秋季学期新版新人教版九年级数学上册213实际问题与一元二次方程导学案1.docx

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秋季学期新版新人教版九年级数学上册213实际问题与一元二次方程导学案1

第9课时一元二次方程的应用

（2）

一、学习目标

1．会利用一元二次方程解答数字问题

2．会利用一元二次方程解答营销问题；

3．会利用一元二次方程解答动态几何问题.

二、知识回顾

1.用一元二次方程解决实际问题，一般要经历以下几个基本步骤：

（1）审题找等量关系；

（2）设元列方程；

（3）求解并检验；

（4）写出答案．

2.数字问题中常用的数量关系有：

两位数表示为：

十位数字×10+个位数字；

三位数表示为：

百位数字×100+十位数字×10+个位数字；

三个连续整数可表示为：

x-1,x,x+1;

三个连续奇数可表示为：

2x-1,2x+1,2x+3;

三个连续偶数可表示为：

2x-2,2x,2x+2.

三、新知讲解

一元二次方程的应用——营销问题（“每每型”问题）

每每型问题指“每降低多少单价，每次就增加多少销量”或“每增加多少单价，每次就减少多少销量”的问题，关键是找出两个“每次”代表的数量，并用未知数表达出来，然后根据等量关系列出方程求解．

四、典例探究

1．一元二次方程的应用——数字问题

【例1】（2014秋•冠县校级期末）一个两位数等于它的个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，求这个两位数．

总结：

对于数字问题，首先要明确数的表示方法：

（1）如果是两位数，个位数字设为a，十位数字设为b，那么这个两位数可表示为10b+a；

（2）如果是三位数，个位数字设为a，十位数字设为b，百位数字设为c，那么这个三位数可表示为100c+10b+a；

（3）设x为整数，三个连续整数可表示为x-1,x,x+1，三个连续奇数可表示为2x-1,2x+1,2x+3；三个连续偶数可表示为2x-2,2x,2x+2．

练1有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数.

练2（2015•河北模拟）刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：

a2+b﹣1，例如：

把（3，﹣2）放入其中，就会得到32+（﹣2）﹣1=6．现将实数对（m，﹣2m）放入其中，得到实数2，则m的值是（）

A．3B．﹣1C．﹣3或1D．3或﹣1

2．一元二次方程的应用——营销问题

【例2】（2015•乌鲁木齐）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：

每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？

总结：

用一元二次方程解决的营销问题中，常用的关系式有：

利润=售价-进价，单件利润×销售量=总利润.

用一元二次方程解决的每每型问题，通常指“每降低多少单价，每次就增加多少销量”或“每增加多少单价，每次就减少多少销量”的问题，注意两个“每次”.

每每型问题中，每次涨（降）价，会引起定价和销量的变化，定价的变化又影响单件利润，等量关系式一般是单件利润×销售量=总利润.

每每型问题中要注意题设中“在顾客得实惠的前提下”“减少库存压力”等语句，这是进行答案取舍的重要信息.

练3（2015•淮安）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．

（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；

（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？

3．一元二次方程的应用——动态几何问题

【例3】（2015春•寿县校级月考）如图△ABC，∠B=90°，AB=6，BC=8．点P从A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：

（1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？

（2）△PBQ的面积会等于10cm2吗？

若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由．

总结：

动态几何问题指图形中存在动点、动线、动图等方面的问题.解决这类题，要搞清楚图形的变化过程，正确分析变量和其他量之间的联系，动中窥静，以静制动.

动态几何问题中常关心“不变量”.在求某个特定位置或特定值时，经常建立方程模型求解.

