平面向量基本定理及其表示.docx
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平面向量基本定理及其表示
平面向量基本定理及其表示
适用学科
数学
适用年级
高三
适用区域
通用
课时时长(分钟)
60
知识点
基底的概念与平面向量基本定理
平面向量基本定理的应用平面向量的坐标表示及运算平面向量共线的坐标表示
教学目标
1•了解平面向量的基本定理及其意义.
2.掌握平面向量的坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
教学重点
平面向量的坐标运算及用坐标表示平面向量共线
教学难点
向量的坐标运算及共线条件
教学过程
、课堂导入
问题:
什么是平面向量基本定理?
平面向量怎么用坐标来表示?
二、复习预习
1.要区分点的坐标和向量的坐标,向量坐标中包含向量大小和方向两种信息;两个向量共线有方向相同、相反两种情
况.
Xiyi
2.若a=(xi,yi),b=(X2,y2),贝Ua//b的充要条件不能表示成疝=旳,因为沁,¥有可能等于0,所以应表示为xiy2-
X2yi=0.
、知识讲解
考点1平面向量基本定理
如果81和82是一平面内的两个不平行的向量,那么该平面内的任一向量a,存在唯一的一对实数ai,82,使a=aiei
+a2e2.
其中,不共线的向量ei,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,记为{ei,e2}.aiei+8282叫做向量a关于基
底{81,82}的分解式.
考点2平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a=(X1,yi),b=(x2,y2),贝U
a+b=(xi+x2,yi+y2),a—b=(xi—x2,yi—y2),
“(入x,入y,|a|=pxi+yi.
(2)向量坐标的求法
①一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.
②设A(xi,yi),B(x2,y2),则AB=(x2—xi,y2—yi),AB|=x2—xi2+y2—yi2
考点3平面向量共线的坐标表示
设a=(X1,yi),b=(x2,y2),其中(h//b?
xiy2—xyi=0.
四、例题精析
考点一平面向量基本定理的应用例1在△ABC中,点P是AB上一点,且CP=3cA+1cB,q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,又CM=tCP,试求
t的值.
【规范解答】vcp=2cA+1cB,A3CP=2CA+CB,即2cP—2cA=cB—cP,
•••2AP=PB,即P为AB的一个三等分点(靠近点A),如图所示.
VA,M,Q三点共线,.••设CM=xCQ+(1—x)cA=2cB+(x-1)AC,
而CB=AB—ac,acMi=XaB+(X—i)ac.又cP=AP-ac=^AB—Ac
,解得t=3.
l2—1=—t
33由已知CM=tCP可得,2aB+(2—1)AC=t(3AB—AC),•••{
【总结与反思】平面向量基本定理表明,平面内的任意一个向量都可用一组基底唯一表示,题中将同一向量用同一
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组基底的两种形式表示出来,因此根据表示的唯一性”可建立方程组求解.
考点二向量的坐标运算例2已知A(1,—2),B(2,1),C(3,2),D(—2,3),
⑴求Ad+2BD—3BC;
⑵设CM=3CA,CN=—2BC,求MN及M、N点的坐标.
【规范解答】
(1)-7X(1,-2),B(2,1),C(3,2),D(-2,3),/AD=(-2-1,3+2)=(-3,5),
BD=(-2-2,3—1)=(-4,2),bC=(3-2,2-1)=(1,1),
aaD+2BD—3bC=(-3,5)+2(-4,2)-3(1,1)=(-3-8-3,5+4—3)=(-14,6).
⑵vcM=3CA,CN=-2E^,AMN=cN-CM=-2E3C-3CA=-2BC+3AC,
由A、B、C、D点坐标可得AC=(3,2)-(1,-2)=(2,4).aMN=-2(1,1)+3(2,4)=(4,10).
设M(xm,yM),N(XN,yN).又Cm=3Ca,aOM-oC=3(OA-oC),
••(XM,yM)-(3,2)=3[(1,-2)-(3,2)]=(-6,-12).
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•••XM=—3,yM=—10,AM(—3,—10).又CN=—2BC,即ON—oC=—2BC,
•••(XN,yN)—(3,2)=—2(1,1),.・.xn=1,yN=0,.小(1,0).
【总结与反思】向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标,则应先求
出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
考点三向量共线的坐标表示例3
(1)已知梯形ABCD,其中AB//CD,且DC=2AB,三个顶点A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为
⑵已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,7),若(a—c)//b,则k=
【规范解答】⑴•••在梯形ABCD中,DC=2AB,.・DC=2AB.
设点D的坐标为(X,y),则DC=(4,2)—(X,y)=(4—x,2—y),
Ab=(2,1)—(1,2)=(1,—1),A(4—x,2—y)=2(1,—1),即(4—x,2—y)=(2,—2),
|4一x=2|x=2
j,解得1,故点D的坐标为(2,4).
l2—y=—2[y=4
(2)依题意得a—c=(3,1)—(k,7)=(3—k,—6),
3—k—6
又v(a—c)//b,故〒==,•*=5.
【总结与反思】
(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式:
①若a=(XI,yi),b=(X2,y2),则a//b的充要条件是xiy2
—X2yi=0;②若a//b(aM0,则b=:
a.
(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时,也可以利用坐标
对应成比例来求解.
课程小结
i.平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则,将向量进行分解.
向量的坐标表示的本质是向量的代数表示,其中坐标运算法则是运算的关键.
2.平面向量共线的坐标表示
(1)两向量平行的充要条件
若a=(X1,yi),b=(X2,y2),则a//b的充要条件是a=?
b,这与xiy2—X2yi=0在本质上是没有差异的,只是形式上不
同.
⑵三点共线的判断方法
判断三点是否共线,先求由三点组成的任两个向量,然后再按两向量共线进行判定.
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- 关 键 词:
- 平面 向量 基本 定理 及其 表示