关于大气污染问题的数学建模论文.docx
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关于大气污染问题的数学建模论文
关于大气污染问题的数学建模论文
1.问题重述
大气是指包围在地球外围的空气层,是地球自然环境的重要组成部分之一。
人类生活在大气里,洁净大气是人类赖于生存的必要条件。
一个人在五个星期内不吃饭或5天内不喝水,尚能维持生命,但超过5分钟不呼吸空气,便会死亡。
随着地球上人口的急剧增加,人类经济增长的急速增大,地球上的大气污染日趋严重,其影响也日趋深刻,如由于一些有害气体的大量排放,不仅造成局部地区大气的污染,而且影响到全球性的气候变化。
因此,加强大气质量的监测和预报是非常必要。
目前对大气质量的监测主要是监测大气中、、悬浮颗粒物(主要为PM10)等的浓度,研究表明,城市空气质量好坏与季节及气象条件的关系十分密切。
附件给出城市A、B、C、D、E、F从2003年3月1日至2010年9月14日测量的污染物含量及气象参数的数据。
请运用数学建模的方法对下列问题作出回答:
1.找出各个城市、、PM10之间的特点,并将几个城市的空气质量进行排序。
2.对未来一周即2010年9月15日至9月21日各个城市的、、PM10以及各气象参数作出预测。
3.分析空气质量与气象参数之间的关系。
4.就空气质量的控制对相关部门提出你的建议。
2.问题分析
本题为生活中的实际问题,层层递进式提出四个问题,分别需要对空气污染因素以及气象参数进行分析求解。
第一问为评价性问题,先从城市内部个污染物特点出发,再到城市之间空气质量进行比较。
第二问是预测性问题,通过对给出的数据进行分析,预测各项参数之后的趋势。
第三问是寻找关联性问题,要求找出空气质量与气象参数之间的关系。
第四问为开放型问题,可通过之前得出的结论或者相关文章及模型提出建议。
2.1问题1
通过查阅资料,运用已有的API对各个城市的各项污染指标进行计算,得出各个污染指数API月平均的折线图,观察,得出各城市各项指标的特点。
鉴于求解城市API时有一定的误差,故选择综合评价模型,对数据进行标准化处理之后,确定动态加权函数,对模型进行求解,排名。
检验模型后确定结论的合理性。
2.2问题2
预测模型主要有灰色预测,时间序列等模型。
由所给数据以及问题可知该预测模型为时间序列。
随机选取气象参数之一气温(tem)为例进行分析,先通过SPSS软件得到其时序图,观察其走势,对其做平稳化处理。
然后以最小BIC为标准,构造模型,进一步应用SPSS软件求解,得出各项参数,并预测出2010年9月15日至2010年9月21日的数据。
其余各城市各污染物浓度以及气象参数应用类似方法进行求解。
最后,由于F城市所提供数据与需要预测日期相隔较远,故只做出定性的分析预测。
2.3问题3
空气污染物与气象要素关系密切,研究的方向多为相关性分析与回归分析
6.1.1.3结果分析
整体分析图表可以看出A、B、C、D、E五个城市SO2、NO2、PM10等污染物浓度均呈现波动性并且有缓慢下降趋势。
分析A城市数据,发现A城市PM10浓度与B城市差别并不显著,但是观察发现A城市PM10的值在2010年8月后有所回升,这一点也可由数据得到验证。
B城市SO2波动性很强,但是下降的趋势并不是非常的明显,说明B城市可能有一些周期性的污染源需要治理。
而B城市的PM10波动性强有明显下降趋势,这说明B城市很有可能在2010年采取过一些相应的积极措施,使得该城市PM10浓度在短期内大幅度下降。
而A、B两城市的SO2和PM10数值均明显高于NO2的数值,且两城市污染物的波动方式相似,可粗略认为A、B两城市有部分工业或者结构上的相似。
分析C、D两城市可知SO2、NO2、PM10浓度较平稳波动,只有PM10在个别时段有较大的起伏,而在其他时间序列内均趋于平缓变化。
