杨浦高中培训杨浦初中培训新王牌资料八年级秋季班第13讲函数的表示法学生版.docx

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杨浦高中培训杨浦初中培训新王牌资料八年级秋季班第13讲函数的表示法学生版

函数的表示法是八年级数学上学期第十八章内容，主要对函数的三个表示法进行讲解，重点是实际问题的函数表示法，难点是数形结合思想的应用的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习函数的应用提供依据．

1、解析法：

用等式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法，这个等式称为函数

的解析式（或函数关系式）．简单明了，能从解析式了解函数与自变量之间的关系，便于理论上的分析与研究，但求对应值时需要逐个计算，且有的函数无法用解析式表示．

【例1】填空：

（1）正方形的边长x和面积y之间的函数解析式是__________；

（2）长方形的周长为10厘米，长是x（厘米），宽是y（厘米），则y关于x的函数解析式是___________．

【例2】已知矩形的面积是24平方厘米，其长为y（厘米），宽为x（厘米），则y与x之间的函数关系的图像大致在___________象限，y随x的增大而_________．

【例3】某高速公路全长200公里，汽车以80公里每小时的速度行驶，开了x小时后，剩下的路程y（公里）关于行驶的时间x（小时）之间的函数关系式为____________．

【例4】某人将2万元现金存入银行，存款的年利率为1.5%，存入x年，则到期后取出的本利和y关于期数x的函数解析式为___________．

【例5】若点P（x，y）在第一、三象限的角平分线上，则用变量x来表示变量y的函数解析式为_______________．

【例6】从A市向B市打长途电话，收费的方式如下：

0~3分钟收费2.4元，3分钟以后每加1分钟加收1元．

（1）求当时间t≥3分钟时（t是整数），电话费y（元）和时间t（分钟）之间

的函数关系式；

（2）若某次通话总费用为9.4元，求通话的时间．

【例7】在平面直角坐标系xOy中，直线

绕点O顺时针旋转90°得到直线l，直线l与反比例函数

的图象的一个交点为A（a，3），试确定反比例函数的解析式．

【例8】将长为38厘米，宽为5厘米的长方形白纸，按如图所示的方式粘合在一起，粘合部分白纸为2厘米

（1）求10张白纸粘合后的长度？

（2）设x（张）白纸粘合后的总长为y（厘米），写出y和x的函数关系式．

【例9】某市城建部门经过长期市场调查发现，该市年新建商品房面积P（万平方米）与市场新房均价x（千元/平方米）之间存在函数关系P=25x；年新房销售面积Q（万平方米）与市场新房均价x（千元/平方米）之间的函数关系为

．

（1）如果年新建商品房的面积与年新房销售面积相等，求市场新房均价和年新房销售总额；

（2）在

（1）的基础上,如果市场新房均价上涨1千元，那么该市年新房销售总额是增加还是减少?

变化了多少?

【例10】小强利用星期日参加了一次社会实践活动，他从果农处以每千克3元的价格购进若干千克草莓到市场上销售，在销售了10千克时，销售收入是50元，余下的他每千克降价1元出售，全部售完，两次共销售收入70元，已知在降价前销售收入y（元）与销售重量x（千克）之间成正比例关系．请你根据以上的信息解答下列问题：

（1）求降价前销售收入y（元）与售出草莓重量x（千克）之间的函数关系式；

（2）小强共批发购进多少千克的草莓；

（3）小强决定将这次卖草莓赚的钱全部捐给汶川地震灾区，那么小强共捐款多少元?

