轴向拉伸与压缩习题及解答.docx
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轴向拉伸与压缩习题及解答
轴向拉伸与压缩习题及解答
计算题1:
利用截面法,求图2.1所示简支梁m—m面的内力分量。
解:
(1)将外力F分解为两个分量,垂直于梁轴线的分量F,沿梁轴线的分量F.
(2)求支座A的约束反力:
=0,=
=0,L=
=
(3)切开m—m,抛去右半部分,右半部分对左半部分的作用力,合力偶M代替
(图1.12)。
图2.1图2.1(a)
以左半段为研究对象,由平衡条件可以得到
=0,=—=—(负号表示与假设方向相反)
=0,==
左半段所有力对截面m-m德形心C的合力距为零
=0,M==
讨论对平面问题,杆件截面上的内力分量只有三个:
和截面外法线重合的内力称为轴力,矢量与外法线垂直的力偶距称为弯矩。
这些内力分量根据截面法很容易求得。
在材料力学课程中主要讨论平面问题。
计算题2:
试求题2-2图所示的各杆1-1和2-2横截面上的轴力,并作轴力图。
解(a)如图(a)所示,解除约束,代之以约束反力,作受力图,如题2-2图()所示。
利用静力学平衡条件,确定约束反力的大小和方向,并标示在题2-2图()中。
作杆左端面的外法线n,将受力图中各力标以正负号,凡与外法线指向一致的力标以正号,反之标以负号,轴力图是平行于杆轴线的直线。
轴力图在有轴力作用处,要发生突变,突变量等与该处轴力的数值,对于正的外力,轴力图向上突变,对于负的外力,轴力图向下突变,如题2-2图()所示,截面1和截面2上的轴力分别为=和=—。
(b)解题步骤与题2-2(a)相同,杆受力图和轴力图如题2-2()、()所示。
截面1和截面2上的轴力分别为=2,=0。
(c)解题步骤与题2-2(a)相同,杆的受力图和轴力图如题2-2图()和()所示。
截面1上的轴力为=2F,截面2上的轴力为=F。
(d)解题步骤与题2-2(a)相同,杆的受力图和轴力图如题2-2图()和()所示。
截面1上的轴力为=F,截面2上的轴力为=—2F。
计算题3:
试求题2-3图(a)所示阶梯状直杆横截面1-1、2-2和3-3上的轴力并作轴力图。
若横截面积=200、=300、=400,求各截面上的应力。
解:
如题2-3图(a)所示。
首先解除杆的约束,并代之以约束反力,作受力图,如题2-3(b)所示。
利用静力学平衡条件,确定约束反力的大小和方向,并标示在受力图中。
作杆左端面的外法线n,将受力图中的各外力标以正负号:
凡指向与外法线方向相同者,标以正号,反只标以负号,如题2-3图(b)所示。
作轴力图,轴力图是与杆轴平行的直线,在有轴向外力作用处,轴力图要发生突变,突变量等于对应处外力数值,对应于正的外力,轴力图上跳,对应于负的外力,轴力图下跌,上调和下跌量与对应的外力数值相等,如题2-3图(c)所示。
由周力图可知,截面1-1上的轴力=—20kN,截面2-2上的轴力=—10kN,截面3-3上的轴力=10kN。
各截面上的应力分别为
=
=
=
计算题4:
三脚架结构尺寸及受力如图所示。
其中,钢杆BD的直径,钢梁CD的横截面积=。
试求:
BD与CD横截面上的正应力。
解:
1、受力分析,确定各杆的轴力
首先对组成三脚架结构的构件作受力分析,因为B、C、D三处均为销钉连接,故BD与CD均为二力构件,受力图如图所示。
由平衡方程和解得二者的轴力分别为
其中负号表示压力。
2、计算各杆的应力
应用拉、压杆件横截面上的正应力公式,BD杆与CD杆横截面上的正应力分别为
BD杆:
CD杆:
其中负号表示压应力。
计算题5:
直杆在上部两侧面都受有平行于杆轴线的均匀分布载荷,其集度均为=10kN/m;在自由端D处作用有集中力。
一直杆的横截面面积试求:
(1)A、B、E三个横截面上的正应力;
(2)杆内横截面上的最大正应力,并指明其作用位置。
解:
1、以竖直向下方向为正方向,以整个杆件为研究对象,
假设A处受力为拉力,竖直方向受
力平衡:
