(2)若|a|≤1,求证:
|f(x)|≤.
4.[考点一](2017·开封模拟)设函数f(x)=|x-a|,a<0.
(1)证明:
f(x)+f≥2;
(2)若不等式f(x)+f(2x)<的解集非空,求a的取值范围.
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1.(2016·全国乙卷)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.
(1)画出y=f(x)的图象;
(2)求不等式|f(x)|>1的解集.
2.(2016·全国丙卷)已知函数f(x)=|2x-a|+a.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;
(2)设函数g(x)=|2x-1|.当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.
3.(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
4.(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;
(2)设a>-1,且当x∈时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.
5.(2012·新课标全国卷)已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.
(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.
1.已知函数f(x)=|x+m|-|5-x|(m∈R).
(1)当m=3时,求不等式f(x)>6的解集;
(2)若不等式f(x)≤10对任意实数x恒成立,求m的取值范围.
2.(2017·郑州模拟)设函数f(x)=|x+2|-|x-1|.
(1)求不等式f(x)>1的解集;
(2)若关于x的不等式f(x)+4≥|1-2m|有解,求实数m的取值范围.
3.(2017·长春模拟)已知函数f(x)=|x-2|-|x+1|.
(1)解不等式f(x)>1;
(2)当x>0时,函数g(x)=(a>0)的最小值大于函数f(x),试求实数a的取值范围.
4.设函数f(x)=|kx-1|(k∈R).
(1)若不等式f(x)≤2的解集为,求k的值;
(2)若f
(1)+f
(2)<5,求k的取值范围.
5.已知函数f(x)=|2x-a|+|2x+3|,g(x)=|x-1|+2.
(1)解不等式:
|g(x)|<5;
(2)若对任意的x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围.
6.设函数f(x)=|2x-1|-|x+4|.
(1)解不等式:
f(x)>0;
(2)若f(x)+3|x+4|≥|a-1|对一切实数x均成立,求a的取值范围.
7.已知函数f(x)=|2x-a|+a(其中a为常数).
(1)若集合{x|-4≤x≤3}是关于x的不等式f(x)≤6的解集的子集,求实数a的取值范围;
(2)在
(1)的条件下,若存在实数n使f(n)≤m-f(-n)成立,求实数m的取值范围.
8.已知函数f(x)=|3x+2|.
(1)解不等式f(x)<4-|x-1|;
(2)已知m+n=1(m,n>0),若|x-a|-f(x)≤+(a>0)恒成立,求实数a的取值范围.
第二节不等式的证明
本节重点突破1个知识点:
不等式的证明.
突破点 不等式的证明
基础联通抓主干知识的“源”与“流”
1.基本不等式
定理1:
如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.
定理2:
如果a,b>0,那么≥,当且仅当a=b时,等号成立,即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均.
定理3:
如果a,b,c∈R+,那么≥,当且仅当a=b=c时,等号成立.
2.比较法
(1)作差法的依据是:
a-b>0⇔a>b.
(2)作商法:
若B>0,欲证A≥B,只需证≥1.
3.综合法与分析法
(1)综合法:
一般地,从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立.
(2)分析法:
从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义,公理或已证明的定理,性质等),从而得出要证的命题成立.
考点贯通抓高考命题的“形”与“神”
比较法证明不等式
[例1] 设a,b是非负实数,求证:
a2+b2≥(a+b).
[方法技巧]
作差比较法证明不等式的步骤
(1)作差;
(2)变形;(3)判断差的符号;(4)下结论.其中“变形”是关键,通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式,再结合不等式的性质判断出差的正负.
综合法证明不等式
[例2] 已知a,b,c>0且互不相等,abc=1.试证明:
++<++.
[方法技巧]
综合法证明时常用的不等式
(1)a2≥0.
(2)|a|≥0.
(3)a2+b2≥2ab,它的变形形式有:
a2+b2≥2|ab|;a2+b2≥-2ab;(a+b)2≥4ab;a2+b2≥(a+b)2;≥2.
(4)≥,它的变形形式有:
a+≥2(a>0);+≥2(ab>0);+≤-2(ab<0).
分析法证明不等式
[例3] (2017·沈阳模拟)设a,b,c>0,且ab+bc+ca=1.求证:
(1)a+b+c≥;
(2)++≥(++).
[方法技巧]
分析法的应用
当所证明的不等式不能使用比较法,且和重要不等式(a2+b2≥2ab)、基本不等式没有直接联系,较难发现条件和结论之间的关系时,可用分析法来寻找证明途径,使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.
能力练通抓应用体验的“得”与“失”
1.[考点三]已知a>b>c,且a+b+c=0,求证:
2.[考点一]已知a≥b>0,求证:
2a3-b3≥2ab2-a2b.
3.[考点二]已知a,b,c,d均为正数,且ad=bc.
(1)证明:
若a+d>b+c,则|a-d|>|b-c|;
(2)t·=+,求实数t的取值范围.
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1.(2016·全国甲卷)已知函数f(x)=+,M为不等式f(x)<2的解集.
(1)求M;
(2)证明:
当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.
2.(2015·新课标全国卷Ⅱ)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:
(1)若ab>cd,则+>+;
(2)+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.
3.(2014·新课标全国卷Ⅰ)若a>0,b>0,且+=.
(1)求a3+b3的最小值;
(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?
并说明理由.
4.(2013·新课标全国卷Ⅱ)设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:
(1)ab+bc+ac≤;
(2)++≥1.
[课时达标检测]基础送分题——高考就考那几点,练通就能把分捡
1.已知函数f(x)=|x+3|+|x-1|,其最小值为t.
(1)求t的值;
(2)若正实数a,b满足a+b=t,求证:
+≥.
2.设不等式-2<|x-1|-|x+2|<0的解集为M,a,b∈M.
(1)证明:
<;
(2)比较|1-4ab|与2|a-b|的大小,并说明理由.
3.(2017·广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)=|x-m|+|x|,m∈N*,存在实数x使f(x)<2成立.
(1)求实数m的值;
(2)若α,β≥1,f(α)+f(β)=4,求证:
+≥3.
4.
(1)已知a,b都是正数,且a≠b,求证:
a3+b3>a2b+ab2;
(2)已知a,b,c都是正数,求证:
≥abc.
5.已知x,y∈R,且|x|<1,|y|<1.
求证:
+≥.
6.(2017·长沙模拟)设α,β,γ均为实数.
(1)证明:
|cos(α+β)|≤|cosα|+|sinβ|,|sin(α+β)|≤|cosα|+|cosβ|;
(2)若α+β+γ=0,证明:
|cosα|+|cosβ|+|cosγ|≥1.
7.(2017·重庆模拟)设a,b,c∈R+且a+b+c=1.
求证:
(1)2ab+bc+ca+≤;
(2)++≥2.
8.(2017·贵阳模拟)已知函数f(x)=2|x+1|+|x-2|.
(1)求f(x)的最小值m;
(2)若a,b,c均为正实数,且满足a+b+c=m,求证:
++≥3.