中考专题复习导学案14二次函数图像与性质.docx
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中考专题复习导学案14二次函数图像与性质
中考数学专题练习14《二次函数图像与性质》
【知识归纳】
1.一般地,形如的函数叫做二次函数,当a,b时,是一次函数.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象是,对称轴是直线x=,顶点坐标是(,).
3.抛物线的开口方向由a确定,当a>0时,开口;当a<0时,开口;a的值越,开口越.
4.抛物线与y轴的交点坐标为.当c>0时,与y轴的半轴有交点;当c<0时,与y轴的半轴有交点;当c=0时,抛物线过.
5.若a>0,当x=时,y有最小值,为;
若a<0,当x=时,y有最大值,为.
6.当a>0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而,在对称轴的右侧,y随x的增大而;当a<0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而,在对称轴的右侧.y随x的增大而.
7.当m>0时,二次函数y=ax2的图象向平移个单位得到二次函数y=a(x+m)2的图象;当k>0时,二次函数y=ax2的图象向平移个单位得到二次函数y=ax2+k的图象.平移的口诀:
左“”右“”;上“”下“”.
【基础检测】
1.(2016•兰州)二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a(x﹣h)2+k的形式,下列正确的是( )
A.y=(x﹣1)2+2B.y=(x﹣1)2+3C.y=(x﹣2)2+2D.y=(x﹣2)2+4
2.当x为实数时,代数式x2﹣2x﹣3的最小值是.
3.(2016•永州)抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个不同的交点,则m的取值范围是( )
A.m<2B.m>2C.0<m≤2D.m<﹣2
4.(2016·福建龙岩·4分)已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则|a﹣b+c|+|2a+b|=( )
A.a+bB.a﹣2bC.a﹣bD.3a
5.(2016贵州毕节3分)一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A.B.C.D.
6.(2016·湖北荆门·3分)若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3,则关于x的方程x2+mx=7的解为( )
A.x1=0,x2=6B.x1=1,x2=7C.x1=1,x2=﹣7D.x1=﹣1,x2=7
7.(2016·青海西宁·3分)如图,在△ABC中,∠B=90°,tan∠C=,AB=6cm.动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.若P,Q两点分别从A,B两点同时出发,在运动过程中,△PBQ的最大面积是( )
A.18cm2B.12cm2C.9cm2D.3cm2
【达标检测】
一、选择题
1.(2016·山东省滨州市·3分)抛物线y=2x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是( )
A.0B.1C.2D.3
2.二次函数的图象大致为()
3.已知二次函数,当x≥2时,y的取值范围是()
A.y≥3B.y≤3C.y>3D.y<3
4.(2016·四川眉山·3分)若抛物线y=x2﹣2x+3不动,将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位,再沿铅直方向向上平移三个单位,则原抛物线图象的解析式应变为( )
A.y=(x﹣2)2+3B.y=(x﹣2)2+5C.y=x2﹣1D.y=x2+4
5.二次函数y=a+bx+c的图象如图所示,则下列关系式错误的是()
A.a<0B.b>0C.﹣4ac>0D.a+b+c<0
6.(2016·湖北黄石·3分)以x为自变量的二次函数y=x2﹣2(b﹣2)x+b2﹣1的图象不经过第三象限,则实数b的取值范围是( )
A.b≥B.b≥1或b≤﹣1C.b≥2D.1≤b≤2
7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,给出下列四个结论:
①4ac﹣b2<0;②4a+c<2b;③3b+2c<0;④m(am+b)+b<a(m≠﹣1),其中正确结论的个数是( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
8.(2016•沈阳)在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+2x﹣3的图象如图所示,点A(x1,y1),B(x2,y2)是该二次函数图象上的两点,其中﹣3≤x1<x2≤0,则下列结论正确的是( )
A.y1<y2B.y1>y2
C.y的最小值是﹣3D.y的最小值是﹣4
9.(2016·黑龙江齐齐哈尔·3分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),其部分图象如图所示,下列结论:
①4ac<b2;
②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3;
③3a+c>0
④当y>0时,x的取值范围是﹣1≤x<3
⑤当x<0时,y随x增大而增大
其中结论正确的个数是( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
二、填空题(每小题5分,满分20分)
10.二次函数的顶点坐标是(,).
11.(2016·黑龙江哈尔滨·3分)二次函数y=2(x﹣3)2﹣4的最小值为 .
12.7.(2016·湖北荆州·3分)若函数y=(a﹣1)x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点,则a的值为 .
13.抛物线y=ax2+bx+2经过点(﹣2,3),则3b﹣6a=.
14.如图的一座拱桥,当水面宽AB为12m时,桥洞顶部离水面4m,已知桥洞的拱形是抛物线,以水平方向为x轴,建立平面直角坐标系,若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是,则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是.
15.(2016·四川南充)已知抛物线y=ax2+bx+c开口向上且经过点(1,1),双曲线y=经过点(a,bc),给出下列结论:
①bc>0;②b+c>0;③b,c是关于x的一元二次方程x2+(a﹣1)x+=0的两个实数根;④a﹣b﹣c≥3.其中正确结论是 (填写序号)
三、解答题
16.(2016·湖北武汉·10分)某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售,每年产销x件.已知产销两种产品的有关信息如下表:
产品
每件售价(万元)
每件成本(万元)
每年其他费用(万元)
每年最大产销量(件)
甲
6
a
20
200
乙
20
10
40+0.05x2
80
其中a为常数,且3≤a≤5.
