江西南昌一中南昌十中高三第一次联考数学文word解析版.docx
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江西南昌一中南昌十中高三第一次联考数学文word解析版
江西省南昌一中、南昌十中2013届高三第一次联考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)(2013•珠海二模)已知集合A={x|x2>1},B={x|log2x>0},则A∩B=( )
A.{x|x<﹣1}B.{x|>0}C.{x|x>1}D.{x|x<﹣1或x>1}
考点:
交集及其运算.
专题:
不等式的解法及应用.
分析:
化简A、B两个集合,利用两个集合的交集的定义求出A∩B.
解答:
解:
集合A={x|x2>1}={x|x>1或x<﹣1},B={x|log2x>0=log21}={x|x>1},
A∩B={x|x>1},
故选C.
点评:
本题考查集合的表示方法,两个集合的交集的定义和求法,化简A、B两个集合是解题的关键.
2.(5分)设函数f(x)=(2a﹣1)x+b是R上的减函数,则有( )
A.
B.
C.
D.
考点:
一次函数的性质与图象;函数单调性的性质.
专题:
计算题.
分析:
根据一次函数的单调性由x的系数可得2a﹣1<0,解可得答案.
解答:
解:
∵函数f(x)=(2a﹣1)x+b是R上的减函数,
则2a﹣1<0
∴a<
故选B.
点评:
本题主要考查一次函数的单调性.
3.(5分)下列各组函数是同一函数的是( )
①
与
;
②f(x)=x与
;
③f(x)=x0与
;
④f(x)=x2﹣2x﹣1与g(t)=t2﹣2t﹣1.
A.①②B.①③C.③④D.①④
考点:
判断两个函数是否为同一函数.
专题:
函数的性质及应用.
分析:
确定函数的三要素是:
定义域、对应法则和值域,据此可判断出答案.
解答:
解:
①f(x)=
=
与y=
的对应法则和值域不同,故不是同一函数.
②
=|x|与f(x)=x的对应法则和值域不同,故不是同一函数.
③f(x)=x0与
都可化为y=1且定义域是{x|x≠0},故是同一函数.
④f(x)=x2﹣2x﹣1与g(t)=t2﹣2t﹣1的定义域都是R,对应法则也相同,而与用什么字母表示无关,故是同一函数.
由上可知是同一函数的是③④.
故选C.
点评:
本题考查了函数的定义,明确三要素是判断两个函数是否是同一函数的依据.
4.(5分)条件p:
|x|=x,条件q:
x2≥﹣x,则p是q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
考点:
必要条件、充分条件与充要条件的判断.
专题:
计算题.
分析:
通过解方程化简条件p:
为x≥0,通过解不等式化简条件q:
为x≥0或x≤﹣1,判断出{x|x≥0}⊊{x|x≥0或x≤﹣1},根据小范围成立大范围一定成立,利用充要条件的有关定义得到结论.
解答:
解:
条件p:
|x|=x,即为x≥0
条件q:
x2≥﹣x,即为x≥0或x≤﹣1,
因为{x|x≥0}⊊{x|x≥0或x≤﹣1},
所以p是q充分不必要条件.
故选A.
点评:
本题考查判断一个条件是另一个条件的什么条件,应该先化简两个条件,若两个都是数集,常转化为集合间的包含关系,属于基础题.
5.(5分)f(x)是定义在R上的奇函数,下列结论中,不正确的是( )
A.f(﹣x)+f(x)=0B.f(﹣x)﹣f(x)=﹣2f(x)C.f(x)•f(﹣x)≤0D.
考点:
函数奇偶性的性质.
专题:
常规题型.
分析:
由函数为奇函数,可得到f(﹣x)=﹣f(x)且f(0)=0,通过加减乘除来变形,可得到结论.
解答:
解:
∵f(x)是定义在R上的奇函数
∴f(﹣x)=﹣f(x)且f(0)=0
可变形为:
f(﹣x)+f(x)=0
f(﹣x)﹣f(x)=﹣2f(x)
f(x)•f(﹣x)≤0
而由f(0)=0
由知D不正确.
故选D
点评:
本题主要考查函数奇偶性模型的各种变形,数学建模,用模,解模的意识要加强,每一个概念,定理,公式都要从模型的意识入手.
6.(5分)如果函数f(x)=x2+2(a﹣1)x+2在(﹣∞,4]上是减函数,那么实数a取值范围是( )
A.a≤﹣3B.a≥﹣3C.a≤5D.a≥5
考点:
二次函数的性质.
专题:
计算题.
分析:
先用配方法将二次函数变形,求出其对称轴,再由“在(﹣∞,4]上是减函数”,知对称轴必须在区间的右侧,求解即可得到结果.
