高中数学第二单元圆锥曲线与方程章末复习课教学案新人教B版选修11.docx
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高中数学第二单元圆锥曲线与方程章末复习课教学案新人教B版选修11.docx
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高中数学第二单元圆锥曲线与方程章末复习课教学案新人教B版选修11
第二单元圆锥曲线与方程
学习目标 1.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用,会用定义求标准方程.2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质,会利用几何性质解决相关问题.4.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法.
知识点一 椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质
椭圆
双曲线
抛物线
定义
平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于定长(大于|F1F2|)的点的轨迹
平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于定值2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹
平面内到一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹
标准方程
+=1或+=1(a>b>0)
-=1或-=1(a>0,b>0)
y2=2px或y2=-2px或x2=2py或x2=-2py(p>0)
关系式
a2-b2=c2
a2+b2=c2
图形
封闭图形
无限延展,但有渐近线y=±x或y=±x
无限延展,没有渐近线
变量范围
|x|≤a,|y|≤b或|y|≤a,|x|≤b
|x|≥a或|y|≥a
x≥0或x≤0或y≥0或y≤0
对称性
对称中心为原点
无对称中心
两条对称轴
一条对称轴
顶点
四个
两个
一个
离心率
e=,且0 e=,且e>1 e=1 决定形状的因素 e决定扁平程度 e决定开口大小 2p决定开口大小 知识点二 椭圆的焦点三角形 设P为椭圆+=1(a>b>0)上任意一点(不在x轴上),F1,F2为焦点且∠F1PF2=α,则△PF1F2为焦点三角形(如图). (1)焦点三角形的面积S=b2tan. (2)焦点三角形的周长L=2a+2c. 知识点三 双曲线及渐近线的设法技巧 1.由双曲线标准方程求其渐近线方程时,最简单实用的办法是: 把标准方程中的1换成0,即可得到两条渐近线的方程.如双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为-=0(a>0,b>0),即y=________;双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为-=0(a>0,b>0),即y=________. 2.如果双曲线的渐近线方程为±=0,它的双曲线方程可设为________________. 知识点四 求圆锥曲线方程的一般步骤 一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤. (1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置. (2)定式——根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应用,如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时,可设方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0). (3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系,通过解方程得到量的大小. 知识点五 三法求解离心率 1.定义法: 由椭圆(双曲线)的标准方程可知,不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上,都有关系式a2-b2=c2(a2+b2=c2)以及e=,已知其中的任意两个参数,可以求其他的参数,这是基本且常用的方法. 2.方程法: 建立参数a与c之间的齐次关系式,从而求出其离心率,这是求离心率的十分重要的思路及方法. 3.几何法: 求与过焦点的三角形有关的离心率问题,根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质,建立参数之间的关系,通过画出图形,观察线段之间的关系,使问题更形象、直观. 知识点六 直线与圆锥曲线的位置关系 1.直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况: 一是相切;二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行. 2.直线与圆锥曲线的位置关系,涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识,形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题.解决此类问题应注意数形结合,以形辅数的方法;还要多结合圆锥曲线的定义,根与系数的关系以及“点差法”等. 类型一 圆锥曲线的定义及应用 例1 已知椭圆+y2=1(m>1)和双曲线-y2=1(n>0)有相同的焦点F1,F2,P是它们的一个交点,则△F1PF2的形状是( ) A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形D.随m,n变化而变化 反思与感悟 涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时,常用定义结合解三角形的知识来解决. 跟踪训练1 抛物线y2=2px(p>0)上有A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三点,F是它的焦点,若|AF|,|BF|,|CF|成等差数列,则( ) A.x1,x2,x3成等差数列 B.y1,y2,y3成等差数列 C.x1,x3,x2成等差数列 D.y1,y3,y2成等差数列 类型二 圆锥曲线的方程及几何性质 命题角度1 求圆锥曲线的方程 例2 已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,则p等于( ) A.1B.C.2D.3 反思与感悟 一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤. (1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置. (2)定式——根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应用,如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时,可设方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0). (3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系. 