=60kN
以BD段为研究对象,假设B处受力为拉力
==20kN
以AE段为研究对象,假设E处受力为拉力
2、当时,
当时,(负号表示压力)
综上,当时,,
计算题6:
如图所示结构2-6(a)中,1,2两杆的横截面直径分别为,。
横梁、视为刚体。
求两杆内的应力。
解:
杆的支座不受力,也不受力,所以可视为作用于杆的端。
取为受力体,受力图如图2-6(b)所示。
析此题属静定问题,在分析杆CD平衡时可知点D的支反力,即CD杆完全不受力,仅在P作用于ABC杆时被其带动绕点D作刚体转动。
所以只需对杆ABC作静立分析即可求解。
计算题7:
图市矩形截面杆,横截面上的正英里延截面高度线性分布,截面定点各点处的正应力均为,底边各点处的正应力均为零。
试问杆件横截面上存在何种内力分量,并确定其大小。
图中之C电位截面形心。
解:
横截面上只存在正的正应力,因此横截面上的内力为拉力F。
在xoy平面内,正应力沿高度线性分布关系为:
()
=20MN
计算题8:
题2-8图(a)所示是一混合屋架结构的计算简图。
屋架的上弦用钢筋混凝土制成。
下面的拉杆和中间的竖向撑杆用角钢构成。
已知屋面承受集度为的竖直均布荷载。
求拉杆AE和EG横截面上的应力。
解:
(1)作受力图。
解除题2-8图(a)所示屋架结构的约束,代之以支座反力,作受力图,如题2-8图(b)所示。
(2)求支座反力。
利用静力学平衡方程
及q=20kN/m,可得
,
(3)计算拉杆EG的轴力
取半个屋架为分离体,作受力图,如题2-8图)(d)所示。
由静力学平衡方程
及得
(4)计算拉杆AE的轴力
取铰节E为研究对象,作受力图,如题2-8图(d)所示。
由静力学平衡方程
及,得
(5)计算拉杆AE和EG横截面上的应力
查表得75mm8mm等边角钢的横截面积为,所以拉杆AE和EG横截面上的应力
计算题9:
题2-9图(a)所示拉杆承受轴向拉力F=10kN,干得横截面积A=100。
如以表示斜截面与横截面的夹角,试求当时各斜截面上的正应力和切应力,并用图表示其方向。
解:
拉杆横截面上的正应力
应用斜截面上的正应力和切应力公式
可得
它们的方向分别表示在题2-9图(b)、(c)、(d)、(e)、(f)中。
计算题10:
一根直杆受力如题2-10图(a)所示。
已知杆的横截面积A和材料的弹性模量E。
试作轴力图,并求杆端点D的位移。
解:
首先解除约束,代之以约束反力,作受力图,如题2-10图(b)所示。
利用静力学平衡条件确定约束反力的大小和方向,并标示在受力图上。
再以杆左端面A的外法线n为标准,将受力图中各外力标以正负号,凡与n的指向一致的外力,标以号,反之标以号。
最后,自左向右作轴力图,轴力图是平行于杆轴线的直线,在有外力作用处,轴力图线发生突变,突变量等于对应外力的数值,如题2-10图(c)所示。
根据轴力图,应用胡克定律,计算杆端D的位移为
计算题11:
一木柱受力如题2-11图(a)所示。
柱的横截面为边长200mm的正方形,材料可认为符合胡克定律,其弹性模量E=10GPa。
如不记柱的自重,试求:
(1)作轴力图;
(2)各段柱横截面上的应力;(3)各段柱的纵向线应变;(4)柱的总变形。
解:
(1)作轴力图
解除B处约束,代之以约束反力,应用静力学平衡条件,确定约束反力的大小和方向,作受力图,如题2-11图(b)所示,以截面B的外法线n为标准,将受力图中各力标以正负号,凡是和n的指向一致的外力标以号,反之标以号,自下向上画轴力图。
(2)计算各段柱横截面上的应力
(3)计算各段的线应变
应用胡克定律,各段柱的线应变为
(4)计算柱的总变形
计算题12:
一根直径d=16mm、长l=3m的圆截面杆,承受轴向拉力F=30kN,其伸长为=2.2mm。
试求杆横截面上的应力与材料的弹性模量E。
解:
应用胡克定律确定材料的弹性模量
根据轴向拉伸的应力公式,杆横截面上的应力为
计算题13:
图2.13所示简单桁架,若在节点A作用力F系沿杆2方向,试问:
(1)1杆、2杆受力若干?