解答:
解:
∵f(x)=x2+2(a﹣1)x+2=(x+a﹣1)2+2﹣(a﹣1)2
其对称轴为:
x=1﹣a
∵函数f(x)=x2+2(a﹣1)x+2在(﹣∞,4]上是减函数
∴1﹣a≥4
∴a≤﹣3
故选A
点评:
本题主要考查二次函数的单调性,解题时要先明确二次函数的对称轴和开口方向,这是研究二次函数单调性和最值的关键.
7.(5分)(2012•德州一模)若
则( )
A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a
考点:
根式与分数指数幂的互化及其化简运算;不等关系与不等式.
专题:
计算题.
分析:
求出a,b,c的取值或取值范围,即可比较它们的大小.
解答:
解:
因为
,
又
,
所以a<c<b.
故选B.
点评:
本题考查对数值的求法,指数的数值的运算,考查不等关系与不等式的应用.
8.(5分)已知a>b,函数f(x)=(x﹣a)(x﹣b)的图象如图所示,则函数g(x)=loga(x+b)的图象可能为
( )
A.
B.
C.
D.
考点:
对数函数的图像与性质;二次函数的图象.
专题:
计算题.
分析:
由a>b,函数f(x)=(x﹣a)(x﹣b)的图象可知,a>1>b>0.于是g(x)=loga(x+b)的图象是单调递增的,g
(1)>0,从而可得答案.
解答:
解:
由f(x)=(x﹣a)(x﹣b)的图象与a>b得:
a>1>b>0.
∴g(x)=loga(x+b)的图象是单调递增的,可排除A,D,
又g
(1)=loga(1+b)>loga1=0,可排除C,
故选B.
点评:
本题考查对数函数的图象与性质,由由a>b与函数f(x)=(x﹣a)(x﹣b)的图象得到a>1>b>0是关键,属于基础题.
9.(5分)设
,则使得f(x)=xn为奇函数,且在区间(0,+∞)上单调递减的n的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
考点:
奇函数.
专题:
计算题.
分析:
根据幂函数的指数大于0,则在区间(0,+∞)上单调递增,可排除n=
,1,2,3的可能,然后判定当n=﹣1时,f(x)=
是否满足条件即可.
解答:
解:
f(x)=xn,当n>0时函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,故
,1,2,3都不符合题意
当n=﹣1时,f(x)=
,定义域为{x|x≠0},f(﹣x)=﹣
=﹣f(x),在区间(0,+∞)上单调递减,故正确
故选A.
点评:
本题主要考查了幂函数的性质,同时考查了函数奇偶性的判定,属于基础题.
10.(5分)函数y=f(x)是R上的奇函数,满足f(3+x)=f(3﹣x),当x∈(0,3)时f(x)=2x,则当x∈(﹣6,﹣3)时,f(x)=( )
A.2x+6B.﹣2x+6C.2x﹣6D.﹣2x﹣6
考点:
函数解析式的求解及常用方法;奇函数;函数的周期性.
专题:
计算题.
分析:
由已知中定义在R上的函数y=f(x)是奇函数,且满足f(3+x)=f(3﹣x),我们可以求出函数的对称轴和对称中心,根据函数对称性与周期性之间的关系,我们易求出函数的周期,进而结合当x∈(0,3)时f(x)=2x,即可求出当x∈(﹣6,﹣3)时,f(x)的解析式.
解答:
解:
∵f(3+x)=f(3﹣x),
故直线x=3是函数y=f(x)的一条对称轴
又由函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,
故原点(0,0)是函数y=f(x)的一个对称中心
则T=12是函数y=f(x)的一个周期
设x∈(﹣6,﹣3)则x+6∈(0,3)时f(x+6)=2x+6=f(﹣x)=﹣f(x)
即f(x)=﹣2x+6
故选B
点评:
本题考查的知识点是函数的奇偶性的性质,函数的对称性,函数的同期性,其中根据直线x=a是函数图象的对称轴,(b,0)是函数图象的对称中心,则T=4|a﹣b|是函数的周期是解答本题的关系.
二、填空题:
本大题共5小题;每小题5分,共25分,把答案填在答题纸的相应横线上.
11.(5分)设
,若f(x)=3,则x=
.
考点:
函数的值.
分析:
根据已知中分段函数的解析式
,我们分x≤﹣1时、﹣1<x<2时、x≥2时三种情况,分别构造方程,解出满足条件的x值,即可得到答案.