C、D两城市的PM10曲线在同一时间明显偏高,可推论在那一段时间有某些外界因素使得两个城市的PM10数值共同上升。
分析E城市空气污染物浓度可知,E城市SO2、NO2、PM10浓度均在一定范围内平稳变化,说明该城市在所选时间段内空气质量比较平稳。
由于F城市数据严重不足,只有从2004年9月1日到2009年12月27日的采集数据,故在F城市数具有统计意义的前提下,由图可知观看出F城月平均污染物浓度大致呈现平稳趋势。
6.1.2问题一第二部分
根据问题对API分析发现,对于城市API值计算中,原理为取三项指标的最大值,这会造成相应的误差,故在分析第一问的第二部分时,只参考API的划分标准,应用综合评价模型。
6.1.2.1数据的标准化处理
对所给的空气污染标准(API)进行标准化处理,记三项指标:
、、PM10的数值分别为,,。
三项指标的数据均为极小型指标(即指标值越小越好),对其指标做标准化处理,即令:
其中,。
则相应的指标值变为,即为无量纲的标准化指标,对应的分类区间也随之相应的变化,在这里为了方便仍记为。
(1)的标准化
取,,,则其标准化数据为:
对应的分类区间为:
(2)的标准化
取,,,则其标准化数据为:
对应的分类区间为:
(3)PM10的标准化
取,,,则其标准化数据为:
对应的分类区间为:
6.1.2动态加权函数确定
根据这一实际问题,通过对、、PM10三项指标的变化关于空气质量的分析,可得其变化的规律为:
先是缓慢增长,中间有一个快速增长的过程,最后平缓增加趋于最大值。
此增长规律可取动态加权函数为偏大型正态分布函数,即:
其中不妨取指标的第一类空气质量标准的中间值,即,由确定。
6.1.3综合评价模型的构建
根据标准化后的评价值,不妨仍用表示,以及相应的动态加权函数,建立综合评价模型来对被评价的6个城市的空气质量进行评价,在此,取综合评价模型为个评价指标的动态加权和,即:
其函数值为被评价对象的综合指标值。
求出权后,可将6个城市的三项指标求期望,定量地得出每个城市中三项指标的权值。
利用附件中给出的31个月的较为完整的数据,计算可得ABCDE五个城市的空气质量评价性指标,即可得到一个综合评价矩阵,其结果如下:
表二:
ABCDE五个城市综合评价矩阵
同时,利用附件中给出的4个月(2004.9至2004,12)的数据,经计算可得ABCDF六个城市的空气质量评价指标,得到矩阵,结果如下。
表三:
ABCDF五个城市综合评价矩阵
6.1.4综合评价结果排序方法
根据上表和表中的数据,根据其大小(即反映空气质量的高低程度)进行排序,数值越大,说明其空气质量越差。
编写C语言程序,对其进行排序。
排序结果见附录一。
利用决策分析中的Borda函数方法来确定综合排序方法,记在第个排序方案中排在第个城市后面的站点个数为,则城市的Borda函数为
经计算,各城市Borda数及总排名如下
ABCDE的Borda数为:
ABCDF的Borda数为:
6.1.5评价结果及排序
ABCDE的空气质量排名为:
CABED
ABCDF的空气质量的排名为:
FABCD
6.1.6模型的验证
鉴于API数值有一定的实际应用价值,故应用其对综合评估模型进行验证。
通过对各个城市每月的API进行计算,运用相同的C语言程序对其进行排名结果见附件一。
运用Borda算法,对多个序列进行排序,最后排出城市总体空气质量排名,对模型进行验证
得出结论为:
ABCDE五个城市API的Borda数为:
ABCDE五个城市的空气质量排名为:
CBAED
ABCDF五个城市的API的Borda数为:
ABCDF五个城市四个月的空气质量排名为:
FABDC
权重排列与API排列只有一个次序的不同,观察Borda数可发现,次序不同的两个城市Borda数字基本相同,故可说,模型合理,权重得出的排序结论有一定参考意义。
