电子教案《信号与系统》第三版信号系统习题解答docx.docx
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电子教案《信号与系统》第三版信号系统习题解答docx
《信号与系统》(第3版)
习题解析
高等教育出版社
第1章习题解析2
第2章习题解析6
第3章习题解析16
第4章习题解析23
第5章习题解析31
第6章习题解析41
第7章习题解析49
第8章习题解析55
1
第1章习题解析
1-1题1-1图示信号中,哪些是连续信号?
哪些是离散信号?
哪些是周期信号?
哪些是
非周期信号?
哪些是有始信号?
(c)(d)
题1-1图
解(a)、(c)、(d)为连续信号;(b)为离散信号;(d)为周期信号;其余为非周期信号;(a)、
(b)、(c)为有始(因果)信号。
1-2给定题1-2图示信号f(t),试画出下列信号的波形。
[提示:
f(2t)表示将f(t)波形压缩,f(t)表示将f(t)波形展宽。
]
2
(a)2f(t2)
(b)f(2t)
(c)f(t)
2
(d)f(t+1)
题1-2图
解以上各函数的波形如图p1-2所示。
2
图p1-2
1-3如图1-3图示,R、L、C元件可以看成以电流为输入,电压为响应的简单线性系统
SR、SL、SC,试写出各系统响应电压与激励电流函数关系的表达式。
SR
SL
SC
题1-3图
解各系统响应与输入的关系可分别表示为
uR(t)
RiR(t)
uL(t)
diL(t)
L
1
dt
t
uC(t)
iC()d
C
1-4如题1-4图示系统由加法器、积分器和放大量为a的放大器三个子系统组成,系统
属于何种联接形式?
试写出该系统的微分方程。
3
题1-4图
解系统为反馈联接形式。
设加法器的输出为x(t),由于
x(t)f(t)(a)y(t)
且
y(t)x(t)dt,x(t)y(t)
故有
y(t)f(t)ay(t)
即
y(t)ay(t)f(t)
1-5已知某系统的输入f(t)与输出y(t)的关系为y(t)=|f(t)|,试判定该系统是否为线
性时不变系统?
解设T为系统的运算子,则可以表示为
y(t)T[f(t)]f(t)
不失一般性,设f(t)=f1(t)+f2(t),则
T[f1(t)]f1(t)y1(t)
T[f2(t)]f2(t)y2(t)
故有
T[f(t)]f1(t)f2(t)y(t)
显然
f1(t)f2(t)f1(t)f2(t)
即不满足可加性,故为非线性时不变系统。
1-6判断下列方程所表示的系统的性质。
(1)
y(t)
df(t)
t
)d
dt
f(
0
(2)
y(t)
y(t)3y(t)
f(t)
4
(3)
2ty(t)
y(t)
3f(t)
(4)
[y(t)]2
y(t)
f(t)
解
(1)线性;
(2)线性时不变;(3)线性时变;(4)非线性时不变。
1-7试证明方程
y(t)ay(t)f(t)
所描述的系统为线性系统。
式中a为常量。
证明不失一般性,设输入有两个分量,且
f1(t)y1(t),f2(t)y2(t)
则有
y1(t)ay1(t)f1(t)
y2(t)ay2(t)f2(t)
相加得
y1(t)ay1(t)y2(t)ay2(t)f1(t)f2(t)
即
dy1(t)y2(t)ay1(t)y2(t)f1(t)f2(t)
dt
可见
f1(t)f2(t)y1(t)y2(t)
即满足可加性,齐次性是显然的。
故系统为线性的。
1-8
若有线性时不变系统的方程为
y(t)ay(t)
f(t)
若在非零f(t)作用下其响应y(t)
1et
,试求方程
y(t)
ay(t)
2f(t)
f
(t)
的响应。
解
因为f(t)y(t)1et
,由线性关系,则
2f(t)
2y(t)
2(1
et)
由线性系统的微分特性,有
f
(t)
y(t)
e
t
故响应
2f(t)
f(t)
y(t)
2(1
et
)
et
2et
5
第2章习题解析
2-1如图2-1所示系统,试以uC(t)为输出列出其微分方程。
题2-1图
解由图示,有
uCduC
iLC
Rdt
又
iL
1
t
(uSuC)dt
L0
故
1(uSuC)uCCuC
LR
从而得
uC(t)1uC(t)1uC(t)1uS(t)
RCLCLC
2-2设有二阶系统方程
y(t)4y(t)4y(t)0
在某起始状态下的0+起始值为
y(0)1,y(0)2
试求零输入响应。
解
由特征方程
2+4
+4=0
得
1=
2=
2
则零输入响应形式为
yzi(t)(A1
A2t)e2t
6
由于
yzi(0+)=A1=1
2A1+A2=2
所以
A2=4
故有
yzi(t)(14t)e2t,
t0