解答:
解:
当x≤﹣1时,即x+2=3,解得x=1(舍去)
当﹣1<x<2时,即x2=3,解得x=
,或x=﹣
(舍去)
当x≥2时,即2x=3,解得x=
(舍去)
故当f(x)=3,则x=
故答案为:
点评:
本题考查的知识点是函数函数的值,分段函数分段处理,分别在若干个x的不同取值范围内,构造满足条件的方程,并结合x的不同取值范围进行求解是解决这类问题的通法.
12.(5分)已知
,函数f(x)=ax,若实数m,n满足f(m)<f(n),则m、n的大小关系是 m>n .
考点:
指数函数的单调性与特殊点.
专题:
计算题.
分析:
由题意可得:
函数f(x)=ax在R上是单调减函数,又f(m)<f(n),可得:
m>n.
解答:
解:
因为
<1,
所以函数f(x)=ax在R上是单调减函数,
因为f(m)<f(n),
所以根据减函数的定义可得:
m>n.
故答案为:
m>n.
点评:
解决此类问题的关键是熟练掌握指数函数的单调性与定义,以及单调函数的定义,此题属于基础题.
13.(5分)已知命题p:
∀x∈[1,2],x2﹣a≥0;命题q:
∃x∈R,x2+2ax+2﹣a=0,若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围为
a≤﹣2或a=1 .
考点:
命题的真假判断与应用.
专题:
计算题.
分析:
根据命题“p且q”是真命题,得到两个命题都是真命题,当两个命题都是真命题时,第一个命题是一个恒成立问题,分离参数,根据x的范围,做出a的范围,第二个命题是一元二次方程有解问题,利用判别式得到结果.
解答:
解:
∵“p且q”是真命题,
∴命题p、q均为真命题,
由于∀x∈[1,2],x2﹣a≥0,
∴a≤1;
又因为∃x∈R,x2+2ax+2﹣a=0,
∴△=4a2+4a﹣8≥0,
即(a﹣1)(a+2)≥0,
∴a≤﹣2或a≥1,
综上可知,a≤﹣2或a=1.
故答案为:
a≤﹣2或a=1
点评:
本题考查命题真假的判断与应用,是一个综合题,这种题目一般是以解答题目出现,是一个不错的题目,但解起来容易出错.
14.(5分)函数y=
的单调递减区间是 (1,3] .
考点:
对数函数的单调区间.
专题:
计算题.
分析:
由﹣x2+6x﹣5>0,先求函数的定义域(1,5)由复合函数的单调性可知只需求出t(x)=﹣x2+6x﹣5的单调递增区间,最后于定义域取交集可得答案.
解答:
解:
由﹣x2+6x﹣5>0解得,1<x<5,即函数的定义域为(1,5)
函数y=
可看作y=
,和t(x)=﹣x2+6x﹣5的复合.
由复合函数的单调性可知只需求t(x)的单调递增区间即可,
而函数t(x)是一个开口向下的抛物线,对称轴为x=
,
故函数t(x)在(﹣∞,3]上单调递增,由因为函数的定义域为(1,5),
故函数y=
的单调递减区间是(1,3].
故答案为(1,3].
点评:
本题为复合函数的单调区间的求解,利用复合函数的单调性的法则,注意定义域优先的原则,属基础题.
15.(5分)(2012•菏泽一模)已知定义在R上的偶函数满足:
f(x+4)=f(x)+f
(2),且当x∈[0,2]时,y=f(x)单调递减,给出以下四个命题:
①f
(2)=0;
②x=﹣4为函数y=f(x)图象的一条对称轴;
③函数y=f(x)在[8,10]单调递增;
④若方程f(x)=m在[﹣6,﹣2]上的两根为x1,x2,则x1+x2=﹣8.
上述命题中所有正确命题的序号为 ①②④ .
考点:
命题的真假判断与应用;函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的性质.
专题:
计算题.
分析:
根据f(x)是定义在R上的偶函数,及在f(x+4)=f(x)+f
(2),中令x=﹣2可得f(﹣2)=f
(2)=0,从而有f(x+4)=f(x),故得函数f(x)是周期为4的周期函数,再结合y=f(x)单调递减、奇偶性画出函数f(x)的简图,最后利用从图中可以得出正确的结论.
解答:
解:
∵f(x)是定义在R上的偶函数,
∴f(﹣x)=f(x),
可得f(﹣2)=f
(2),
在f(x+4)=f(x)+f
(2),中令x=﹣2得
f
(2)=f(﹣2)+f
(2),
∴f(﹣2)=f
(2)=0,
∴f(x+4)=f(x),∴函数f(x)是周期为4的周期函数,又当x∈[0,2]时,y=f(x)单调递减,结合函数的奇偶性画出函数f(x)的简图,如图所示.