【例11】如图，奥运圣火抵达某市奥林匹克广场后，沿图中直角坐标系中的一段反比例函数图象传递．动点

表示火炬位置，火炬从离北京路10米处的M点开始传递，到离北京路1000米的

点时传递活动结束．迎圣火临时指挥部设在坐标原点

（北京路与奥运路的十字路口），

为少先队员鲜花方阵，方阵始终保持矩形形状且面积恒为10000平方米（路线宽度均不计）．

（1）求图中反比例函数的关系式（不需写出自变量的取值范围）；

（2）当鲜花方阵的周长为500米时，确定此时火炬的位置（用坐标表示）；

（3）设t=m

n，用含

的代数式表示火炬到指挥部的距离；当火炬离指挥部最近时，确定此时火炬的位置（用坐标表示）．

【例12】如图所示：

长方形ABCD中，AB=5，AD=3，点P从A点出发，沿长方形

ABCD的边逆时针运动，再次回到A点时停止运动，设点P运动的距离是x，△APC的面积是y，求y和x的函数关系式及定义域．

1、列表法：

用表格形式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；从表格中直接

找到自变量对应的函数值，查找方便，但无法将自变量与函数值的全部对应值都列出来，且难以看出规律．

【例13】函数

的部分对应值如下表：

x

…

-1

0

1

2

…

y

…

2

0

2

b

…

根据表格回答问题:

（1）函数的解析式为__________，定义域为__________，b=____________；

（2）请再举一些对应值，猜想该函数的图像关于_________对称．

【例14】某商店有铅笔出售，铅笔的总售价与所售铅笔的数量之间的数量关系如下表:

所售铅笔的数量x（支）

0

1

2

3

4

5

6

7

8

售价y（元）

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

（1）上表反映的变量是_____和____，_______是自变量，_____随_____的变化而变化，_____是______的函数；

（2）若出售10支铅笔，售价应为_____元；

（3）根据你的预测，付款20元，可买_________支铅笔；

（4）请写出售价y与所售铅笔数量x的函数关系式________________．

【例15】如果函数y=ax+b的部分对应值如下表：

x

-2

-1

0

1

2

3

y

6

4

2

0

-2

-4

根据表格回答：

（1）求方程ax+b=0的解?

（2）不等式ax+b<0的解集又是多少?

【例16】在下图中，每个正方形由边长为1的小正方形组成：

观察图形，填写下列表格：

正方形边长

1

3

5

7

......

n（奇数）

黑色小正方形个数

正方形边长

2

4

6

8

......

n（偶数）

黑色小正方形个数

【例17】某市全面推行农村合作医疗，农民每年每人只拿出10元就可以享受合作医疗：

住院费（元）

报销费（%）

不超过3000元部分

15

3000~4000

25

4000~5000

30

5000~10000

35

100000~20000

40

超过20000

45

设报销的费用是y元

（1）求住院费不超过3000元时，报销费y与住院费x元之间的关系；

（2）求住院费不超过4000时，报销费y与住院费x之间的关系；

（3）某人住院费报销了805元，求花费的总费用．

1、图像法：

用图像来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；函数与自变量的

对应关系、函数的变化情况及趋势能够很直观地显示出来，但从图像上找自变量与函数的对应值一般只能是近似的，且只能反映出变量间关系的一部分而不是全体．

2、三种表示法的相互联系与转化：

由函数的解析式画函数的图像，一般分为“列表、描点、

连线”三个步骤，通常称作描点作图法；同样，函数图像中点的坐标或表格中自变量与函数的对应值，也是函数解析式所表示的方程的一个解．

【例18】一辆客车从上海出发开往北京，设客车发t小时后与北京的距离为S千米，下列图像能大致反应S和t的函数关系的是（）

【例19】

图中是某水池有水Q（万吨）与排水时间t小时的函数图像．试根据图像，回答下列问题：

（1）水池内有水________万吨；

（2）向水池内注水_____小时；每小时

注水_________万吨；

（3）______小时把水排完，每小时排水____万吨．

【例20】已知，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在BC边上运动，连结DP，过点A作AE⊥DP，垂足为E，设DP＝

，AE＝

，则能反映

与

之间函数关系的大致图像是（）．

ABCD

【例21】

如图是一位同学骑自行车出行时，所行路程S（km）和时间t（min）的函数关系图像，从中得到正确的信息是（）

A．整个行程的平均速度是

B．前20分钟的速度比后半个小时的速度慢

C．前20分钟的速度比后半个小时的速度快

D．从起点到达终点，该同学共用了50分钟

【例22】

折线表示一辆电瓶车的行程图，骑车者7:

30离开家，14时回到家，根据图像中提供的有关信息，解答下列问题：

（1）离家最远的地方离家____________千米；

（2）在目的地游玩并午餐用了____________分钟；

（3）回家所用的时间是___________；

（4）回家的平均速度____________．

【例23】小华、爸爸、爷爷同时从家中出发，到达同一目的地后立即返回，小华去时骑自行车，返回时步行，爷爷去时步行，返回时骑自行车，爸爸往返都步行，三人步行速度不等，小华与爷爷骑车的速度相等，每个人的行走路程与时间的关系可用下面三个图象分别表示，根据图象回答下列问题：

（1）说说三个图象中对应小华、爸爸、爷爷的分别是哪个?

（2）小华家距离目的地多远?

（3）小华和爷爷骑车的速度是多少?

三人的步行速度分别是多少?

【例24】某水电站的蓄水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图（甲）所示，出水口出水量与时间的关系如图（乙）所示．已知某天0点到6点，进行机组试运行，试机时至少打开一个水口，且该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示，根据图像说明：

（1）进水口单位时间内进水量是多少?

出水口单位时间内出水量是多少?

（2）求0点到3点这段时间水池内水量y与时间x的函数解析式及定义域；

（3）试说明3到4点和4点到6点这个时间段内进出水口的开放情况．

【例25】小刚从家门口骑车去单位上班，先走平路到达A，再走上坡路到达B，最后走下坡路到达单位，所用的时间和路程的关系如图所示，下班后，如果他按照原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和上班的时候一致，求他从单位到家的时间．

【例26】

函数

的图像如图所示，则结论：

①两函数图像的交点A的坐标为（2，2）；②当

；③当

；④当x逐渐增大时，

随着x的增大而增大，

随着x的增大而减小 ．其中正确的结论的序号是

______________________．

【例27】在四边形ABCD中，动点P从A开始沿A-B-C-D的路径匀速运动到D为止，在这个过程中，设△APD的面积是S，运动的时间为t，则S关于t的函数图像为

（）．

【例28】如图，表示玲玲骑自行车离家的距离与时间的关系，她9点钟离开家，15点回到家，请根据图像回答下列的问题：

（1）

距离（km）

玲玲到达离家最远的地方是什么时间，离家多远?

（2）

30

她何时开始第一次休息?

休息了多长时间?

（3）第一次休息时，离家多远?

（4）11：

00~12:

00她骑了多远?

（5）她在9:

00~10:

00和10:

00~10:

30的平均

17

速度是多少?

（6）她在何时至何时停止休息用午餐?

（7）

15

她在停止前进后返回，骑了多少千米?

（8）返回时的平均速度是多少?

【例29】在平面直角坐标系中，一动点P（x，y）从M（1，0）出发，沿由A（-1，1），B（-1，-1），C（1，-1），D（1，1）四点组成的正方形边线（如图1）按一定方向运动.图2是P点运动的路程s（个单位）与运动时间t（秒）之间的函数图象，图3是P点的纵坐标y与P点运动的路程s之间的函数图象的一部分．

（1）s与t之间的函数关系式是______________；

（2）与图③相对应的P点的运动路径是___________；P点出发______秒首次到达点B；

（3）补全图3中函数图象．

1

x

2

O

t（秒）

【习题1】与函数

的图像关于x轴对称的图像的函数解析式为________________．

【习题2】某水库在汛期当水库内贮满水时，泄洪闸会自动打开，到水库内剩下一半水量时停止排水，当水库再次注满水后，又一次自动将水量排剩一半，假设水库的进水量和排水量都是匀速的，这一过程中水库的存水量v与时间t之间函数关系的大致图像是

（）

v

v

v

v

t

t

t

t

【习题3】

小张第一次离家到县城上学，假期回家写了一首小诗：

“首次离家今日返,父亲早早到车站，父子见面细端详，双双高兴把家还．”若用y表示小张和父亲行进中离开家的距离，用x表示父亲离家的时间，则与诗意大致吻合的图像是（）

【习题4】某市为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费，若每月用水不超过7m3，则按1元/m3收费；若每月用水超过7m3，则超过部分按2元/m3收费．如果某居民户今年5月缴纳了17元水费，那么这户居民今年5月的用水量为多少立方米?