2-3
设有如下函数f(t),试分别画出它们的波形。
(a)
f(t)=2(t1)
2(t
2)
(b)
f(t)=sint[(t)
(t
6)]
解(a)和(b)的波形如图p2-3所示。
图p2-3
2-4试用阶跃函数的组合表示题2-4图所示信号。
题2-4图
7
解(a)f(t)=(t)2(t1)+(t2)
(b)f(t)=(t)+(tT)+(t2T)
2-5试计算下列结果。
(1)t(t1)
(2)t(t1)dt
(3)
cos(
t
π
)(t)dt
0
3
0
(4)
3t
(
t)dt
e
0
解
(1)
t
(t
1)=(t
1)
(2)
t
(t
1)dt
(t
1)dt1
(3)
cos(
t
π
(t)dt
π
1
)
cos()
(t)dt
0
3
0
3
2
(4)
0
3t
(t)dt
0
3t
(t)dt
0
(t)dt1
e
e
0
0
0
2-6设有题2-6图示信号f(t),对(a)写出f(t)的表达式,对(b)写出f(t)的表达式,
并分别画出它们的波形。
题2-6图
解
(a)
1,
0t2
2
f(t)=
(t
2),t=2
2
(t
4),
t=4
(b)
f(t)=2(t)2(t1)
2
(t
3)+2
(t4)
8
图p2-6
2-7如题2-7图一阶系统,对(a)求冲激响应i和uL,对(b)求冲激响应uC和iC,并画出
它们的波形。
题2-7图
解由图(a)有
LdiuS(t)Ri
dt
即
di
R
1
dt
Li
LuS(t)
当uS(t)=(t),则冲激响应
h(t)i(t)
Rt
(t)
1eL
L
则电压冲激响应
h(t)uL(t)Ldi
(t)
R
(t)
ReL
t
dt
L
对于图(b)RC电路,有方程
CduCiSuC
dtR
9
即
uC1uC1iS
RCC
当iS=(t)时,则
h(t)uC(t)
1
e
C
t
RC(t)
同时,电流
iCCduC(t)1e
dtRC
t
RC(t)
2-8设有一阶系统方程
y(t)3y(t)f(t)f(t)
试求其冲激响应h(t)和阶跃响应s(t)。
解因方程的特征根=3,故有
x1(t)e3t(t)
当h(t)=(t)时,则冲激响应
h(t)x1(t)[(t)(t)](t)2e3t(t)
阶跃响应
s(t)
t
1(12e3t)(t)
h()d
0
3
2-9试求下列卷积。
(a)(t)*2
(b)(t+3)*(t5)
(c)tet(t)*(t)
解(a)由(t)的特点,故
(t)*2=2
(b)按定义
(t+3)*(t5)=
(
3)(t
5)d
考虑到<
3时,(
+3)=0;>t5时,(t
5)=0,故
t
5
t2,
t2
(t+3)*(t5)=
d
3
也可以利用迟延性质计算该卷积。
因为
10
(t)*(t)=t(t)
f1(tt1)*f2(tt2)=f(tt1t2)
故对本题,有
(t+3)*(t5)=(t+35)(t+35)=(t2)(t2)
两种方法结果一致。
(c)tet(t)*(t)=[tet(t)]=(ettet)(t)
2-10对图示信号,求f1(t)*f2(t)。
题2-10图
解(a)先借用阶跃信号表示f1(t)和f2(t),即
f(t)=2(t)
2(t1)
1
f(t)=(t)
(t2)
2
故
f1(t)*f2(t)=[2(t)2(t1)]*[(t)(t2)]
因为
(t)*(t)=
t
1d=t(t)
0
故有
f1(t)*f2(t)=2t(t)2(t1)(t1)2(t2)(t2)+2(t3)(t3)
读者也可以用图形扫描法计算之。
结果见图p2-10(a)所示。
11
(b)根据(t)的特点,则
f1(t)*f2(t)=f1(t)*[(t)+(t2)+(t+2)]
=f1(t)+f1(t2)+f1(t+2)
结果见图p2-10(b)所示。
图p2-10
2-11试求下列卷积。
(a)
(1
e2t)
(t)
(t)
(t)
(b)
e3t
(t)
d[et(t)]
dt
解
(a)因为
(t)
(t)
(t)
(t),故
(1
e2t)
(t)
(t)
(t)
(1e
2t)(t)
(t)
(1e2t)(t)
(b)因为et(t)
(t),故
d[et
e3t
(t)
(t)]
e3t
(t)
(t)
dt
(t)
3e3t
2-12设有二阶系统方程
y(t)3y(t)2y(t)4(t)
试求零状态响应
解因系统的特征方程为
2+3+2=0
解得特征根
1=1,2=2
故特征函数
x2(t)e1te2t(ete2t)(t)
12
零状态响应
y(t)4(t)x2(t)4(t)(ete2t)(t)
=(8e2t4et)(t)
2-13如图系统,已知