从图中可以得出:
②x=﹣4为函数y=f(x)图象的一条对称轴;
③函数y=f(x)在[8,10]单调递减;
④若方程f(x)=m在[﹣6,﹣2]上的两根为x1,x2,则x1+x2=﹣8.
故答案为:
①②④.
点评:
本题考查函数奇偶性的性质,函数奇偶性的判断,考查学生的综合分析与转化能力,属于难题.
三、解答题:
本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.
16.(12分)已知集合A={x|x2﹣2x﹣3<0},B={x|(x﹣m+1)(x﹣m﹣1)≥0},
(1)当m=0时,求A∩B
(2)若p:
x2﹣2x﹣3<0,q:
(x﹣m+1)(x﹣m﹣1)≥0,且q是p的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
考点:
必要条件、充分条件与充要条件的判断;一元二次不等式的解法.
专题:
常规题型;转化思想.
分析:
(1)分别求出A,B,再根据集合的交集运算,求出A与B的交集即可;
(2)由于q是p的必要不充分条件,再由判断充要条件的方法,我们可知A
B,再根据集合关系求出m的范围即可.
解答:
解:
(1)∵A={x|x2﹣2x﹣3<0}={x|﹣1<x<3},…(2分)
B={x|(x+1)(x﹣1)≥0}={x|x≥1或x≤﹣1}.…(4分)
∴A∩B={x|1≤x<3}.…(6分)
(2)由于命题p为:
(﹣1,3),…(7分)
而命题q为:
(﹣∞,m﹣1]∪[m+1,+∞),…(9分)
又q是p的必要不充分条件,即p⇒q,…(10分)
所以m+1≤﹣1或m﹣1≥3,解得m≥4或m≤﹣2
即实数m的取值范围为:
(﹣∞,﹣2]∪[4,+∞).…(12分)
点评:
本题考查充分条件、必要条件及充要条件的判断,同时考查了一元二次不等式的解法,集合的运算.
由判断充要条件的方法,我们可知命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件,则A
B.
17.(12分)已知f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f
(2)=1.
(1)求f(8)的值;
(2)求不等式f(x)>3+f(x﹣2)的解集.
考点:
抽象函数及其应用;函数单调性的性质.
专题:
计算题;函数的性质及应用.
分析:
(1)令x=y=2,可求得f(4),继而可求得f(8)的值;
(2)由
(1)f(8)=3,可求得f(x)>3+f(x﹣2)⇔f(x)>f(8x﹣16),利用f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数即可求得答案.
解答:
解:
(1)由题意得f(8)=f(4×2)
=f(4)+f
(2)
=f(2×2)+f
(2)
=f
(2)+f
(2)+f
(2)
=3f
(2),
又∵f
(2)=1,
∴f(8)=3…(6分)
(2)不等式化为f(x)>f(x﹣2)+3
∵f(8)=3,
∴f(x)>f(x﹣2)+f(8)=f(8x﹣16)…(8分)
∵f(x)是(0,+∞)上的增函数
∴解得2<x<
.
∴不等式f(x)>3+f(x﹣2)的解集为{x|2<x<
}…(12分)
点评:
本题考查抽象函数及其应用,考查赋值法与函数单调性的性质,求得f(8)=3是关键,属于中档题.
18.(12分)(2003•北京)某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.
(Ⅰ)当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车?
(Ⅱ)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?
最大月收益是多少?
考点:
根据实际问题选择函数类型;函数的最值及其几何意义.
专题:
应用题;压轴题.
分析:
(Ⅰ)严格按照题中月租金的变化对能租出车辆数的影响列式解答即可;
(Ⅱ)从月租金与月收益之间的关系列出目标函数,再利用二次函数求最值的知识,要注意函数定义域优先的原则.作为应用题要注意下好结论.
解答:
解:
(Ⅰ)当每辆车的月租金定为3600元时,
未租出的车辆数为
,
所以这时租出了88辆车.
(Ⅱ)设每辆车的月租金定为x元,
则租赁公司的月收益为
,
整理得
.
所以,当x=4050时,f(x)最大,最大值为f(4050)=307050,
即当每辆车的月租金定为4050元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益为307050元.
点评:
本题以实际背景为出发点,既考查了信息的直接应用,又考查了目标函数法求最值.特别是二次函数的知识得到了充分的考查.在应用问题解答中属于非常常规且非常有代表性的一类问题,非常值得研究.
19.(12分)已知二次函数f(x)的二次项系数为a,满足不等式f(x)>﹣2x的解集为(1,3),且方程f(x)+6a=0有两个相等实根,求f(x)的解析式.
