新教材 人教A版高中数学选择性必修第二册 第四章 数列 知识点考点解题方法提炼汇总.docx
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新教材人教A版高中数学选择性必修第二册第四章数列知识点考点解题方法提炼汇总
第四章数列
4.1 数列的概念
第1课时 数列的概念及简单表示法
1.数列的概念及一般形式
(2)数列1,2,3,4,5和数列5,3,2,4,1为两个不同的数列,因为二者的元素顺序不同,而集合{1,2,3,4,5}与这两个数列也不相同,一方面形式上不一致,另一方面,集合中的元素具有无序性.
2.数列的分类
类别
含义
按项的个数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
按项的变化趋势
递增数列
从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项都相等的数列
摆动数列
从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列
3.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
4.数列与函数的关系
从函数的观点看,数列可以看作是特殊的函数,关系如下表:
定义域
正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})
解析式
数列的通项公式
值域
自变量从1开始,按照从小到大的顺序依次取值时,对应的一列函数值构成
表示方法
(1)通项公式(解析法);
(2)列表法;(3)图象法
数列的概念与分类
【例1】
(1)下列四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是( )
A.1,,,,…
B.sin,sin,sin,…
C.-1,-,-,-,…
D.1,,,…,
(2)(一题多空)已知下列数列:
①2013,2014,2015,2016,2017,2018,2019,2020;
②1,,,…,,…;
③1,-,,…,,…;
④1,0,-1,…,sin,…;
⑤2,4,8,16,32,…;
⑥-1,-1,-1,-1.
其中,有穷数列是________,无穷数列是________,递增数列是________,递减数列是________,常数列是________,摆动数列是________(填序号).
(1)C [ABC为无穷数列,其中A是递减数列,B是摆动数列,C是递增数列,故选C.]
(2)①⑥ ②③④⑤ ①⑤ ② ⑥ ③④ [①为有穷数列且为递增数列;②为无穷、递减数列;③为无穷、摆动数列;④是摆动数列,也是无穷数列;⑤为递增数列,也是无穷数列;⑥为有穷数列,也是常数列.]
1.有穷数列与无穷数列:
判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列,只需观察数列是有限项还是无限项.若数列是有限项,则是有穷数列,否则为无穷数列.
2.数列{an}的单调性:
若满足an<an+1,则{an}是递增数列;若满足an>an+1,则{an}是递减数列;若满足an=an+1,则{an}是常数列;若an与an+1的大小不确定,则{an}是摆动数列.
由数列的前几项求通项公式
【例2】 已知数列的前几项,写出下面数列的一个通项公式.
(1)1,3,7,15,31,…;
(2)4,44,444,4444,…;
(3)-1,3,-5,7,-9,…;
(4)2,-,,-,,-,…;
(5)1,2,1,2,1,2,….
[思路探究] 观察数列前后项之间的规律,规律不明显的需将个别项进行调整,再看是否与对应的序号有规律的联系.
[解]
(1)观察发现各项分别加上1后,数列变为2,4,8,16,32,…,新数列的通项为2n,故原数列的通项公式为an=2n-1.
(2)各项乘,变为9,99,999,…,各项加上1后,数列变为10,100,1000,…,新数列的通项为10n,故原数列的通项公式为an=(10n-1).
(3)所给数列有这样几个特点:
①符号正、负相间;
②整数部分构成奇数列;
③分数部分的分母为从2开始的自然数的平方;
④分数部分的分子依次大1.
综合这些特点写出表达式,再化简即可.由所给的几项可得数列的通项公式为
an=(-1)n,
所以an=(-1)n.
(4)数列的符号规律是正、负相间,使各项分子为4,数列变为,-,,-,…,再把各分母分别加上1,数列又变为,-,,-,…,所以an=.
(5)法一:
可写成分段函数形式:
an=
法二:
an=
=
即an=+.
1.常见数列的通项公式归纳
(1)数列1,2,3,4,…的一个通项公式为an=n;
(2)数列1,3,5,7,…的一个通项公式为an=2n-1;
(3)数列2,4,6,8,…的一个通项公式为an=2n;
(4)数列1,2,4,8,…的一个通项公式为an=2n-1;
(5)数列1,4,9,16,…的一个通项公式为an=n2;
(6)数列-1,1,-1,1,…的一个通项公式为an=(-1)n;
(7)数列1,,,,…的一个通项公式为an=.
2.复杂数列的通项公式的归纳方法
①考察各项的结构;②观察各项中的“变”与“不变”;③观察“变”的规律是什么;④每项符号的变化规律如何;⑤得出通项公式.
通项公式的应用
[探究问题]
1.根据通项公式如何求数列中的第几项?
怎么确定某项是否是数列的项?
若是,是第几项?
[提示] 根据an,求第几项,采用的是代入法,如第5项就是令n=5,求a5.判断某项是否是数列中的项,就是解方程.令an等于该项,解得n∈N*即是,否则不是.
2.已知数列{an}的通项公式为an=-n2+2n+1,该数列的图象有何特点?