练4（2015春•慈溪市校级月考）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？

（1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整：

解：

设点B将向外移动x米，即BB1=x，

则B1C=x+0.7，A1C=AC﹣AA1=

﹣0.4=2

而A1B1=2.5，在Rt△A1B1C中，由B1C2+A1C2=A1B12得方程，

解方程得x1=，x2=，∴点B将向外移动米．

（2）解完“思考题”后，小聪提出了如下问题：

梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？

为什么？

请你解答小聪提出的这个问题．

五、课后小测

一、选择题

1．已知两数之差为4，积等于45，则这两个数是（）

A．5和9B．﹣9和﹣5C．5和﹣5或﹣9和9D．5和9或﹣9和﹣5

2．（2014•鄂城区校级模拟）西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元，为了减少库存，该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低（）元．

A．0.2或0.3B．0.4C．0.3D．0.2

3.如图，房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成．图中，第1个黑色形由3个正方形组成，第2个黑色形由7个正方形组成，那么组成第12个黑色形的正方形个数是（）

A．44B．45C．46D．47．

二、填空题

4．（2014秋•娄底校级期末）若两个连续偶数的积是224，则这两个数的和是______．

5．（2015•东西湖区校级模拟）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律计算：

每件商品降价_____元时，商场日盈利可达到2100元．

三、解答题

6．（2015•谷城县模拟）怎样用一条长40cm的绳子围成一个面积为96cm2的矩形？

能围成一个面积为102cm2的矩形吗？

如果能，说明围法；如果不能，说明理由．

7．（2015春•江阴市期末）某大学生利用暑假社会实践参与了一家网店经营，该网店以每个20元的价格购进900个某新型商品．第一周以每个35元的价格售出300个，第二周若按每个35元的价格销售仍可售出300个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个）．

（1）若第二周降低价格1元售出，则第一周，第二周分别获利多少元？

（2）若第二周单价降低x元销售一周后，商店对剩余商品清仓处理，以每个15元的价格全部售出，如果这批商品计划获利9500元，问第二周每个商品的单价应降低多少元？

8．（2014•江西模拟）等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．

（1）求出S关于t的函数关系式；

（2）当点P运动几秒时，S△PCQ=S△ABC？

（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？

证明你的结论．

9.（2015春•汕头校级期中）如图，长方形ABCD（长方形的对边相等，每个角都是90°），AB=6cm，AD=2cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向终点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问：

（1）当t=1秒时，四边形BCQP面积是多少？

（2）当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？

（3）当t=以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形．（直接写出答案）

典例探究答案：

【例1】【解析】设这个两位数字的个位数字是x，则十位数字是（x﹣3），则这个两位数为[10（x﹣3）+x]，然后根据一个两位数等于它的个位数字的平方即可列出方程求解．

解：

设这个两位数字的个位数字是x，则十位数字是（x﹣3），

根据题意得10（x﹣3）+x=x2

原方程可化为：

x2﹣11x+30=0，

∴x1=5，x2=6，

当x=5时，x﹣3=2，两位数为25；

当x=6时，x﹣3=3，两位数为36.

答：

这个两位数是25或36．

点评：

此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

练1．【解析】设这个两位数字的个位数字为x，则十位数字为（x-2），则这个两位数为10（x-2）+x，然后根据这个两位数等于其数字之积的3倍列方程，并解方程即可.

解：

设这个两位数字的个位数字为x，则十位数字为（x-2）.

根据题意，得10（x-2）+x=3x（x-2），

原方程可化为：

3x2-17x+20=0,

因式分解，得（3x-5）（x-4）=0，

解得x1=

，x2=4.

因为x为整数，所以x=

不符合题意，x=4.

10（x-2）+x=24，所以这个两位数是24.

点评：

本题考查了一元二次方程的应用中的数字问题.注意：

在求得解后，要进行实际意义的检验，舍去不符合题意的解.

