一次函数例题剖析doc.docx
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一次函数例题剖析doc
典例剖析
基本概念题
本节有关基本概念的题H主要是一次函数、正比例函数的概念及它们Z间的关系,以及构成一次函数及止比例函数的条件.
例1下列函数中,哪些是一次函数?
哪些是止比例函数?
(1)y=~—x;
2
2
(2)y二-—;(3)y=-3-5x;
X
(4)y=-5x2;
(5)y=6x-—(6)y二x(x-4)-xl
2
[分析]本题主耍考查对一次函数及止比例函数的概念的理解.解
(1)(3)(5)(6)是一次函数,
(1)(6)是正比例函数.
例2当m为何值时,函数尸-(m-2)x+(m-4)是一次函数?
[分析]某函数是一次函数,除应符合y=kx+b外,还要注意条件kHO.
••宀41,“_2.
—(加一2)艸
小结某函数是一次函数应满足的条件是:
一次项(或白变量)的指数为1,系数不为0.而某函数若是正比例函数,则还需添加一个条件:
常数项为0.
基础知识应用题
本节基础知识的应用主耍包括•:
(1)会确定函数关系式及求函数值;
(2)会画一次函数(正比例函数)图象及根据图象收集相关的信息;(3)利用一•次函数的图象和性质解决实际问题;(4)利用待定系数法求函数的表达式.
例3一根弹簧长15cm,它所挂物体的质量不能超过18kg,并且每挂lkg的物体,弹簧就仲长0.5cm,写出挂上物体后,弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的函数关系式,写出自变量x的取值范围,并判断y是否是x的一•次函数.
[分析]
(1)弹簧每挂lkg的物体后,伸长0.5cm,贝IJ挂xkg的物体后,弹簧的长度y为(15+0.5x)cm,即y二15+0.5x.
(2)自变量x的取值范围就是使换数关系式有意义的x的值,即0WxW18.
(3)由y=15+0.5x可知,y是x的一次函数.
解
(1)y二15+0.5x.
(2)自变量x的取值范围是0WxW18.
(3)y是x的一次函数.
学生做-做乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约600千米,火车从乌鲁木齐出发,其平均速度为58千米/时,则火车离库尔勒的距离s(千米)与行驶时间t(时)之间的函数关系式是.
老师评一评研究本题可采用线段图示法,如图11-19所示.
火车5、时位矍
5脱千米一+
600千米
图11-19
火车从乌鲁木齐出发,t小时•所走路程为58t千米,此吋,距离库尔勒的距离为s千米,故有58t+s二600,所以,s二600-58t.
例4某物休从上午7时至下午4时的温度M(°C)是时间t(时)的函数:
M二tMSt+lOO(其中t=0表示中午12时,t二1表示下午1时),则上午10时此物体的温度为°C.
[分析]本题给出了函数关系式,欲求函数值,但没有冇•接给出t的具体值.从题中可以知道,t=0表示中午12时,1=1表示下午1时,则上午10时应表示成t二-2,当t=-2时,M二(-2)-5X(-2)+100=102(°C).
答案:
102
例5已知y-3与x成正比例,且x=2时,y=7.
(1)写出y与x之间的函数关系式;
(2)当x二4时,求y的值;
(3)当尸4时,求x的值.
[分析]由y-3与x成正比例,则可设y-3=kx,由x=2,y=7,可求出k,则可以写出关系式.
解
(1)山于y-3与x成正比例,所以设y-3=kx.
把x=2,y二7代入y-3=kx中,得
7-3=2k,
k=2.
Ay与xZ间的函数关系式为y~3=2x,即y=2x+3.
(2)当x=4时,y二2X4+3=11.
(3)当y=4时,4二2x+3,x=-.
2
学生做--做□.知y与x+1成正比例,当x二5吋,y=12,则y关于x的函数关系式是.
老师评一评rhy与x+1成止比例,TiJ设yAix的函数关系式为y二k(x+1).
再把x二5,y二12代入,求出k的值,即可得出y关于x的函数关系式.
设y关于x的函数关系式为y二k(x+1)・
•・•当x二5时,y二12,
A12=(5+1)k,Ak=2.
Ay关于x的函数关系式为y=2x+2.
【注意】y与x+1成正比例,表示y二k(x+l),不要误认为y二kx+1.
例6若正比例函数y二(l-2m)x的图象经过点A(xi,yi)和点B(x2,y?