试利用图象说明该数列的单调性及所有的正数项.
[提示] 由数列与函数的关系可知,数列{an}的图象是分布在二次函数y=-x2+2x+1图象上的离散的点,如图所示,从图象上可以看出该数列是一个递减数列,且前两项为正数项,从第3项往后各项为负数项.
【例3】 已知数列{an}的通项公式为an=3n2-28n.
(1)写出此数列的第4项和第6项;
(2)-49是否是该数列的一项?
如果是,应是哪一项?
68是否是该数列的一项呢?
[思路探究]
(1)将n=4,n=6分别代入an求出数值即可;
(2)令3n2-28n=-49和3n2-28n=68,求得n是否为正整数并判断.
[解]
(1)a4=3×42-28×4=-64,
a6=3×62-28×6=-60.
(2)令3n2-28n=-49,解得n=7或n=(舍去),
所以-49是该数列的第7项;
令3n2-28n=68,解得n=-2或n=,均不合题意,所以68不是该数列的项.
1.(变结论)若本例中的条件不变,
(1)试写出该数列的第3项和第8项;
(2)20是不是该数列的一项?
若是,是哪一项?
[解]
(1)因为an=3n2-28n,
所以a3=3×32-28×3=-57,a8=3×82-28×8=-32.
(2)令3n2-28n=20,解得n=10或n=-(舍去),
所以20是该数列的第10项.
2.(变条件,变结论)若将例题中的“an=3n2-28n”变为“an=n2+2n-5”,试判断数列{an}的单调性.
[解] ∵an=n2+2n-5,
∴an+1-an=(n+1)2+2(n+1)-5-(n2+2n-5)
=n2+2n+1+2n+2-5-n2-2n+5=2n+3.
∵n∈N*,∴2n+3>0,∴an+1>an.
∴数列{an}是递增数列.
1.由通项公式写出数列的指定项,主要是对n进行取值,然后代入通项公式,相当于函数中,已知函数解析式和自变量的值求函数值.
2.判断一个数是否为该数列中的项,其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根,根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项.
3.在用函数的有关知识解决数列问题时,要注意它的定义域是N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})这一约束条件.
第2课时 数列的递推公式与an和Sn的关系
1.数列的递推公式
(1)两个条件:
①已知数列的第1项(或前几项);
②从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示.
(2)结论:
具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式.
2.数列递推公式与通项公式的关系
递推公式
通项公式
区别
表示an与它的前一项an-1(或前几项)之间的关系
表示an与n之间的关系
联系
(1)都是表示数列的一种方法;
(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式
3.数列{an}的前n项和
(1)数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=a1+a2+…+an.
(2)如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
(3)数列{an}的通项an与前n项和Sn之间的关系为
an=
由递推公式求数列中的项
【例1】 已知数列{an}中,a1=1,a2=2,以后各项由an=an-1+an-2(n≥3)给出.
(1)写出此数列的前5项;
(2)通过公式bn=构造一个新的数列{bn},写出数列{bn}的前4项.
[解]
(1)∵an=an-1+an-2(n≥3),
且a1=1,a2=2,
∴a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=3+2=5,
a5=a4+a3=5+3=8.
故数列{an}的前5项依次为a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8.
(2)∵bn=,且a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8,
∴b1==,b2==,b3==,b4==.
故{bn}的前4项依次为b1=,b2=,b3=,b4=.
由递推公式写出数列的项的方法
1根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.
2若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式,如an=2an+1+1.
3若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式,如an+1=.
数列的单调性
【例2】 已知数列{an}的通项公式是an=(n+2)×(n∈N*),试问数列{an}是否有最大项?
若有,求出最大项;若没有,说明理由.
[思路探究] 判断数列的单调性,寻求数列最大项,或假设an是数列的最大项,解不等式.
[解] 法一:
作差比较an+1与an的大小,判断{an}的单调性.
an+1-an=(n+3)×-(n+2)×=×.
当n<5时,an+1-an>0,即an+1>an;
当n=5时,an+1-an=0,即an+1=an;
当n>5时,an+1-an<0,即an+1<an.
故a1<a2<a3<a4<a5=a6>a7>a8>…,
所以数列{an}有最大项,且最大项为a5或a6,且a5=a6=.
法二:
作商比较an+1与an的大小,判断{an}的单调性.
==.
又an>0,
令>1,解得n<5;令=1,解得n=5;令<1,解得n>5.
故a1<a2<a3<a4<a5=a6>a7>…,
所以数列{an}有最大项,且最大项为a5或a6,且a5=a6=.
法三:
假设{an}中有最大项,且最大项为第n项,则
即
解得即5≤n≤6.
故数列{an}有最大项a5或a6,且a5=a6=.
求数列{an}的最大小项的方法
一是利用判断函数增减性的方法,先判断数列的增减情况,再求数列的最大项或最小项;如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性,以此求解最大项.
二是设ak是最大项,则有对任意的k∈N*且k≥2都成立,解不等式组即可.
利用an=求通项
【例3】 根据下列数列的前n项和Sn求
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