练2．【解析】按照相应的运算方法与顺序，让得到的含m的一元二次方程的结果为2，列式求值即可．

解：

由题意得：

m2+（﹣2m）﹣1=2，

m2﹣2m﹣3=0，

（m﹣3）（m+1）=0，

解得m1=3，m2=﹣1．

故选：

D．

点评：

考查一元二次方程的应用；理解新定义的运算方法是解决本题的关键．

【例2】【解析】设降价x元，表示出售价和销售量，列出方程求解即可．

解：

降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，

根据题意，得（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080，

解得x1=1，x2=4，

又顾客得实惠，故取x=4，定价为：

60-4=56（元），

答：

应将销售单价定为56元．

点评：

本题考查了一元二次方程应用，从题中找到关键描述语，并找出等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．

练3．【解析】

（1）销售量=原来销售量﹣下降销售量，据此列式即可；

（2）根据销售量×每斤利润=总利润列出方程求解即可．

解：

（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+

×20=100+200x斤；

（2）根据题意得：

（4﹣2﹣x）（100+200x）=300，

解得：

x=

或x=1，

∵每天至少售出260斤，

∴x=1．

答：

张阿姨需将每斤的售价降低1元．

点评：

本题考查理解题意的能力，第一问关键求出每千克的利润，求出总销售量，从而利润．第二问，根据售价和销售量的关系，以利润做为等量关系列方程求解．

【例3】【解析】

（1）设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2．先用含x的代数式分别表示BP和BQ的长度，再代入三角形面积公式，列出方程，即可求出时间；

（2）设经过y秒，△PBQ的面积等于10cm2．根据三角形的面积公式，列出关于y的一元二次方程，根据△=b2﹣4ac进行判断．

解：

（1）设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2．

∵AP=1•x=x，BQ=2x，

∴BP=AB﹣AP=6﹣x，

∴S△PBQ=

×BP×BQ=

×（6﹣x）×2x=8，

∴x2﹣6x+8=0，

解得：

x=2或4，

即经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2.

（2）设经过y秒，△PBQ的面积等于10cm2，

则S△PBQ=

×（6﹣y）×2y=10，

即y2﹣6y+10=0，

因为△=b2﹣4ac=36﹣4×10=﹣4＜0，

所以△PBQ的面积不会等于10cm2．

点评：

本题考查了一元二次方程的应用．关键是用含时间的代数式准确表示BP和BQ的长度，再根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解并作出判断．

练4．【解析】

（1）设点B将向外移动x米，即BB1=x，B1C=x+0.7，根据勾股定理求出A1C=AC﹣AA1=

﹣0.4=2．在Rt△A1B1C中，由勾股定理得到B1C2+A1C2=A1B12，依此列出方程方程（x+0.7）2+22=2.52，解方程即可；

（2）设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，根据勾股定理可得（x+0.7）2+（2.4﹣x）2=2.52，再解即可．

解：

（1）设点B将向外移动x米，即BB1=x，

则B1C=x+0.7，A1C=AC﹣AA1=

﹣0.4=2．

而A1B1=2.5，在Rt△A1B1C中，由B1C2+A1C2=A1B12得方程（x+0.7）2+22=2.52，

解方程得x1=0.8，x2=﹣2.2（不合题意舍去），∴点B将向外移动0.8m．

故答案为（x+0.7）2+22=2.52，0.8，﹣2.2（不合题意舍去），0.8；

（2）有可能．

设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，

则有（x+0.7）2+（2.4﹣x）2=2.52，

解得：

x1=1.7或x2=0（不合题意舍去）．

故当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，即梯子顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等．

点评：

本题主要考查了一元二次方程的应用及勾股定理的应用，根据题意得出关于x的一元二次方程是解答此题的关键．

课后小测答案：

一、选择题

1．【解析】设其中一个数是x，另一个数是（x+4），依题意列出方程．

解：

设其中一个数是x，另一个数是（x+4），则

x（x+4）=45，

整理，得

（x+2）2=49，

x+2=±7，

解得x1=5，x2=﹣9．

则x+4=9或x+4=﹣5．

故这两个数是5、9或﹣9、﹣5．

故选：

D．

点评：

本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

2．【解析】设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．那么每千克的利润为：

（3﹣2﹣x），由于这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克．所以降价x元，则每天售出数量为：

