导数平均变化率与瞬时变化率.docx
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导数平均变化率与瞬时变化率
【同步教育信息】
一.本周教学内容:
导数——平均变化率与瞬时变化率w
二.本周教学目标:
1、了解导数概念的广阔背景,体会导数的思想及其内涵.2、通过函数图象直观理解导数的几何意义.
三.本周知识要点:
(一平均变化率
1、情境:
观察某市某天的气温变化图
t(d
20
2、一般地,函数f(x在区间[x1,x2]上的平均变化率2121
((fxfxxx--
平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”.
(二瞬时变化率——导数
1、曲线的切线
如图,设曲线c是函数(yfx=的图象,点00(,Pxy是曲线cPQ,当
点Q沿着曲线c无限地趋近于点P,割线PQ无限地趋近于某一极限位置位置上的直线PT,叫做曲线c在点P处的
割线PQ的斜率为
PQ
k=00((fxxfxx+∆-∆,即当0→∆x时,00((fxxfxx+∆-∆无
限趋近于点P的斜率.
2、瞬时速度与瞬时加速度
1瞬时速度定义:
运动物体经过某一时刻(某一位置的速度,叫做瞬时速度.2确定物体在某一点A处的瞬时速度的方法:
要确定物体在某一点A处的瞬时速度,从A点起取一小段位移AA1,求出物体在这段位移上的平均速度,这个平均速度可以近似地表示物体经过A点的瞬时速度.
当位移足够小时,物体在这段时间内的运动可认为是匀速的,所得的平均速度就等于物体经过A点的瞬时速度.
我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识,现在已经知道物体做直线运动时,它的运动规律用函数表示为s=s(t,也叫做物体的运动方程或位移公式,现在有两个时刻t0,t0+Δt,现在问从t0到t0+Δt这段时间内,物体的位移、平均速度各是:
位移为Δs=s(t0+Δt-s(t0(Δt称时间增量
平均速度
ttsttsts∆-∆+=∆∆=
((00
根据对瞬时速度的直观描述,当位移足够小,现在位移由时间t来表示,也就是说时间
足够短时,平均速度就等于瞬时速度.
现在是从t0到t0+Δt,这段时间是Δt.时间Δt足够短,就是Δt无限趋近于0.当Δt
→0时,位移的平均变化率00((
sttstt+∆-∆无限趋近于一个常数,那么称这个常数为物体
在t=t0同样,计算运动物体速度的平均变化率00((
vttvtt+∆-∆,当Δt→0时,平均速度00((
vttvtt+∆-∆无限趋近于一个常数,那么这个常数为在t=t0时的瞬时加速度.
3、导数
设函数(xfy=在(a,b上有定义,0(,xab∈.若x∆无限趋近于0时,比值
xxfxxfxy∆-∆+=∆∆((00无限趋近于一个常数A,则称f(x在x=0x处可导,并称该常
数A为函数(xfy=在0xx=处的导数,记作'
0(fx.
几何意义是曲线(xfy=上点((,00xfx处的切线的斜率.
导函数(导数:
如果函数(xfy=在开区间,(ba内的每点处都有导数,此时对于每一个,(bax∈,都对应着一个确定的导数('xf,从而构成了一个新的函数('xf,称这个函数('xf为函数(xfy=在开区间内的导函数,简称导数,也可记作'y.
【典型例题】
例1、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙,ts后容器甲中水的体积t
tV1.025(-⨯=(单
位:
3
cm,计算第一个10s内V的平均变化率.
解:
在区间[0,10]上,体积V的平均变化率为
(10(0
2.55
0.25100
10
VV
--≈
=--3
cm即第一个10s内容器甲中水的体积的平均变化率为0.25-3
cm.
例2、已知函数(21fxx=+,(2gxx=-,分别计算在区间[-3,-1],[0,5]上函数
(fx及(gx的平均变化率.
解:
函数(fx在[-3,-1]上的平均变化率为
(1(3
2
(1(3ff---=---
(gx在[-3,-1]上的平均变化率为
(1(3
2
(1(3gg---=----
函数(fx在[0,5]上的平均变化率为
(5(0
2
50ff-=-
(gx在[0,5]上的平均变化率为
(5(0
2
50gg-=--
例3、已知函数2
(fxx=,分别计算函数(fx在区间[1,3],[1,2],[1,1.1],[1,1.001]上的平均变化率.
