第7章控制系统数字仿真理论.docx

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第7章控制系统数字仿真理论

第7章控制系统数字仿真理论

7.1引言

仿真主要采用相似性原理。

因实际系统是连续的，而计算机系统是离散的（尽管计算机的主频目前可达1GHz以上，但仍然是断续的），故用计算机进行仿真有两种关键技术：

1）建立实际系统的数学模型。

2）实际系统的离散方法。

系统的离散化方法主要分为两大类，即数值积分方法和直接离散化方法。

常用数值积分方法按递推时所需数据步数分为单步法、多步法和预估校正法。

（1）数字仿真的特点

连续系统的数学模型一般是微分方程或偏微分方程，因此数字仿真中的主要数值计算工作是微分方程（或偏微分方程）数值解的问题。

数字仿真的整个过程是由事先编好的仿真程序来控制。

在大系统实时或超实时仿真中，仿真速度成为一个十分突出的问题。

（2）系统仿真技术新动向

一个实际的系统可分为连续系统、离散系统、混合系统和定性系统（模糊理论）。

而仿真根据其采用的对象可分为计算机仿真、半实物仿真、比例模型仿真和人在回路中仿真。

根据信号的类别可分为数字仿真、模拟仿真、混合仿真。

根据仿真时间可分为实时仿真、超实时仿真（n:

1）和欠实时仿真（1:

n）。

根据应用情况可分为工程系统仿真和非工程系统仿真。

还可根据分布情况分为集中式和分布式仿真。

系统仿真技术的新动向是：

采用分布式、开放式、交互式构架体系，面向对象、网络和数据库的标准化的应用多媒体和虚拟现实技术进行系统仿真。

其发展目标是构成可操作性、可移植性、交互性强，开放式的仿真体系构架。

（3）仿真的可信度

仿真的可信度取决于模型的准确性、环境模拟的准确性和干扰处理等3个因素。

（4）虚拟现实（virtualreality或灵境，缩写为VR）

1989年，美国计算机科学家JaronLanier赋VR以现在的含义。

虚拟现实综合运用了计算机图形学、仿真技术、人机接口技术、多媒体技术、传感器技术等，能感知方向、听觉、视觉、触觉、嗅觉、味觉，使人有身临其境的感觉。

传感器主要有：

头盔显示器、数据手套、触觉与力度传感器；跟踪球；空间探针等。

1）VR的4个重要特征：

multi-sensory多传感器；immersion（presence）临场感；interaction交互；autonomy自主性。

2）VR的5个研究内容及关键技术：

动态环境建模技术；实时3D图形生成技术，最好30帧/s以上；立体显示和传感器技术；VR环境的开发平台（VRT，WTK）；系统集成技术，包括信息同步技术、模型标定技术等。

7.2仿真理论

要在数字计算机上进行连续系统的仿真，必须先将连续模型变换为离散化的模型，然后迭代递推出要仿真的变量结果。

系统的离散化方法主要分为两大类，即数值积分方法和直接离散化方法。

7.2.1数值积分法

常用的数值积分方法按递推时所需数据步数分为单步法、多步法和预估-校正方法3种。

（1）单步法

属于单步法的主要有欧拉（Euler）法和龙格-库塔（Runge-Kutta）法。

其中欧拉法最简单，但由于它有明显的几何意义，可以比较清楚地看出其数值解是如何逼近微分方程精确解的。

1）欧拉法

设有一微分方程

，且（7-2-1）

若把式（7-2-1）在某一区间（）上积分，则可得

上式右端积分若以一近似公式代之，即

其中，，即步长。

令,只要h取值比较小，就可以认为：

在该步长内的导数近似保持前一时刻时的导数值。

这样用欧拉法离散式（7-2-1）后的递推公式为

（7-2-2）

因已知,所以由式（7-2-2）可以求出,然后求出，以此类推。

其一般规律即是：

由前一点上的数值就可以求得后一点上的数值。

这种方法称为单步法。

由于它可以直接由微分方程已知的初始值作为它递推计算时的初值，而不需其他信息，因此它是一种自启动的算式。

下面用一简单例子说明欧拉法的应用及其数值解与精确解的误差。

【例7.2.1】设一微分方程为=0,y（0）=1,试用欧拉法求其数值解。

解:

因欧拉法递推公式为，现=，所以。

若取步长h=0.1，由t=0开始积分，则可得

=1+（0.1）（）=0.9

=0.9+（0.1）[]=0.819

=0.819+（0.1）[]=0.752

=0.482

该例的精确解为:

。

以上结果与精确解比较如下：

t00.10.20.31.0

精确解y（t）10.90909090.83333330.76923070.5

数值解10.90.8190.7520.482

由本例已可看出欧拉法的误差是比较大的,其误差的数量级在左右。

欧拉法的几何意义为：

对微分方程求解的几何意义为求微分函数曲线下面的面积，而欧拉离散法是用采样区间的矩形面积代替其实际的曲线下的面积，然后把所有矩形面积相加得到微分方程的近似解。

见图7.2.1所示。

图7.2.1欧拉法几何意义示意图

欧拉法的代数意义为：

微分函数的泰勒级数在处展开并保留到一阶。

欧拉法可由给定的初值一直递推，而不需其他信息，直到递推出满足精度要求的结果为止。

其缺点是精度较低，其误差的数量级在左右。

2）龙格-库塔法

为得到精度较高的数值积分方法，龙格和库塔两人先后提出了用函数值f的线性组合来代替f的高阶导数项，则既可避免计算高阶导数，又可提高数值积分的精度。

其方法如下：

先将精确解y（t）在tn附近用泰勒级数展开成

（7-2-3）

因

所以（7-2-4）

为避免计算fn,等导数项,可以令由以下算式表示：

（7-2-5）

其中r即阶数，是待定系数，。

当r=1时,,即欧拉法。

当r=2时，（7-2-6）

即2阶龙格-库塔法。

将在（）点附近用泰勒级数展开可得

≈+（7-2-7）

将式（7-2-6）和式（7-2-7）代入式（7-2-5）则得

（7-2-8）

式（7-2-4）与式（7-2-8）右端对应项系数相等,则可得到以下关系式：

因上述方程组中有4个未知数,为求解方程组,可先设定一未知数，常用的有以下几种：

设,则；

设,则；

设,则。

相应地，2阶龙格库法有3个常用的递推公式，在实际应用时可取其中任意一个，即

（7-2-9）

2阶龙格-库塔法的几何意义为：

在采样区间内插一个值，然后用插值处的函数值为高的小矩形面积或在插值处分开的2个小矩形的面积代替其实际的曲线下的面积，然后把所有矩形面积相加得到微分方程的近似解，如图7.2.2所示。