200+

千克．本题的等量关系为：

每千克的利润×每天售出数量﹣固定成本=200．

解：

设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．

根据题意，得（3﹣2﹣x）（200+

）﹣24=200．

解这个方程，得x1=0.2，x2=0.3．

∵200+

＞200+

，

∴应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元．

故选：

C．

点评：

本题考查了一元二次方程的应用，通过生活实际较好地考查学生“用数学”的意识．注意题目的要求为了减少库存，舍去不合题意的结果．

3.【解析】看后面每个图形中正方形的个数是在3的基础上增加几个4即可．

解：

第1个黑色“

”形由3个正方形组成，

第2个黑色“

”形由3+4=7个正方形组成，

第3个黑色“

”形由3+2×4=11个正方形组成，

…，

那么组成第n个黑色“

”形的正方形个数是3+（n﹣1）×4=4n﹣1．

故组成第12个“

”的正方形个数是：

4×12﹣1=47．

故选：

D．

点评：

考查图形的变化规律；得到第n个图形与第1个图形中正方形个数之间的关系是解决本题的关键．

二、填空题

4．【解析】设这两个连续偶数为x、x+2，根据“两个连续偶数的积是224”作为相等关系列方程x（x+2）=224，解方程即可求得这两个数，再求它们的和即可．

解：

设这两个连续偶数为x、x+2，则x（x+2）=224

解之得x=14或x=﹣16

则x+2=16或x+2=﹣14

即这两个数为14，16或﹣14，﹣16

所以这两个数的和是30或﹣30．

点评：

找到关键描述语，用代数式表示两个连续的偶数，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．

5．【解析】根据等量关系为：

每件商品的盈利×可卖出商品的件数=2100，把相关数值代入计算得到合适的解即可．

解：

∵降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50﹣x，

由题意得：

（50﹣x）（30+2x）=2100，

化简得：

x2﹣35x+300=0，

解得：

x1=15，x2=20，

∵该商场为了尽快减少库存，

∴降的越多，越吸引顾客，

∴选x=20，

故答案为：

20．

点评：

此题主要考查了一元二次方程的应用；得到可卖出商品数量是解决本题的易错点；得到总盈利2100的等量关系是解决本题的关键．

三、解答题

6．【解析】首先设矩形的长为xcm，则宽为（20﹣x）cm，再利用矩形面积公式列出方程x（20﹣x）=96或x（20﹣x）=102，得出根据根的判别式的符号，进而得出答案．

解：

设所围矩形的长为xcm，则所围矩形的宽为（20﹣x）cm，

（1）依题意，得x（20﹣x）=96，

化简，得x2﹣20x+96=0．

解，得x1=8，x2=12．

当x=8时，20﹣x=12；

当x=12时，20﹣x=8．

所以，当所围矩形的长为12cm，宽为8cm时，它的面积为96cm2．

（2）依题意，得x（20﹣x）=102

化简，得x2﹣20x+102=0．

∵△=b2﹣4ac=（﹣20）2﹣4×102=400﹣408=﹣8＜0，

∴方程无实数根．

所以用一条长40cm的绳子不能围成一个面积为102cm2的矩形．

点评：

此题主要考查了一元二次方程的应用，熟练应用根的判别式是解题关键．

7．【解析】

（1）根据利润=每个的利润×销售量列式计算即可求解；

（2）设第二周每个商品的单价应降低x元，根据这批商品计划获利9500元建立方程，解方程即可．

解：

（1）第一周获利：

300×（35﹣20）=4500（元）；

第二周获利：

（300+50）×（35﹣1﹣20）=4900（元）；

（2）根据题意，得：

4500+（15﹣x）（300+50x）﹣5（900﹣300﹣300﹣50x）=9500，

即：

x2﹣14x+40=0，

解得：

x1=4，x2=10（不符合题意，舍去）．

答：

第二周每个商品的销售价格应降价4元．

点评：

本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

8．【解析】由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/s，S=

QC×PB，所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系，另外应注意P点的运动轨迹，它不仅在B点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答．