6.2问题2
F城市所给数据时间与需预测时间相距甚远,若强行预测出趋势变化,没有实际参考意义,故在对F城市进行预测时,只做定性的说明。
随机选取气温为例建立ARIMA模型,其余各城市参数即气象参数yingyon可求的。
模型的建立与求解依靠SPSS软件。
6.2.1模型的建立与检测(对除F以外的数据预测适用)
考虑数据的连贯性,选取2010.1.20日至2010.9.14日数据进行时间序列分析,应用SPSS软件作出时序图,进行时间序列的验证,如下:
图二:
气温时序图
气温的自相关系数图和偏自相关系数图见附件二
由气温时序图明显可知该序列具有上升趋势,为消掉上升趋势,作差分处理。
图示为作一阶差分后所得序列图,观察可知该序列比较平稳。
图三:
一阶差分之后的气温时序图
为进一步验证平稳性,考察差分后序列自相关图。
图四:
一阶差分后气温时序残差自相关系数图
自相关图显示序列有很强的短期相关性,所以可以初步认为一阶差分后序列平稳。
考虑ARIMA(p,d,q)模型,并以最小标准化BIC为指标,应用SPSS软件可构造出ARIMA(0,1,2)模型,即这就是说是1阶齐次非平稳序列,一次差分后适合MA
(2)模型。
运用SPSS求出参数如表:
ARIMA模型参数a
估计
SE
t
Sig.
TREND(tem)-模型_1
TREND(tem)
无转换
差分
1
MA
滞后1
.360
.061
5.884
.000
滞后2
.271
.061
4.438
.000
表四:
ARIMA模型参数
t检验合格。
均方误差,绝对误差为2.907,,复相关系数
从结果来看,,都通过了显著性检验,数值拟合的误差比较小,进一步考察拟合误差得到的自相关系数及偏自相关系数图可知它们不在具有相关性,说明该模型是合理的。
图五:
拟合误差自相关系数及偏自相关系数图
最后得到的模型为,其中
该模型可进一步化简为:
其中
我们对2010年数据进行预测,部分抽样结果如下表:
表五:
2010年气温预测抽样表
绘制原始数据及预测数据图,虚线右边中间数据为预测数据,虚线右边上面数据为95%的置信上限,下面数据为95%的置信下限。
图六:
ARIMA模型拟合与观察数据数据时序图
6.2.2模型的求解
我们用该模型对2010年9月15日至2010年9月21日七天tem作出预测,结果如表:
预测
模型
239
240
241
242
243
244
245
tem-模型_1
预测
20.514
20.126
20.246
20.366
20.486
20.606
20.726
UCL
27.969
28.965
29.393
29.812
30.221
30.622
31.015
LCL
13.059
11.287
11.099
10.920
10.750
10.589
10.436
表六:
七天温度预测表
6.2.3各项指标的求解
类似于温度预测的分析求解过程,分别对A、B、C、D、E五个城市的各项污染物浓度以及气象参数进行预测,结果如下:
表七:
各城市各项指标预测值
6.2.4对于F城市的定性分析
从前一问可以看出,整体城市空气质量排序中,F城市是好于A城市的,在F城市的数据中,只有2004年9月15日至21日。
(1)绘制A城市2004年9月15日至21日与F城市2004年9月15日至21日时期三项指标的比较图
图七:
A城市与F城市在2004年三项指标比较图
从图上看出,A城市与F城市在2004年9月15日至21日三项指标走势在很大程度上有一定的相似性。
(2)绘制A城市2004年9月15日至21日与2010年9月15日至21日三项指标的整体比较图:
图八:
A城市在2004年与2010年三项指标走
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