微积分课程教学大纲.docx

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微积分课程教学大纲

《微积分》课程教学大纲

学时数：

126

学分数：

7

适用专业：

经济类本科

执笔：

吴赣昌

编写日期：

2006年6月

课程的性质、目的和任务

本课程是高等学校经济类本科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量建设人才服务的。

通过本课程的学习，要使学生获得一元函数微积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程与差分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为后续课程的学习奠定必要的数学基础。

在课程的教学过程中，要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、数学运算能力、综合解题能力、数学建模与实践能力以及自学能力。

课程教学的主要内容与基本要求

一、函数、极限与连续

主要内容：

函数的概念及其表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；反函数、复合函数和隐函数，基本初等函数的性质及其图形特征，初等函数，简单应用问题的函数关系的建立；常用经济函数；数列极限与函数极限的定义和性质，函数的左、右极限，无穷小与无穷大；无穷小的比较；极限的四则运算；极限存在的两个准则和两个重要极限； 连续函数的概念，函数间断点的分类；初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（最大值最小值定理和介值定理）。

基本要求：

1、理解函数的概念，掌握函数的表示法；

2、了解函数的有界性、单调性、周期性与奇偶性；

3、理解复合函数、反函数、隐函数和分段函数的概念；

4、掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念；

5、会建立简单应用问题的函数关系，熟悉几种常用经济函数；

6、了解数列极限和函数极限（包括左、右极限）的概念；

7、了解无穷小的概念和基本性质，掌握无穷小的阶的比较方法。

了解无穷大的概念及其与无穷小的关系；

8、了解极限的性质与极限存在的两个准则，熟练掌握极限的四则运算法则，熟练掌握两个重要极限的应用；

9、理解函数连续性的概念（包括左、右连续）与函数间断的概念，掌握间断点的分类；

10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性定理、最大值与最小值定理和介值定理）及其简单应用。

二、导数与微分

主要内容：

    导数的概念，导数的几何意义和经济意义，函数的可导性与连续性之间的关系；平面曲线的切线和法线；基本初等函数的导数，导数的四则运算，反函数的导数，复合函数的求导法则；高阶导数的概念，某些简单函数的n阶导数；隐函数及参数方程所确定的函数的导数；微分的概念，微分的四则运算，一阶微分形式的不变性，利用微分进行近似计算。

一阶微分形式的不变性微分在近似计算中的应用

基本要求：

1、理解导数的概念，了解导数的几何意义与经济意义，理解函数的可导性与连续性之间的关系；

2、熟练掌握基本初等函数的导数公式；

3、熟练掌握导数的四则运算法则；

4、熟练掌握反函数求导法则；

5、熟练掌握复合函数求导法则；

6、掌握隐函数求导法则与对数求导法则；

7、了解高阶导数的概念，会求二阶、三阶导数及一些简单的n阶导数；

8、了解微分的概念，可导与可微，导数与微分的关系，以及一阶微分形式的不变性，熟练掌握求微分的方法。

三、中值定理与导数的应用

主要内容：

罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理；洛必达法则；泰勒中值定理；函数的单调性及其判别法，曲线的凹凸性及其判别法，函数图形的拐点及其求法；渐近线，函数图形的描绘；函数的极值及其求法，函数最大值和最小值的求法及简单应用；导数在经济学中的应用。

基本要求：

1、理解并会用罗尔定理，拉格朗日中值定理和泰勒中值定理；

2、了解并会用柯西中值定理；

3、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用；

4、会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点，会求水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形；

5、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法；

6、熟悉边际分析和函数弹性的的概念，并能用其分析简单的经济问题。

四、不定积分

主要内容：

    原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式；不定积分的换元积分法与分部积分法；有理函数、三角函数和简单无理函数的不定积分，以及可化为有理函数的积分。

基本要求：

1、理解原函数的概念、理解不定积分的概念；

2、熟练掌握不定积分的基本性质与基本积分公式；

3、熟练掌握计算不定积分的凑微分法、换元积分法和分部积分法；

4、会求有理函数的不定积分。

五、定积分

主要内容：

定积分的概念与定积分的近似计算；定积分的性质，定积分中值定理；积分上限的函数及其导数，牛顿一莱布尼茨公式；定积分的换元积分法与分部积分法；无穷限的广义积分，无界函数的广义积分；定积分的几何印：