h1(t)(t1),h2(t)(t)
试求系统的冲激响应h(t)。
题2-13图
解由图关系,有
x(t)f(t)f(t)h1(t)(t)(t)(t1)(t)(t1)
所以冲激响应
h(t)y(t)x(t)h2(t)[(t)(t1)](t)(t)(t1)
即该系统输出一个方波。
2-14如图系统,已知R1=R2=1,L=1H,C=1F。
试求冲激响应uC(t)。
题2-14图
解
由KCL和KVL,可得电路方程为
CuC
(1
R2C)uC
(1R2)uC
1
(t)
R2
(t)
R1
L
LR1L
R1
R1L
13
代入数据得
uC2uC2uC(t)(t)
特征根
1,2=1j1
故冲激响应uC(t)为
uC(t)(eλ1t
eλ1t)*[
(t)
(t)]
et
(cost
sint)(t)
etsint(t)
et
cost
(t)
V
2-15
一线性时不变系统,在某起始状态下,已知当输入
f(t)=(t)时,全响应y1(t)=
3e3t(t);当输入f(t)=
(t)时,全响应y2(t)=e3t
(t),试求该系统的冲激响应h(t)。
解
因为零状态响应
(t)
s(t),(t)
s(t)
故有
y1(t)=yzi(t)+s(t)=3e3t
(t)
y2(t)=yzi(t)s(t)=e3t(t)
从而有
y1(t)
y2(t)=2s(t)=2e3t
(t)
即
s(t)=e3t(t)
故冲激响应
h(t)=s(t)=(t)3e3t(t)
2-16若系统的零状态响应
y(t)=f(t)*h(t)
试证明:
(1)f(t)h(t)
df(t)
t
dt
h()d
(2)利用
(1)的结果,证明阶跃响应
s(t)
t
h()d
证
(1)因为
y(t)=f(t)h(t)
14
由微分性质,有
y(t)=f(t)h(t)
再由积分性质,有
y(t)
f(t)
t
h()d
(2)因为
s(t)=(t)h(t)
由
(1)的结果,得
s(t)
(t)
t
)d
h(
(t)
t
)d
h(
t
)d
h(
15
第3章习题解析
3-1求题3-1图所示周期信号的三角形式的傅里叶级数表示式。
题3-1图
解对于周期锯齿波信号,在周期(0,T)内可表示为
f(t)At
T
系数
a0
1
T
1
T
At
A
f(t)dt
T
dt
2
T0
T
0
an
2
T
1tdt
2A
T
cosn
1tdt
T
f(t)cosn
T2
t
0
0
2A
tsinn
T
1t
0
T2
n
1
0
bn
2AT
1tdt
2A
T
sinn
1tdt
T
f(t)sinn
T
2
t
0
0
2A
tcosn
1t
T
A
T2
n
1
0
nπ
所以三角级数为
f(t)
A
Asinn
1t
2
n1nπ
3-2求周期冲激序列信号
T(t)(tnT)
n
的指数形式的傅里叶级数表示式,它是否具有收敛性?
解冲激串信号的复系数为
16
Fn
1
T
jn1t
1
2
(t)e
T
dt
T
所以
2
T
T(t)
1
ejn1t
Tn
因Fn为常数,故无收敛性。
3-3设有周期方波信号f(t),其脉冲宽度=1ms,问该信号的频带宽度(带宽)为多
少?
若压缩为0.2ms,其带宽又为多少?
解对方波信号,其带宽为f1Hz,
当1=1ms时,则
1
1
f1
1000Hz
1
0.001
当2=0.2ms时,则
1
1
f2
5000Hz
2
0.0002
3-4求题3-4图示信号的傅里叶变换。
题3-4图
解(a)因为
t
t
f(t)=
0,t
为奇函数,故
17
F()
j2
tsin
tdt
0
j
2
cos]
2[sin
j2[cos
Sa()]
或用微分定理求解亦可。
(b)f(t)为奇函数,故
F()j2
(1)sintdt
0
2[cos1]j4sin2()
j2
若用微分-积分定理求解,可先求出f(t),即
f(t)=(t+)+(t
)2(t)
所以
f(t)F1(j)ejej
22cos
2
又因为F1(0)=0,故
F()
1F1()
2(cos
1)
j
j
3-5
试求下列信号的频谱函数。
(1)
f(t)
2t
e
(2)
f(t)
eatsin0t(t)
解
(1)
F(
)
f(t)e
tdt
0
tdt
e2te
tdt
j
e2tej
j
0
1
1
4
2
j
2j
4
2
1(ej0t
(2)
F(
)
f(t)e
j
tdt
0
eat
ej
0t
)ejtdt
2j
1
[ej0t
e(aj
)t
ej
0te(aj
)t]dt
2j
0
1
1
2j
(
j
)j
0
1
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