),当Xi
A.m<0B.m>0
C.m<—D.m>M
2
[分析]本题考査正比例函数的图象和性质,因为当X
2
学生做一做某校办工厂现在的年产值是15万元,计划今后每年增加2万元.
(1)写出年产值y(万元)与年数x(年)之间的函数关系式;
(2)画出函数的图象;
(3)求5年后的产值.
老师评一评
(1)年产值y(万元)与年数x(年)Z间的函数关系式为y二15+2x.
画函数
彖如图11一
y=12+5x的图
21所示.
(3)当
15+2X5=25
・・・5年
x=5时,y=
(万元)
后的产值是25
(2)画函数图象吋要特别注意到该函数的自变量取值范围为x20,因此,函数尸15+2x的图象应为一条射线.
万元.
例7已知一次函数y二kx+b的图象如图11-22所示,求函数表达式.
[分析]从图象上可以看出,它与x轴交于点(-1,0),与y轴交于点(0,-3),代入关系式中,求出k为即可.
解:
由图象可知,图象经过点(-1,0)和(0,-3)两点,
代入到y=kx+b中,得
0=#+仇.卩=_3,_3=0+仇…\b=-3.
・・・此函数的衣达式为y=-3x-3.
例8求图象经过点(2,-1),且与直线尸2x+l平行的一次函数的表达式.
[分析]图象与y=2x+l平行的函数的表达式的一次项系数为2,则可设此表达式为y二2x+b,再将点(2,-1)代入,求[Lib即可.
解:
由题意可设所求函数表达式为y=2x+b,
・・・图象经过点(2,-1),
A-l=2X2+b.
・・・b=-5,
・・・所求一次函数的表达式为y=2x-5.
综合应用题
本节知识的综合应用包括:
(1)与方程知识的综合应用;
(2)与不等式知识的综合应用;
(3)与实际生活相联系,通过函数解决生活中的实际问题.
例8已知y+a与x+b(a,b为是常数)成正比例.
(1)y是x的一次函数吗?
请说明理由;
(2)在什么条件下,y是x的正比例函数?
[分析]判断某函数是一次函数,只要符合y二kx+b(k,b中为常数,JlkHO)即口J;判断某函数是正比例函数,只要符合y=kx(k为常数,且kHO)即可.
解(l)y是x的一次函数.
・・・y+a与x+b是正比例函数,
・••设y+a二k(x+b)(k为常数,且kHO)
整理得y二kx+(kb-a).
・・・kH0,k,a,b为常数,
/.y=kx+(kb-a)是一次函数.
(2)当kb-a=O,即a=kb时,
y是x的正比例函数.
例9某移动通讯公司开设了两种通讯业务:
“全球通”使用者先交50元月租费,然后每通话1分,再付电话费0.4元;“神州行”使用者不交月租费,每通话1分,付话费0.6元(均指市内通话)若1个月内通话x分,两种通讯方式的费用分别为刃元和y2元.
(1)写11!
yi,y?
与xZ间的关系;
(2)一个月内通话多少分时,两种通讯方式的费用相同?
(3)某人预计一个月内使用话费200元,则选择哪种通讯方式较合算?
[分析]这是一道实际牛活中的应用题,解题时必须对两种不同的收费方式仔细分析、比较、计算,方可得出正确结论.
解
(1)yi=50+0.4x(其中xNO,且x是整数)
y?
二0.6x(其中xNO,且x是整数)
(2)・・•两种通讯费用相同,
y】=y2,
即50+0.4x=0.6x.
/>x=250.
・・・一个月内通话250分时,两种通讯方式的费用相同.
(3)当y1=200时,有200二50+0・4x,
・・・x二375(分)・
・・・“全球通”可通话375分.
当y2=200时,有200=0.6x,
Ax=333-(分)•
3
•「神州行”可通话吨分.
・.・375>333丄,
3
・•・选择“全球通”较合算.
求m的值;
的图象与x轴、y的坐标.
可设y+2二kx,把与x之间的函数关点5,6)在该函
y=0.
例10B知y+2一与x成正比例,且x=-2时,
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)画出函数的图象;
(3)观察图象,当x取何值时,y20?