微元法，平面图形的面积，旋转体的体积，平行截面面积已知的离体的体积；积分在经济分析中的应用。

基本要求：

1、理解定积分的概念和性质；

2、熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法；

3、理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，熟悉牛顿—莱布尼茨公式；

4、会利用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积，会利用定积分求解一些简单的经济应用问题；

5、了解广义积分收敛与发散的概念，掌握计算广义积分的基本方法；

六、多元函数微分法及其应用

主要内容：

空间直角坐标系，空间两点间的距离，平面与曲面方程简介；多元函数的概念，二元函数的极限，二元函数的连续性，有界闭域上连续函数的性质；偏导数的概念与计算，高教偏导数；多元函数全微分的概念，全微分存在的必要条件和充分条件，*全微分在近似计算中的应用；多元函数的复合函数微分法，全微分形式不变性；多元函数的隐函数微分法；多元函数的极值及其求法，多元函数极值的必要条件，二元函数极值的充分条件，多元函数条件极值的概念及其求法（拉格朗日乘数法），多元函数的最大值、最小值及其简单应用；二重积分的概念与性质，直角坐标系下二重积分的计算，极坐标系下二重积分的计算。

基本要求：

1、了解空间坐标系的有关概念，会求两点之间的距离；

2、了解平面上点的邻域，区域以及其边界点，内点等的概念；

3、了解多元函数的概念，了解二元函数的表示法与几何意义；

4、了解二元函数的极限与连续的直观意义；

5、理解多元函数的偏导数与全微分的概念，熟练掌握求偏导数与全微分的方法，掌握求多元函数偏导数以及隐函数的偏导数的方法；

6、了解二元函数极值与条件极值的概念，掌握二元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值与最小值，会求解一些简单的应用题；

7、了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分在直角坐标系与极坐标系下的计算方法，会计算无界区域上的较简单的二重积分。

七、无穷级数

主要内容：

    常数项级数收敛与发散的概念，收敛级数的和的概念，收敛级数的基本性质，级数收敛的必要条件，几何级数与p—级数；正项级数的比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法；交错级数的莱布尼茨定理，绝对收敛与条件收敛的概念；函数项级数的收敛域与和函数的概念，幂级数的收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域，幂级数在其收敛区间内的基本性质；简单幂级数的和函数的求法，函数可展开为泰勒级数的充分必要条件，麦克劳林展开式，函数的幂级数展开式的应用。

基本要求：

1、了解级数的收敛、发散以及收敛级数的和等概念；

2、掌握几何级数，p-级数的收敛与发散的条件，知道调和级数的敛散性；

3、掌握收敛级数的必要条件及收敛级数的基本性质；

4、熟练掌握正项级数的比较判别法、达朗贝尔（比值）判别法与柯西（根值）判别法；

5、掌握交错级数的莱布尼茨判别法；

6、了解任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念，掌握绝对收敛与条件收敛的判别法；

7、了解幂级数及其收敛半径、收敛区域、和函数等概念，会求收敛半径和收敛域；

8、了解幂级数在收敛区间内的基本性质（和函数的连续性，逐项微分和逐项积分），会求一些简单幂级数的和函数；

9、掌握

及

的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单的函数间接展开成幂级数；

八、微分方程

主要内容：

常微分方程的概念，微分方程的解、通解、初始条件和特解；变量可分离的方程，齐次方程；一阶线性方程；可降阶的高阶微分方程；二阶线性微分方程解的结构；二阶常系数齐次线性微分方程及其通解，自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与乘积的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法；差分方程；微分方程的简单应用。

基本要求：

1、了解微分方程的阶、通解、初始条件和特解等概念；

2、掌握变量可分离的方程，齐次方程和一阶线性方程的求解方法；

3、掌握二阶常系数齐次线性方程和自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与乘积的二阶常系数非齐次线性微分的解法；