考点:
函数解析式的求解及常用方法;函数与方程的综合运用.
分析:
依据不等式f(x)>﹣2x的解集为(1,3),可设函数f(x)﹣2x的解析式为(x)+2x=a(x﹣1)(x﹣3),得出f(x)的解析式.再利用f(x)+6a=0有两个相等的实数根,通过△=0求出a的值最后代入f(x)即可得出答案.
解答:
解:
∵f(x)与f(x)+2x的二次项系数相等,
∴f(x)+2x的二次项系数为a.
又∵f(x)+2x>0的解集为(1,3),
∴设f(x)+2x=a(x﹣1)(x﹣3)(a<0),
∴f(x)=a(x2﹣4x+3)﹣2x=ax2﹣(4a+2)x+3a.
∵方程f(x)+6a=0有两个相等实根
∴ax2﹣(4a+2)x+9a=0有两个相等实根.
∴[﹣(4a+2)]2﹣36a2=0,解得a=1(舍去),
∴
点评:
本题主要考查用待定系数法求函数解析式的问题.属基础题.
20.(13分)集合A是由适合以下性质的函数组成:
对于任意x≥0,f(x)∈[﹣2,4],且f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(1)试判断
及
是否在集合A中,并说明理由;
(2)若定义:
对定义域中的任意一个x都有不等式f(x)+f(x+2)<2f(x+1)恒成立,则称这个函数为凸函数.对于
(1)中你认为在集合A中的函数f(x)是凸函数吗?
试证明你的结论.
考点:
函数恒成立问题;奇函数;偶函数.
专题:
函数的性质及应用.
分析:
(1)依据集合A的定义逐一判断即可.
(2)验证
(1)中属于集合A的函数是否满足凸函数的定义即可.
解答:
解:
(1)当x=49时,
,所以f1(x)∉A;
当x≥0时,
,4﹣6
∈[﹣2,4),所以f2(x)∈[﹣2,4],
又当x>0时,
单调递减,∴
单调递增,
故f2(x)∈A.
(2)因为f2(x)+f2(x+2)﹣2f2(x+1)=[4﹣6
]+[4﹣6
]﹣2[4﹣6
]
=12
﹣6
﹣6
=
,所以,f2(x)+f2(x+2)<2f2(x+1).
即f2(x)对任意x都有不等式f2(x)+f2(x+2)<2f2(x+1)成立.
故f2(x)是凸函数.
点评:
本题考查了函数恒成立问题,利用所学知识解决新问题的能力.
21.(14分)已知函数
是奇函数,f(x)=lg(10x+1)+mx是偶函数.
(1)求m+n的值;
(2)设
,若g(x)>h[lg(2a+1)]对任意x≥1恒成立,求实数a的取值范围.
考点:
函数奇偶性的性质;其他不等式的解法.
专题:
计算题;转化思想.
分析:
(1)函数g(x)是奇函数,且在x=0处有意义,得g(0)=0,解得m,f(x)是偶函数利用f(﹣x)=f(x)解得n,从而得m+n的值.
(2)g(x)>h[lg(2a+1)]对任意x≥1恒成立即lg(2a+2)小于2x﹣2﹣x的最小值,利用单调性的定义探讨该函数的单调性即可的其最小值,将恒成立问题转化为函数的最值问题,解不等式组即可的a的范围.
解答:
解:
(1)∵g(x)为奇函数,且定义域为R∴g(0)=
=0,解得n=1
∵f(x)=lg(10x+1)+mx是偶函数.
∴f(﹣x)=lg(10﹣x+1)﹣mx=
﹣mx=lg(10x+1)﹣x﹣mx=lg(10x+1)﹣(m+1)x
=f(x)=lg(10x+1)+mx∴m=﹣(m+1),∴m=﹣
∴m+n=
(2)∵
=lg(10x+1)
∴h[lg(2a+1)]=lg[10lg(2a+1)+1]=lg(2a+2)
∵
=2x﹣2﹣x
∴g(x)>h[lg(2a+1)]对任意x≥1恒成立即lg(2a+2)<2x﹣2﹣x对任意x≥1恒成立
取x1>x2≥1,则g(x1)﹣g(x2)=(
)
>0
即当x≥1时,g(x)是增函数,∴g(x)min=f
(1)=
由题意得2a+2<
,2a+1>0,2a+2>0,
解得﹣
<a<5
﹣1
即a的取值范围是{a|﹣
<a<5
﹣1}
点评:
本题考查了函数奇偶性的性质,单调性的判断和证明,在探讨不等式恒成立时注意条件的转化,考虑定义域.是中档题.
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