(2)A点的位移应如何确定?
是否沿2杆方向?
解:
(1)图中1杆和2杆均为二力构件,对于杆2,在A处受到沿2杆向外的作用力F与2杆在同一条线上,因此2杆受力就为F,而1杆受力则为0。
(2)杆2位拉压变形,由胡克定律得:
=
如上图所示,A点位移沿水平方向为零,沿竖直方向不为零且
,方向并不沿2杆方向
计算题14:
等直钢杆受均匀拉伸作用,如图所示,已知钢弹性模量E=200GPa,钢的伸长量为,问此杆塑性伸长量为多少?
解:
钢杆的最终变形可看作弹性变形与塑性变形的叠加变形
在弹性范围内,钢杆的变形量为:
所以此杆的塑性伸长量为5.625mm。
计算题15:
一板形试件,在其表面沿纵向和横向粘贴两片电阻应片,用以测量试件的应变。
实验时测得,求该试件的E,,和G三个材料常数,试件的尺寸及受力方向如图所示。
解:
取杆表面单元体,其受力如图所示:
=
=0,
代入数据得E=420GPa,=0.3
计算题16:
打入粘土的木桩长为l,受压力为P,如图(a)所示,设荷载全由摩擦力承担,且沿木桩单位长度内的摩擦力f按抛物线变化(k为常数)。
已知P=420kN,l=12m,横截面积A=640,弹性模量E=10GPa。
求常数k及木桩的压缩量。
解:
确定常数k。
dy为段上的摩擦力dF为dF=fdy
则总摩擦力F=P,即
所以
求总的压缩量:
取dy为段木桩,受力图如图(b)所示。
由于dy很小,微桩可略去dFN,所以微桩的伸长量为
整个桩的压缩量为
析压力由全部摩擦力P承担,所以总的摩擦力F=P。
而F为f的分布曲线所围面积,以此关系求出常数k,求压缩量时,由于轴力不是常数,因此取微桩dy来考虑,计算微桩的压缩量,从面积积分求出全桩的压缩量。
计算题17:
简单桁架如图(a)所示,三根杆材料相同,E=200GPa,横截面积都为A=300,P=15kN。
求C点的水平及垂直位移。
解:
(1)先求各杆内力
取C点为研究对象,受力图如图(b)所示,求得
再取B点为研究对象,受力图如图(c),求得
(2)求各杆伸长量
(3)变形图如图(d)。
AB杆伸长,,AC杆缩短,,BC杆缩短,
最后C点移至点。
变形关系:
所以
析在画变形图时,AC杆的点缩到点。
BC杆的点缩到点。
而杆AB的点水平向右移到点。
BC杆本身受力有变形,同时还随点B平移。
所以点平移到点。
然后从点作的垂线,从点作的垂线交于点。
点即点的最后位移。
通过几何关系求得C点的x和y方向的位移。
计算题18:
如图所示的桁架,两杆材料相同,AB杆的横截面积,AC杆的横截面积为,弹性模量E=210GPa,铅锤力P=20kN。
求A点的位移。
解:
作受力分析:
由力的平行四边形法则得:
结构变形图如图所示由几何关系得
计算题19:
图2-19所示,自由悬挂的直杆,长l,截面面积为A,比重为,弹性模量为E,求其在外力F和自重作用下杆的应力和变形。
解:
要求应力和变形,首先要用截面法求出轴力,便可求出应力,本题中的轴力为x的函数,变形必须用积分法。
(1)建立坐标如图(a)所示,求x截面的轴力如
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