图7.2.2龙格库塔法几何意义示意图

2阶龙格-库塔法的代数意义为：

微分函数的泰勒级数在处展开并保留到2阶。

下面给出3阶和4阶龙格-库塔法的递推公式，其中4阶龙格-库塔法由于其精度较高且编程实现容易而使用最为广泛。

3阶：

（7-2-10）

其中：

4阶：

（7-2-11）

其中：

对于大部分实际问题，4阶龙格-库塔法已可满足精度要求，它的截断误差正比于h5。

龙格-库塔法也可由给定的初值一直递推，而不需其他信息，直到递推出满足精度要求的结果为止。

欧拉法和龙格-库塔法在递推时只需要前一步的y和f值，故称单步法。

在控制系统中，根据实际经验，一般选取采样时间步长为

h=1/（5）（7-2-12）

其中：

为系统开环频率特性的剪切频率。

（2）多步法

用多步法求解时，可能需要y及在各时刻的值。

1）亚当斯-巴什福思（Adams-Bashforth）显式公式

其递推计算公式如下：

（7-2-13）

它是由泰勒级数向前展开式推导得到的。

由于可由等确定，因此是显式解。

但是为了求解一个新的y值，需要f的两个值及，因此这一递推式不能从t=0自起步。

一般常用同阶的龙格-库塔法来启动。

2）亚当斯-莫尔顿（Adams-Moulton）隐式公式和梯形积分法

Adams-Moulton隐式公式的递推公式如下：

（7-2-14）

它是由向后展开的泰勒级数公式推导得到的。

由于式中包含，而计算时又要用到，因此，要解出就要用迭代法。

其步骤是先估算一个，计算，而后用上式求得的新估值，重复迭代，直到前后两次值之间的误差在要求范围内为止。

由于进行多次迭代运算，因此解的精度较高，但费时多。

梯形积分法的递推公式为

（7-2-15）

这种方法的几何意义比较清楚，它是以梯形面积来近似原在到之间曲线下的面积。

由于积分公式中需有项，因此与亚当斯隐式公式类似，需用迭代运算方法来求解值。

（3）预估校正法

隐式公式一般精度较高，但因其右端包含未知项，所以需要先用另一显式公式估计一个初值，然后再用隐式公式进行迭代运算（或者说，进行校正），这种方法就称为预估-校正法。

应用此法时需注意：

显式和隐式公式的阶数要一致。

常用的预估-校正法有：

1）采用欧拉法“预估”，梯形法“校正”。

2）用2阶亚当斯显式和隐式公式组成预估-校正法。

7.2.2直接离散化法

直接离散化方法有Z变换法、带有零阶保持器的Z变换法、差分反演法及双线性变换法等。

数值积分方法把微分方程离散化成不同的迭代算式，其缺点是由于迭代算式中的系数每一步都要重新计算，因此一般计算量比较大，但适于非线性系统的离散化。

而直接用离散化模型代替连续系统数学模型的方法，实质上，就是以常系数差分方程近似“等效”原来的常系数微分方程。

由于差分方程可以直接用迭代方法在计算机上求解，因此非常方便。

连续系统离散化的含义是：

假设有一连续系统，其输入为u（t），输出为y（t）。

现若用一周期为h的采样开关将输入、输出分别离散化，要求输出y*（t）在采样时刻的值等于原输出y（t）在同一时刻的值。

（1）Z变换法

Z变换是现代控制理论中所用到的一种变换，它是把脉冲序列的拉氏变换式F*（s）中的换成Z而后得到的F（Z），我们称之为的Z变换。

例如，是函数f（t）经采样后的脉冲序列，即

的拉氏变换为

令=Z，则

k=0,1,2,…（7-2-16）

观察式（7-2-16）可知，在时域内相当于，而在采样时刻则相当于，所以任何一个函数乘以，则在时域内相当于将该函数提前一个采样周期。

例如在时域内相当于或，注意这里的为的简写。

（2）带有零阶保持器的Z变换

在数字采样系统中，为了使系统在非采样周期也能保持稳定，常常在系统的前面增加一个保持器，以便使离散型控制信号转换为连续信号。

零阶保持器是一个按常数关系外延的装置，也就是说，零阶保持器使信号在一周期（h）内保持不变，即使ih时刻的输出值保持到（i+1）h时刻。

其传函为（1esh）/s。

设被控对象为D（s），则

D（Z）＝Z[（

（1）/s）D（s）]（7-2-17）

【例7.2.2】已知D（s）=a/（s+a），求D（s）带零阶保持器的Z变换。

解：

Z[（

（1）/s）D（s）]=

递推公式：

（设）。

（3）差分反演法

设U（s）/E（s）=D（s），用一阶差分近似值来代替所有的导数，用d/dt代替s后再换成差分表达式：

dE/dt≈[E（k）E（k1）]/h；dU/dt≈[U（k）U（k1）]/h

其中：

E（k）,U（k）分别表示其kh时刻的值。

因E（k1）＝E（k），故可以求得s=

（1）/h。

于是，差分反演法变换公式为

（7-2-18）

差分反演变换的特点是：

使用比较容易，且不需要将传递函数进行因式分解；D（s）稳定则D（Z）也稳定。

【例7.2.3】已知传递函数D（s）=U（s）/e（s）=（1+25s）/（1+62.5