(4)若点5,6)在该函数的图象上,
(5)设点P在y轴负半轴上,
(2)中轴分别交于A,B两点,且Sm=4,求P点
[分析]由已知y+2与x成正比例,x=-2,y=0代入,可求出k,这样即可得到y系式,再根据函数图象及其性质进行分析,数的图象上,把x=m,y二6代入即可求出m的值.
解
(1)Vy+2与x成正比例,
・••设y+2二kx(k是常数,且kHO)
;•当x=-2时,y=0.
/.0+2=k•(-2),/.k=T.
・•・函数关系式为x+2=-x,即y=-x-2.
(2)列表;
X
0
-2
V
-2
0
描点、连线,图象如图11-23所示.
(3)由函数图象可知,当xW-2时,yNO.
・••当xW-2时,y^O.
(4);・点5,6)在该函数的图象上,
・*.m=-8・
(5)函数y=-x-2分别交x轴、y轴于A,B两点,
AA(-2,0),B(0,-2).
・・・SaBP二一•|AP|・|0A|=4,
2
/.|BP|=^—=-=4.
\OA\2
・•・点P与点B的距离为4.
又TB点坐标为(0,-2),HP在y轴负半轴上,
・;P点坐标为(0,-6).
例]1已知一次函数y二(3-k)x-2k2+l8.
(1)k为何值时,它的图象经过原点?
(2)k为何值时,它的图象经过点(0,-2)?
(3)k为何值时,它的图象平行于直线y=-x?
(4)k为何值时,y随x的增大而减小?
[分析]函数图象经过某点,说明该点坐标适合方程;图象与y轴的交点在y轴上方,说明常数项b>0;两函数图象平行,说明一次项系数相等;y随x的增大而减小,说明一次项系数小于0.
解
(1)图象经过原点,则它是正比例函数.
[一2疋+18=0,
・・・k=-2.
3—心0,
・••当k二-3时,它的图彖经过原点.
(2)该一次函数的图象经过点(0,-2).
・・・-2二-2『+18,且3-kH0,
・:
k-±J10
・••当k=±V10时,它的图象经过点(0,-2)
(3)函数图象平行于立线y二-x,
・・・3-k二-1,
k=4.
・••当k=4时,它的图彖平行于直线x=-x.
(4)・.•随x的增大而减小,
A3-k<0.
・・・k>3.
・••当k>3吋,y随x的增大而减小.
例12判断三点A(3,1),B(0,-2),C(4,2)是否在同一条直线上.
[分析]由于两点确定一条直线,故选取其中两点,求经过这两点的函数表达式,再把第三个点的坐标代入表达式中,若成立,说明在此垃线上;若不成立,说明不在此直线上.
解:
设过A,B两点的直线的表达式为y二kx+b.
由题意可知,
Jl=3R+b,.JR=l,
[-2=O+b/[b=-2.
・••过A,B两点的直线的表达式为y=x-2.
・••当x=4时,y=4-2=2.
・•・点C(4,2)在直线y=x-2上.
・•・三点A(3,1),B(0,-2),C(4,2)在同一条直线上.
学牛做一做判断三点A(3,5),B(0,-1),C(1,3)是否在同一条直线上.探索与创新题
主要考查学生运用知识的灵活性和创新性,体现分类讨论思想、数形结合思想在数学问题中的广泛应用.
例13老师讲完“一次函数”这节课后,让同学们讨论下列问题:
(1)x从0开始逐渐增大时,y=2x+8利y=6x哪-个的函数值先达到30?
这说明了什么?
(2)直线y二-x与y二-x+6的位置关系如何?
甲生说:
“y二6x的函数值先达到30,说明y二6x比y=2x+8的值增长得快・”
乙牛说:
“直线y=-x与y=-x+6是互相平行的.”
你认为这两个同学的说法止确吗?
[分析]
(1)可先画出这两个函数的图象,从图象中发现,当x>2时,6x>2x+8,所以,y二6x的函数值先达到30.
(2)直线尸-X与y=-x+6中的一次项系数相同,都是-1,故它们是平行的,所以这两位同学的说法都是正确的.
解:
这两位同学的说法都正确.
例14某校一名老师将在假期带领学生去北京旅游,用旅行社说:
“如果老师买全票,
其他人全部半价优惠・”乙旅行社说:
“所有人按全票价的6折优惠.”已知全票价为240元.
(1)设学牛人数为x,卬旅行社的收费为y甲元,乙旅行社的收费为y乙元,分别表示两家旅行社的收费;
(2)就学生人数讨论哪家旅行社更优惠.