4、了解差分与差分方程及其通解与特解等概念；

5、掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法；

6、会应用微分方程和差分方程求解一些简单的经济应用问题。

各教学环节的学时分配

章节

主要内容

各教学环节学时分配

备注

讲

授

实

验

讨

论

习

题

课

外

其

它

小

计

一

函数、连续与极限

20

2

22

二

导数与微分

10

2

12

三

中值定理与导数的应用

14

2

2

18

四

不定积分

8

8

五

定积分及其应用

14

2

16

六

多元函数微积分及其应用

16

4

2

22

七

无穷级数

8

2

10

八

微分方程与差分方程

14

2

2

18

合计

104

8

12

2

126

注：

教学环节中的实验环节共安排8学时，安排数学实践训练的教学内容：

四个数学实验项目。

该环节的考核成绩占课程总成绩的10％。

实验大纲内容如下：

项目一一元函数微分学

一、目的要求：

参见下列分项实验内容。

二、主要内容：

参见下列分项实验内容。

三、方式和时间安排：

本项目的实践训练共安排2学时，时间安排在一元函数微分学的教学内容将近结束时。

四、场所安排：

数学建模与仿真实验室。

五、考核方式：

根据提交的实验报告按百分制评定成绩。

实验1.1一元函数的图形（基础实验）

目的要求通过图形加深对函数及其性质的认识与理解，掌握运用函数的图形来观察和分析函数的有关特性与变化趋势，建立数形结合的思想；掌握用Mathematica作平面曲线图形的方法与技巧。

主要内容初等函数的图形；二维参数方程作图；用极坐标命令作图；隐函数作图；分段函数作图；函数性质的研究。

实验1.2极限与连续（基础实验）

目的要求通过计算与作图，从直观上揭示极限的本质，加深对极限概念的理解。

掌握用Mathematica画散点图，以及计算极限的方法。

深入理解函数连续的概念，熟悉几种间断点的图形特征，理解闭区间上连续函数的几个重要性质。

主要内容作散点图；数列极限的概念；递归数列；函数的极限；两个重要极限；无穷大；连续与间断。

实验1.3导数（基础实验）

目的要求深入理解导数与微分的概念，导数的几何意义。

掌握利用Mathematica求导数与高阶导数的方法。

深入理解和掌握求隐函数的导数，以及求由参数方程定义的函数的导数的方法。

主要内容导数概念；导数的几何意义；求函数的导数与微分；拉格朗日中值定理。

实验1.4导数的应用（基础实验）

目的要求理解并掌握用函数的导数确定函数的单调区间、凹凸区间和函数的极值的方法。

理解曲线的曲率圆和曲率的概念。

进一步熟悉和掌握用Mathematica作平面图形的方法和技巧。

掌握用Mathematica求方程的根（包括近似根）和求函数极值（包括近似极值））的方法。

主要内容求函数的单调区间；求函数的极值；求函数的凹凸区间和拐点；求极值的近似值；泰勒公式与函数逼近；求曲线的曲率与曲率圆。

实验1.5抛射体的运动（综合实验）

目的要求Mathematica可以被用来探索各种各样的可能性，从而能在给定的各种各样的假设条件下模拟出所求问题的解，通过本实验的解决，力求让学生初步掌握利用数学实验方方法探求所给问题的解的方法，同时初步熟悉科学报告的写作方法。