跟踪训练2 设抛物线C: y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点A(0,2),则C的方程为( ) A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x 命题角度2 求圆锥曲线的离心率 例3 如图,F1、F2是椭圆C1: +y2=1与双曲线C2的公共焦点,A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是________. 反思与感悟 求圆锥曲线离心率的三种方法 (1)定义法: 由椭圆(双曲线)的标准方程可知,不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是在y轴上都有关系式a2-b2=c2(a2+b2=c2)以及e=,已知其中的任意两个参数,可以求其他的参数,这是基本且常用的方法. (2)方程法: 建立参数a与c之间的齐次关系式,从而求出其离心率,这是求离心率的十分重要的思路及方法. (3)几何法: 求与过焦点的三角形有关的离心率问题,根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质,建立参数之间的关系,通过画出图形,观察线段之间的关系,使问题更形象、直观. 跟踪训练3 已知抛物线y2=4x的准线与双曲线-y2=1交于A,B两点,点F为抛物线的焦点,若△FAB为直角三角形,则该双曲线的离心率是________. 类型三 直线与圆锥曲线的位置关系 例4 已知椭圆+=1(a>b>0)上的点P到左,右两焦点F1,F2的距离之和为2,离心率为. (1)求椭圆的标准方程; (2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A,B两点,若y轴上一点M(0,)满足|MA|=|MB|,求直线l的斜率k的值. 反思与感悟 解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似,一般有两种方法: (1)函数法: 用其他变量表示该参数,建立函数关系,利用求函数值域的方法求解. (2)不等式法: 根据题意建立含参数的不等关系式,通过解不等式求参数范围. 跟踪训练4 如图,焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A,B,且与n=(,-1)共线. (1)求椭圆E的标准方程; (2)若直线y=kx+m与椭圆E有两个不同的交点P和Q,且原点O总在以PQ为直径的圆的内部,求实数m的取值范围. 1.在方程mx2-my2=n中,若mn<0,则方程表示( ) A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在x轴上的双曲线 C.焦点在y轴上的椭圆 D.焦点在y轴上的双曲线 2.双曲线-=1的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率是( ) A.2B. C.D. 3.设椭圆+=1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同,离心率为,则此椭圆的方程为( ) A.+=1B.+=1 C.+=1D.+=1 4.有一个正三角形的两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,另一个顶点在原点,则该三角形的边长是( ) A.2pB.4p C.6pD.8p 5.过抛物线y2=4x的焦点,作倾斜角为的直线交抛物线于P、Q两点,O为坐标原点,则△POQ的面积等于________. 在解决圆锥曲线问题时,待定系数法,“设而不求”思想,转化与化归思想是最常用的几种思想方法,设而不求,在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具,很好的解决了计算的繁杂、琐碎问题. 答案精析 知识梳理 知识点三 1.±x ±x 2.-=λ(λ≠0) 题型探究 例1 B [设P为双曲线右支上的一点. 对于椭圆+y2=1(m>1),c2=m-1, |PF1|+|PF2|=2, 对于双曲线-y2=1,c2=n+1, |PF1|-|PF2|=2, ∴|PF1|=+,|PF2|=-, |F1F2|2=(2c)2=2(m+n), 而|PF1|2+|PF2|2=2(m+n)=(2c)2 =|F1F2|2, ∴△F1PF2是直角三角形,故选B.] 跟踪训练1 A [如图,过A、B、C分别作准线的垂线,垂足分别为A′,B′,C′,由抛物线定义可知 |AF|=|AA′|, |BF|=|BB′|, |CF|=|CC′|. ∵2|BF|=|AF|+|CF|, ∴2|BB′|=|AA′|+|CC′|. 又∵|AA′|=x1+,|BB′|=x2+, |CC′|=x3+, ∴2(x2+)=x1++x3+ ⇒2x2=x1+x3, 故选A.] 例2 C [双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,y2=2px的准线方程为x=-. ∵双曲线的离心率为2, ∴e==2, 即=±, ∴渐近线方程为y=±x, 由得y=-p, ∴|AB|=p, S△OAB=××p=, 解得p=2.] 跟踪训练2 C [由抛物线C的方程为 y2=2px(p>0), 知焦点F(,0). 设M(x,y),由抛物线性质|MF|=x+=5, 可得x=5-. 因为圆心是MF的中点,所以根据中点坐标公式,可得圆心横坐标为=. 由已知,得圆半径也为,据此可知该圆与y轴相切于点(0,2),故圆心纵坐标为2,则M点纵坐标为4, 则M(5-,4),代入抛物线方程得p2-10p+16=0,所以p=2或p=8. 所以抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x.] 例3 解析 由椭圆可知|AF1|+|AF2|=4, |F1F2|=2. 因为四边形AF1BF2为矩形, 所以|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2=12, 所以2|AF1||AF2|=(|AF1|+|AF2|)2-(|AF1|2+|AF2|2)=16-12=4, 所以(|AF2|-|AF1|)2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|·|AF2|=12-4=8, 所以|AF2|-|AF1|=2, 因此对于双曲线有a=,c=, 所以C2的离心率e==. 跟踪训练3 解析 抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,又△FAB为直角三角形,则只有∠AFB=90°,如图,则A(-1,2)应在双曲线上,代入双曲线方程可得a2=, 于是c= =. 故e==. 例4 解 (1)由题意知, |PF1|+|PF2|=2a=2, 所以a=. 又因为e==, 所以c=×
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