(1)若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元,直接写出y1、y2与x的函数关系式;
(2)分别求出产销两种产品的最大年利润;
(3)为获得最大年利润,该公司应该选择产销哪种产品?
请说明理由.
17.如图,已知二次函数y=a(x﹣h)2+的图象经过原点O(0,0),A(2,0).
(1)写出该函数图象的对称轴;
(2)若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′,试判断点A′是否为该函数图象的顶点?
【知识归纳答案】
1.y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数),当a=0,b≠0时,是一次函数.
2.一条抛物线,对称轴是直线x=-,顶点坐标是(-,).
3.开口向上;当a<0时,开口向下;a的值越大,开口越小.
4.(0,c).当c>0时,与y轴的正半轴有交点;当c<0时,与y轴的负半轴有交点;当c=0时,抛物线过(0,0).
5.若a>0,当x=时,y有最小值,为;
若a<0,当x=时,y有最大值,为.
6.小,增大;增大,减小.
7.左平移m个上平移k个:
左“+”右“-”;上“+”下“-”.
【基础检测答案】
1.(2016•兰州)二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a(x﹣h)2+k的形式,下列正确的是( )
A.y=(x﹣1)2+2B.y=(x﹣1)2+3C.y=(x﹣2)2+2D.y=(x﹣2)2+4
【分析】根据配方法,可得顶点式函数解析式.
【解答】解:
y=x2﹣2x+4配方,得
y=(x﹣1)2+3,
故选:
B.
【点评】本题考查了二次函数的形式你,配方法是解题关键.
2.当x为实数时,代数式x2﹣2x﹣3的最小值是.
【答案】-4.
【解析】把代数式配方,然后借助二次函数的最值问题解答即可.
x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∵二次项系数为1,
∴代数式x2﹣2x﹣3有最小值,最小值为﹣4.
3.(2016•永州)抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个不同的交点,则m的取值范围是( )
A.m<2B.m>2C.0<m≤2D.m<﹣2
【分析】由抛物线与x轴有两个交点,则△=b2﹣4ac>0,从而求出m的取值范围.
【解答】解:
∵抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个交点,
∴△=b2﹣4ac>0,
即4﹣4m+4>0,
解得m<2,
故选A.
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题,注:
①抛物线与x轴有两个交点,则△>0;②抛物线与x轴无交点,则△<0;③抛物线与x轴有一个交点,则△=0
4.(2016·福建龙岩·4分)已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则|a﹣b+c|+|2a+b|=( )
A.a+bB.a﹣2bC.a﹣bD.3a
【考点】二次函数图象与系数的关系.
【分析】观察函数图象找出“a>0,c=0,﹣2a<b<0”,由此即可得出|a﹣b+c|=a﹣b,|2a+b|=2a+b,根据整式的加减法运算即可得出结论.
【解答】解:
观察函数图象,发现:
图象过原点,c=0;
抛物线开口向上,a>0;
抛物线的对称轴0<﹣<1,﹣2a<b<0.
∴|a﹣b+c|=a﹣b,|2a+b|=2a+b,
∴|a﹣b+c|+|2a+b|=a﹣b+2a+b=3a.
故选D.
5.(2016贵州毕节3分)一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A.B.C.D.
【考点】二次函数的图象;一次函数的图象.
【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负,再与二次函数y=ax2+bx+c的图象相比较看是否一致.
【解答】解:
A、由抛物线可知,a<0,由直线可知,故本选项错误;
B、由抛物线可知,a>0,x=﹣>0,得b<0,由直线可知,a>0,b>0,故本选项错误;
C、由抛物线可知,a<0,x=﹣<0,得b<0,由直线可知,a<0,b<0,故本选项正确;
D、由抛物线可知,a<0,x=﹣<0,得b<0,由直线可知,a<0,b>0故本选项错误.
故选C.
18.(2016·湖北荆门·3分)若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3,则关于x的方程x2+mx=7的解为( )
A.x1=0,x2=6B.x1=1,x2=7C.x1=1,x2=﹣7D.x1=﹣1,x2=7
【考点】二次函数的性质;解一元二次方程-因式分解法.
【分析】先根据二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3求出m的值,再把m的值代入方程x2+mx=7,求出x的值即可.
【解答】解:
∵二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3,
∴﹣=3,解得m=﹣6,
∴关于x的方程x2+mx=7可化为x2﹣6x﹣7=0,即(x+1)(x﹣7)=0,解得x1=﹣1,x2=7.
故选D.
6.(2016·青海西宁·3分)如图,在△ABC中,∠B=90°,tan∠C=,AB=6cm.动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.若P,Q两点分别从A,B两点同时出发,在运动过程中,△PBQ的最大面积是( )
A.18cm2B.12cm2C.9cm2D.3cm2
【考点】解直角三角形;二次
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