主要内容在不考虑空气阻力的情况下，研究抛射体的运动。

项目二一元函数积分学与空间图形的画法

一、目的要求：

参见下列分项实验内容。

二、主要内容：

参见下列分项实验内容。

三、方式和时间安排：

本项目的实践训练共安排2学时，时间安排在一元函数积分学的教学内容将近结束时。

四、场所安排：

数学建模与仿真实验室。

五、考核方式：

根据提交的实验报告按百分制评定成绩。

实验2.1一元函数积分（基础实验）

目的要求掌握用Mathematica计算不定积分与定积分的方法。

通过作图和观察，深入理解定积分的概念和思想方法。

初步了解定积分的近似计算方法。

理解变上限积分的概念。

提高应用定积分解决各种问题的能力。

主要内容用定义计算定积分；不定积分计算；定积分计算；变上限积分；定积分应用。

实验2.2空间图形的画法（基础实验）

目的要求掌握用Mathematica绘制空间曲面和曲线的方法。

熟悉常用空间曲线和空间曲面的图形特征，通过作图和观察，提高空间想像能力。

深入理解二次曲面方程及其图形。

主要内容一般二元函数作图；二次曲面；曲面相交；*默比乌斯带；空间曲线。

项目三多元函数微积分学

一、目的要求：

参见下列分项实验内容。

二、主要内容：

参见下列分项实验内容。

三、方式和时间安排：

本项目的实践训练共安排2学时，时间安排在多元函数积分学的教学内容将近结束时。

四、场所安排：

数学建模与仿真实验室。

五、考核方式：

根据提交的实验报告按百分制评定成绩。

实验3.1多元函数微分（基础实验）

目的要求掌握用Mathematica计算多元函数偏导数和全微分的方法，并掌握计算二元函数极值和条件极值的方法。

理解和掌握曲面的切平面的作法。

通过作图和观察，理解二元函数的性质、方向导数、梯度和等高线的概念。

主要内容求多元函数的偏导数与全微分；微分学的几何应用；多元函数的极值；梯度场。

实验3.2多元函数积分（基础实验）

目的要求掌握用Mathematica计算二重积分与三重积分的方法；深入理解曲线积分、曲面积分的概念和计算方法。

提高应用重积分和曲线、曲面积分解决各种问题的能力。

主要内容计算重积分；重积分的应用；计算曲线积分；计算曲面积分。

实验3.3水箱的流量问题（综合实验）

目的要求了解曲线拟合问题与最小二乘拟合原理。

学会观察给定数表的散点图，选择恰当的曲线拟合该数表。

掌握分析实际问题的思想和方法，建立恰当的数学模型。

并利用Mathematica解决本问题。

主要内容利用最小二乘法对观察数据进行曲线拟合，在此基础上利用多元函数微积分学的理论建立水箱流量问题的数学模型，并利用Mathematica软件对该模型进行计算与分析研究。

实验3.4线性规划问题（综合实验）

目的要求对投资的收益和风险等实际问题建立数学模型，准确理解数学建模中的有关概念。

掌握将双目标优化问题转化为单目标优化问题的思想和方法。

掌握用Mathematica求解线性规划问题的基本命令。

主要内容投资的收益和风险；生产计划中的线性规划模型。

项目四无穷级数与微分方程

一、目的要求：

参见下列分项实验内容。

二、主要内容：

参见下列分项实验内容。

三、方式和时间安排：

本项目的实践训练共安排2学时，时间安排在微分方程的教学内容开始后。

四、场所安排：

数学建模与仿真实验室。

考核方式：

根据提交的实验报告按百分制评定成绩。

实验4.1无穷级数（基础实验）

目的要求体会无穷级数部分和的变化趋势，进一步理解级数的审敛法以及幂级数部分和对函数的逼近。

掌握用Mathematica求无穷级数的和，求幂级数的收敛域，展开函数为幂级数以及展开周期函数为傅里叶级数的方法。

主要内容数项级数；求幂级函数的收敛域；函数的幂级数展开；傅里叶级数。

实验4.2微分方程（基础实验）

目的要求理解常微分方程解的概念以及积分曲线等概念，掌握利用Mathematica求微分方程及方程组解的常用命令和方法。

主要内容用Dsolve命令解微分方程；用NDSolve命令求微积分方程的近似解。

实验4.3抛射体的运动（综合实验）

目的要求通过微分方程建模和Mathematica软件，进一步研究在考虑空气阻力的情况下抛射体的运动。

主要内容在实验1.5的基础上，进一步考虑有空气阻力的情况下，研究抛射体的运动。

实验4.4蹦极跳运动（综合实验）

目的要求通过微分方程建模和Mathematica软件，研究蹦极跳运动。

主要内容在不考虑空气阻力和考虑空气阻力等多种情况下，研究蹦极跳运动中，蹦极者与蹦极绳设计之间的各种关系。

实验4.5传染病传播问题（综合实验）

目的要求根据传染病的实际问题建立传染病传播的数学模型，体会数学建模的重要意义。

掌握微分方程的理论方法在数学建模中的应用。

掌握Mathematica软件在微分方程建模中的应用，以此掌握数学模型的分析方法和技巧。

主要内容利用微分方程的理论方法建立传染病传播问题的数学模型，并利用Mathematica软件对其进行计算与分析研究。

课程与其它课程的联系

高等数学是理工科各专业重要的必修基础课，通过这门课程的学习，将为理工科各专业的学习打下坚实的基础。

这门课程的学习也将为今后各专业课程的学习建立必要的知识储备，开阔学生的眼界、丰富知识的结构、培养学生的分析问题与解决问题的能力。

没有高等数学课程的学习，将无法进行其它后续课程的学习。

教材与教学参考资料

选用教材：

吴赣昌，大学数学立体化教材：

微积分（经济类），中国人民大学出版社，2006年3月。

教学参考资料：

吴赣昌，大学数学多媒体教学系统：

微积分（经济类），中国人民大学出版社，中国人民大学音像出版社，2006年6月。

朱来义，高等学校经济管理学科数学基础：

微积分，高等教育出版社，2002年7月。

赵树塬，经济应用数学基础：

微积分，中国人民大学出版社，2002年7月。

章栋恩，许晓革，高等数学实验，高等教育出版社，2004年7月。

A.D.Andrew,G.L.Cain等（俞正光，章纪民译），用Mathematica做微积分实验，清华大学出版社，2003年9月。