解：

（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ=t，PB=10﹣t

∴

当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ=t，PB=t﹣10

∴

（4分）

（2）∵S△ABC=

（5分）

∴当t＜10秒时，S△PCQ=

整理得t2﹣10t+100=0无解（6分）

当t＞10秒时，S△PCQ=

整理得t2﹣10t﹣100=0解得t=5±5

（舍去负值）（7分）

∴当点P运动

秒时，S△PCQ=S△ABC（8分）

（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．

证明：

过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M

易证△APE≌△QCM，

∴AE=PE=CM=QM=

t，

∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．

又∵EM=AC=10

∴DE=5

∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．

同理，当点P在点B右侧时，DE=5

综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．

点评：

做此类题应首先找出未知量与已知量的对应关系，利用已知量来表示未知量，许多问题就会迎刃而解．

9.【解析】

（1）如图1，当t=1时，就可以得出CQ=1cm，AP=2cm，就有PB=6﹣2=4cm，由梯形的面积就可以得出四边形BCQP的面积；

（2）如图1，作QE⊥AB于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如图2，作PE⊥CD于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可；

（3）分情况讨论，如图3，当PQ=DQ时，如图4，当PD=PQ时，如图5，当PD=QD时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论．

解：

（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD=6，AD=BC=2，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．

∵CQ=1cm，AP=2cm，

∴AB=6﹣2=4cm．

∴S=

=5cm2．

答：

四边形BCQP面积是5cm2；

（2）如图1，作QE⊥AB于E，

∴∠PEQ=90°，

∵∠B=∠C=90°，

∴四边形BCQE是矩形，

∴QE=BC=2cm，BE=CQ=t．

∵AP=2t，

∴PE=6﹣2t﹣t=6﹣3t．

在Rt△PQE中，由勾股定理，得

（6﹣3t）2+4=9，

解得：

t=

．

如图2，作PE⊥CD于E，

∴∠PEQ=90°．

∵∠B=∠C=90°，

∴四边形BCQE是矩形，

∴PE=BC=2cm，BP=CE=6﹣2t．

∵CQ=t，

∴QE=t﹣（6﹣2t）=3t﹣6

在Rt△PEQ中，由勾股定理，得

（3t﹣6）2+4=9，

解得：

t=

．

综上所述：

t=

或

；

（3）如图3，当PQ=DQ时，作QE⊥AB于E，

∴∠PEQ=90°，

∵∠B=∠C=90°，

∴四边形BCQE是矩形，

∴QE=BC=2cm，BE=CQ=t．

∵AP=2t，

∴PE=6﹣2t﹣t=6﹣3t．DQ=6﹣t．

∵PQ=DQ，

∴PQ=6﹣t．

在Rt△PQE中，由勾股定理，得

（6﹣3t）2+4=（6﹣t）2，

解得：

t=

．

如图4，当PD=PQ时，

作PE⊥DQ于E，

∴DE=QE=

DQ，∠PED=90°．

∵∠B=∠C=90°，

∴四边形BCQE是矩形，

∴PE=BC=2cm．

∵DQ=6﹣t，

∴DE=

．

∴2t=

，

解得：

t=

；

如图5，当PD=QD时，

∵AP=2t，CQ=t，

∴DQ=6﹣t，

∴PD=6﹣t．

在Rt△APD中，由勾股定理，得

4+4t2=（6﹣t）2，

解得t1=

，t2=

（舍去）．

综上所述：

t=

，

，

，

．

故答案为：

，

，

，

．

点评：

本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，梯形的面积公式的运用，一元二次方程的解法的运用．解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键．