【习题5】某市的空调公共汽车的票价按下列规则制定：

（1）5公里以内（含5公里），票价2元．（不足5公里的，按5公里计算）

（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元．已知相邻的两个公共汽车站之间相距1公里，如果沿途（包括起点和终点）共有21个站点，请根据题意，写出票价y与里程x之间的函数解析式，并画出函数图象．

【习题6】夏日的一个星期六，小红全家上午8时自驾车从家出发，到距她家180km的一旅游景点去玩，若小红离家的距离s（km）与时间t（h）的关系可以用下图中的折线表示，根据图象提供的信息，解答下列问题：

（1）小红全家是几点钟到达目的地?

游玩了多少小时?

（2）求出返程途中，距离s（km）与时间t（h）的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）小红全家是什么时间到家的?

返回时小汽车的平均速度是多少?

【习题7】用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似地满足反比例函数关系，寄宿生小红、小敏晚饭后用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗时，小红每次用一盆水（约10升），小敏每次用半盆水（约5升），如果她们都用了5克洗衣粉，第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有1.5克，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2克．

（1）请帮助小红、小敏求出各自衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数关系式；

（2）当洗衣粉的残留量降至0.5克时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法值得提倡，为什么?

【习题8】依法纳税是每个公民应尽的义务．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民每月收入不超过3500元，不需交税；超过3500元的部分为全月应纳税所得额，都应纳税，且根据超过部分的多少按不同的税率纳税，详细的税率如下表：

级别

全月应纳税所得额

税率（%）

1

不超过1500元的

3

2

超过1500元至4500元的部分

10

3

超过4500元至9000元的部分

20

4

超过9000元至35000元的部分

25

…

…

…

（1）某工厂一名工人2016年5月的收入为4000元，问他应交税款多少元?

（2）设

表示公民每月收入（单位：

元），

表示应交税款（单位：

元），当

时，请写出

关于

的函数关系式；

（3）某公司一名职员2016年8月应交税款600元，问该月他的收入是多少元?

【习题9】如图，在甲、乙两同学进行400米跑步比赛中，路程s（米）与时间t（秒）之间的函数关系的图像分别为折线OAB和线段OC，请根据图上信息回答下列问题：

（1）________先到达终点；

（2）第________秒时，_________追上__________；

（3）比赛全程中，____________的速度始终保持不变；

（4）写出优胜者在比赛过程中所跑的路程s（米）与时间t（秒）之间的函数关系式

__________．

【习题10】

如图，在长方形ABCD中，以对角线AC与BD的交点O为原点，建立直角坐标系，使x轴和y轴分别与两组对边平行，已知长方形的长为25，宽为16，分别求直线AC和BD所对应的函数解析式．

【习题11】已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8cm，矩形MNPQ的长和宽分别为9cm和2cm，点P和点A重合，NP和AC在同一条直线上（如图所示），Rt△ABC不动，矩形MNPQ沿射线NP以每秒1cm的速度向右移动，设移动x（0

【作业1】某种灯的使用寿命是100小时，它可使用的天数y与平均每天使用的时间x之间的函数关系式是__________．

【作业2】如图，学校生物兴趣小组的同学们用围栏围了一个面积为24平方米的矩形饲养场地ABCD.设BC为x米，AB为y米.

（1）求y与x的函数关系式；

（2）延长BC至E，使CE比BC少1米，围成一个新的矩形ABEF，结果场地的面积增加了16平方米，求BC的长.