解:
函数(fx在区间[1,3]上的平均变化率为
(3(1
4
31ff-=-
函数(fx在[1,2]上的平均变化率为
(2(1
3
21ff-=-
函数(fx在[1,1.1]上的平均变化率为
(1.1(1
2.1
1.11ff-=-
函数(fx在[1,1.001]上的平均变化率为
(1.001(1
2.001
1.0011ff-=-
例4、物体自由落体的运动方程s=s(t=21
gt2,其中位移单位m,时间单位s,g=9.8
m/s2.求t=3这一时段的速度.
解:
取一小段时间[3,3+Δt],位置改变量Δs=21g(3+Δt2-21g·32=2g
(6+
ΔtΔt,平均速度
21=
∆∆=
tsvg(6+Δt当Δt无限趋于0时,v无限趋于3g=29.4m/s.
例5、已知质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位:
cm,时间单位:
s,
(1当t=2,Δt=0.01时,求ts
∆∆.(2当t=2,Δt=0.001时,求ts
∆∆.
(3求质点M在t=2时的瞬时速度.
分析:
Δs即位移的改变量,Δt即时间的改变量,ts
∆∆即平均速度,当Δt越小,求出的ts
∆∆越接近某时刻的速度.
解:
∵ttttttsttsts∆+-+∆+=
∆-∆+=∆∆32(3(2((22=4t+2Δt∴(1当t=2,Δt=0.01时,ts
∆∆=4×2+2×0.01=8.02cm/s.(2当t=2,Δt=0.001时,ts
∆∆=4×2+2×0.001=8.002cm/s.
(3Δt→0,(4t+2Δt=4t=4×2=8cm/s
例6、曲线的方程为y=x2+1,那么求此曲线在点P(1,2处的切线的斜率,以及切线的方程.
解:
设Q(1+x∆,2+x∆,则割线PQ的斜率为:
22(1(1(11(11
fxfxxx+∆-+∆+-+=
∆∆2(22
xxxx∆+∆==∆+∆0,x∆→∴斜率为2
∴切线的斜率为2.
切线的方程为y-2=2(x-1,即y=2x.
【模拟试题】
1、若函数f(x=2x2+1,图象上P(1,3及邻近点Q(1+Δx,3+Δy,则xy
∆∆=(
A.4B.4ΔxC.4+2ΔxD.2ΔxDs®0时,Dt为2、一直线运动的物体,从时间t到t+Dt时,物体的位移为Ds,那么Dt()A.从时间t到t+Dt时,物体的平均速度;B.在t时刻时该物体的瞬时速度;C.当时间为Dt时物体的速度;D.从时间t到t+Dt时物体的平均速度23、已知曲线y=2x上一点A(1,2),求
(1)点A处的切线的斜率.
(2)点A处的切线方程.4、求曲线y=x2+1在点P(-2,5)处的切线方程.5、求y=2x2+4x在点x=3处的导数.6、一球沿一斜面自由滚下,其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位:
m,时间单位:
s),求小球在t=5时的瞬时速度7、质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位:
cm,时间单位:
s),求质点M在t=2时的瞬时速度.王新敞奎屯新疆王新敞奎屯新疆
【试题答案】1、B2、Bf(1+Dx-f(12(1+Dx2-2×12=DxDx3、解:
(1)Dx®0时,k==4Dx+2(Dx2=(4+2Dx=4Dx∴点A处的切线的斜率为4.
(2)点A处的切线方程是y-2=4(x-1)即y=4x-2f(-2+Dx-f(-2(-2+Dx2+1-(-22-1=DxDx4、解:
Dx®0时,k==-4Dx+(Dx2=(-4+Dx=-4Dx∴切线方程是y-5=-4(x+2),即y=-4x-3.Dy5、解:
Δy=2(3+Δx)2+4(3+Δx)-(2×32+4×3)=2(Δx)2+16Δx,Dx=2Δx+16∴Dx®0时,y′|x=3=16s(5+Dt-s(5(5+Dt2-52==DtDt6、解:
Dt®0时,瞬时速度v=(10+Δt)=10m/s.∴瞬时速度v=2t=2×5=10m/s.s(2+Dt-s(22(2+Dt2+3-(2×22+3=DtDt7、解:
Dt®0时,瞬时速度v==(8+2Δt)=8cm/s【励志故事】遭窃的罗斯福罗斯福还未当上美国总统之前,家中遭窃,朋友写信安慰他.罗斯福回信说:
“谢谢你的来信,我现在心中很平静,因为:
第一、窃贼只偷去我的财物,并没有伤害我的生命.第二、窃贼只偷走部分的东西,而非全部.第三、最值得庆幸的是:
做贼的是他,而不是我.”
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- 关 键 词:
- 导数 平均 变化 瞬时