[分析]先求出甲、乙两旅行社的收费与学生人数之间的函数关系式,再通过比较,探究结论.
解
(1)甲旅行社的收费y屮(元)与学牛人数xZ间的函数关系式为
y甲=240+丄x240x=240+120x.
2
乙旅行社的收费y乙(元)与学生人数x之间的函数关系式为
y乙=240X60%X(x+1)=144x+144.
(2)①当y甲二y乙时,有240+120x=144x+144,
/•24x—96,x—4•
・••当x=4吋,两家旅行社的收费相同,去哪家都可以.
2当丫甲>丫乙时,240+120x>144x+144,
.*.24x<96,/.x<4.
・••当x<4时,去乙旅行社更优惠.
3当y甲 ・・・24x>96,・・・x>4. ・••当x>4时,去甲旅行社更优惠. 小结此题的创新Z处在于先通过计算进行讨论,再作出决策,另外,这两个函数都是一次函数,利用图彖来研究本题也不失为一种很好的方法. 学牛做一做某公司到果园基地购买某种优质水果,慰问医务工作者•果园基地对购买量在3000千克以上(含3000千克)的有两种销售方案.甲方案: 每千克9元,由基地送货上门;乙方案: 每千克8元,由顾客自己租车运回,已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元. (1)分别写出该公司两种购买方案的付款y(元)•所购买的水果量x(千克)Z间的函数关系式,并写出自变量X的取值范围; (2)当购买量在什么范围时,选择哪种购买方案付款少? 并说明理山. 老师评一评先求出两种购买方案的付款y(元)与所购买的水果量x(千克)之间的函数关系式,再通过比较,探索出结论. (1)甲方案的付款y甲(元)与所购买的水果量x(千克)Z间的函数关系式为 y甲二9x(x23000); 乙方案的付款y乙(元)与所购买的水杲量x(千克)之间的函数关系式为 y乙二8x+5000(x23000). (2)有两种解法: 解法1: ①当y甲二y乙时,有9x=8x+5000, Ax=5000. ・••当x二5000时,两种方案付款一样,按哪种方案都可以. 2当y甲 •lxV5000. 又Vx^3000, ・・・当3000^x^5000时,甲方案付款少,故釆用甲方案. 3当丫甲>丫乙时,有9x>8x+5000, Ax>5000. ・・・.当x>5000时,乙方案付款少,故采用乙方案. 解法2: 图象法,作出y甲=9火和丫乙=8x+5000的函数图象,如图11-24所示,由图象可得: 当购买量大于或等于3000千克且小于5000千克时,y甲 吋,y随x的增人而增大,则有: 当x二-3,y二-5;当x=6时,尸-2,把它们代入y二kx+b中可得[一5"%+" [-2=6/: +/? k=—1 3’J函数解析式为y二-一x-4・ 7.3 b=-4, ②当k<0时则随x的增人而减小,则有: 当x=-3时,y二-2;当x=6时,y二-5,把它们代入y二kx+b中可得 J-2=-3b+b,. [一5=6斤+仇 k-丄1 3’・••函数解析式为y=—x-3.b=-3,3 ・・.函数解析式为y=-x-4,或y=--x-3. 33 答案: y二一x-4或y二-一x-3. 33 【注意】本题充分体现了分类讨论思想,方程思想在一次函数中的应用,切忌考虑问题不全面. 中考试题预测 例1某地举办乒乓球比赛的费用y(元)包括两部分: 一部分是租用比赛场地等固定不变的费用b(元),另一部分与参加比赛的人数x(人)成正比例,当x二20时y二1600;当x=30时,y二2000. (1)求y与xZ间的函数关系式; (2)动果有50名运动员参加比赛,且全部费用市运动员分摊,那么每名运动员需要支付多少元? [分析]设举办乒乓球比赛的费用y(元)与租用比赛场地等固定不变的费用b(元)和参加比赛的人数x(人)的函数关系式为y二kx+b(kHO). 把x二20,y二1600;x=30,y二2000代入函数关系式,求出k,b的值,进而求iiiy与x之间的函数关系式,当x=50时,求出y的值,再求得y*50的值即可. 解 (1)设yi=b,y2=kx(kHO,x>0), ・・.y二kx+b. k=40,b=800. 又・・•当x=20时,y=1600;当x=30时,y=2000, 1600=20^+/? 2000=30k+b, ・・・y与x之间的函数关系式为y=40x+800(x>0). (2)当x二50时,y=40X50+800=2800(元). ・•・每名运动员需支付2800-50=56(元) 答: 每名运动员需支付56元. 