【作业3】根据图中显示的规律，完成表格并写出y和x的关系式______________．

x

．．．

-2

-1

0

3

5

6

7

．．．

y

．．．

5

2

1

2

10

26

50

．．．

【作业4】某水产公司有一种海产品共2104千克，为寻找合适的销售价格，进行了8天试销，试销的情况如下：

第1天

第2天

第3天

第4天

第5天

第6天

第7天

第8天

售价x（元/千克）

400

250

240

200

150

125

120

销售量y（千克）

30

40

48

60

80

96

100

观察表中数据，发现可以用反比例函数表示这种海产品每天的销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间都满足这一关系．

（1）写出这个反比例函数的解析式，并补全表格；

（2）在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出．

【作业5】“龟兔赛跑”讲述了这样的故事；领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用S1，S2分别表示乌龟和兔子所行的路程；t为时间，则下列图像中与故事相吻合的是（）

【作业6】李丹家距学校m千米，一天她从家上学先以a千米／时的速度跑步锻炼前进，后以匀速b千米／时步行到达学校，共用n小时,下面能够反映李丹同学距学校的距离s（千米）与上学的时间t（小时）之间的大致图象是（）

【作业7】若用

（1）

（2）（3）（4）四幅图像分别表示下面四个函数的关系，请根据图像所给顺序，将下面（a）（b）（c）（d）四个函数关系对应排序：

（a）静止的小车从光滑的斜面上滑下，小车的速度y与时间x的关系；

（b）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物，弹簧长度y与所挂重物x的关系；

（c）运动员推出去的铅球，铅球的高度y与时间x的关系；

（d）小明从A到B后，停留一段时间，然后按原速度原路返回，小明到A的距离y与时间x的关系．正确的顺序是（）

（A）（c）（d）（a）（b）（B）（a）（b）（c）（d）

（C）（c）（b）（a）（d）（D）（d）（a）（c）（b）

【作业8】已知正方形ABCD的边长为5cm，在BC边上有一个动点G，联结AG，如果BG为xcm，

的面积为

，那么S是不是x的函数?

如果是，请写出函数解析式．

【作业9】某商店销售一批小家电，进价为16元，售价为22元，前段时间平均每天可售出20件，商店扩大销售，尽量减少库存，准备适当的降价销售，经市场调查发现，如果每件降价1元，平均每天可多售出5件，记降价后每天售出y件，盈利z元．

（1）设降价后每件的售价为x元，分别列出y与x、z与x之间的函数关系式；

（2）设每件降价x元，分别列出y与x、z与x之间的函数关系式．

【作业10】某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气球体积V（

）的反比例函数，其图象如右图所示（千帕是一种压强单位）．

（1）这个函数的解析式是怎样的?

（2）当气球的体积为0.6立方米时，气球内的气压是多少千帕?

（3）当气球内的气压大于148千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少?

【作业11】如图，李老师设计了一个杠杆平衡条件的实验：

在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘A中放置一个重物，在右边的活动托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡，改变活动托盘B与点O的距离x（cm），观察活动托盘B中砝码的质量y（g）的变化情况，实验数据记录如下表

（1）把上表中（x，y）的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点；

（2）观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式并加以验证；

（3）当砝码的质量为24g时，活动托盘B与点O的距离是多少cm?

（4）当活动托盘B往左移动时，应往活动托盘B中添加还是减少砝码．

x（cm）

10

15

20

25

30

y（g）

30

20

15

12

10

【作业12】如图，在等边三角形ABC中，边长为6，E是AB的中点，点P在边AC上，AP：

PC＝2：

1，EF垂直于BC，垂足为F，点Q是FC上的一个动点．设QC=x，四边形EFQP的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

【作业13】一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中折线表示y与x之间的函数关系．根据下图进行研究：

（1）甲、乙两地之间的距离是____________千米；

（2）请解释图中B的实际意义；

（3）求慢车和快车的速度；

（4）

若第二列快车从甲地出发驶向乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇，求第二列快车比第一列快车晚出发多少时间?