩阵A*必为（）

（A）零矩阵.（B）秩为1的矩阵.（C）秩为2的矩阵.（D）秩为3的矩阵.

5.若n阶矩阵A互换第一,二行后得矩阵B,则必有（）

（A）A+B=O.（B）AB=O.（C）.（D）.

6.若向量组线性无关，则下列向量组线性无关的是（）

（A）.

（B）.

（C）.

（D）.

7.A为阶矩阵，且，则。

8.若。

9.设α,β,γ,η都是3×1矩阵,分块矩阵,,若2,3,则=。

10.若4×4阶矩阵A的行列式是A的伴随矩阵则=。

二、填空题

1.设α,β,γ,η都是3×1矩阵,分块矩阵,,若2,3,则=.

2.若,则x的一次项的系数是.

3.当a满足条件时,线性方程组无解,当a满足条件时,上述线性方程组有解,且有解（有无穷多个解还是有唯一解）.

4.设矩阵则=.

5.二次型的矩阵

是.

6.如果A是3阶可逆矩阵矩阵，互换A的第一，第二行得矩阵B,且

，则=.

7.已知（）。

A、1或2B、-1或-2C、1或-2D、-1或2

8.若3阶矩阵A的秩r（A）=1,则A的伴随矩阵A*必为（）。

A、零矩阵B、秩为1的矩阵C、秩为2的矩阵D、秩为3的矩阵

三、计算n（>2）阶行列式

.

四、x满足什么条件时,n阶矩阵是不可逆的.

五、求下列非齐次线性方程组的通解

六、求向量组

的秩和一个极大无关组。

七、已知阶正交矩阵，且|A|<0。

（1）求行列式|A|的值；

（2）求行列式|A+E|的值。

八、设，且矩阵A,X满足AX=A+2X,求矩阵X。

九、设A为m⨯n矩阵，B为n⨯s矩阵，证明：

如果AB=O,那么

秩（A）+秩（B）≤n.

十、如果A是n阶正定矩阵，B是n阶实反对称矩阵，证明为正定矩阵。

十一、A、B均为n阶矩阵，且A、B、A+B均可逆，证明：

（A-1+B-1）-1=B（A+B）-1A。

十二、设向量组，，…，线性无关（s>2）试证明下列各向量组线性无关：

，+，…,++…+。