例2已知一次函数y二kx+b,当x=-4时,y的值为9;当x=2时,y的值为-3・ (1)求这个函数的解析式。 (2)在直角坐标系内画出这个函数的图象. [分析]求函数的解析式,需要两个点或两对X,y的值,把它们代入y二kx+b中,即可求出k在的值,也就求出这个函数的解析式,进而画出这个函数的图象. 解 (1)rh题意可知 9=_4R+b,.〃=_2 -3=2k+h/\b=\. ・・・这个函数的解析式为x二-2x+l. ⑵列表如下: X 0 1 2 y 1 0 尽量张开般情况下指距与身 的图象. 描点、连线,如图11—26所不即为y=~2x+1 例3如图11-27所示,大拇指与小拇指时,两指尖的距离称为指距.某项研究表明,一人的身高h是指距d的一次函数,下表是测得的高的一组数据. 图11-26 扌旨距d/cm 20 21 22 23 身高h/cm 160 169 178 187 (1)求岀h与d之间的函数关系式;(不要求写出自变量d的取值范围) (2)某人身高为196cm,—般情况下他的指距应是多少? [分析]设h与dZ间的函数关系式是h二kd+b(kHO)当d=20时,h二160;当d二21时,h=169・ 把这两对d,h值代人h二kd+b得 160=20k+b,.pt=9, 169=2K+b,*[/? =-20. 所以得出h与d之间的函数关系式,当h二196吋,即可求出d. h二kd+b(kHO)d二21时,h二169. 图11-27 解 (1)设h与d之间的函数关系式为由题中图表可知当d=20时,h=160;当把它们代入函数关系式,得 160=20^4-/? .Jk=9, 169=2bt+b,*|/? =-20. Ah与d之间的函数关系式是h=9d-20.⑵当h二196时,有196=9d-20. /.d=24・ ・••当某人的身高为196cm时,一般情况 24cm. 如杲汽车的平均速度是100千米/吋, 米)与行驶吋间图11-28所示) 数关系式的表可知,汽车距成间t(时)的函口变量t的取值W400,因此这淘汰掉D.又因<0,「.s随t应该是C. 例4汽车由重庆驶往相距400千米的成都,那么汽车距成都的路程s(千t(时)的函数关系用图彖(如表示应为() [分析]本题主要考查函达及函数图象的知识,由题意都的路程s(千米)与行驶时数关系式是s=400-100t,期范鬧是0WtW4,所以有OWs个函数图象应为一条线段,故为在S=400-100t中的k=-100的增大而减小,所以正确答案 答案: C 小结画函数图象时,要注意自变量的取值范围,尤其是对实际问题. 例5己知函数: (1)图象不经过第二象限; (2)图象经过点(2,-5).请你写出一个同吋满足 (1)和 (2)的函数关系式: . [分析]这是一个开放性试题,答案是不惟一的,因为点(2,-5)在第四彖限,而图彖又不经过第二象限,所以这个函数图彖经过第一、三、四彖限,只需在第一象限另外任意找到一点,就可以确定出函数的解析式.设经过第一、二、四象限的直线解析式为y二kx+b(kHO),另外的一点为(4,3),把这两个点代入解析式中即可求出k,b. 3=4k+b,k=4, [-5=2k+b,[b=-i3.' 答案: y=4x-13 【注意】厉而学习了反比例函数二次函数后可另行分析. 例6人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关.如果川&表示一个人的年龄,丿Ub表示止常情况下这个人运动时所能承受的每分心跳的最高次数,另么b=0.8(220-a). (1)止常情况下,在运动时一个16岁的学牛所能承受的每分心跳的最高次数是多少? (2)—个50岁的人运动10秒时心跳的次数为20次,他有危险吗? [分析] (1)只需求出当a=16时b的值即可. (2)求出当a二50时b的值,再用b和20X—=120(次)相比较即可. 10 解 (1)当a二16时, b二0.8(220-16)=163.2(次). ・・・正常情况下,在运动吋一个16岁的学生所能承受的每分心跳的最高次数是163.2次. (2)当a二50时, b=0.8(220-50)=0.8X170=136(次),
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