小学数学《几何计数》练习题含答案.docx
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小学数学《几何计数》练习题含答案
小学数学《几何计数》练习题(含答案)
内容概述
几何中的计数问题包括:
数线段、数角、数三角形、数长方形、数正方形、数综合图形等.通过这一讲的学习,可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、思考问题的良好习惯,做到不重不漏地准确数出图形,逐步学会通过观察、思考探寻事物规律的能力,选择适当的计数方法解决问题.
数线段
【例1】数一数,下图中有多少条线段?
小朋友们,你有几种方法有序的把它数出来?
【例2】有一把奇怪的尺子,上面只有“0”“1”“4”“6”这几个刻度(单位:
厘米)。
请你想一想,有这把尺子一次可以画出几条不同长度的线段?
【例3】(第三届兴趣杯少年数学邀请赛预赛)数一数,右图中共有线段多少条?
数三角形
【例4】(小数报数学竞赛初赛)数一数,右图中共有多少个三角形?
你有什么好方法?
【例5】如右图中,数一数共有多少条线段?
共有多少个三角形?
【例6】如右图,数数有多少个三角形?
【例7】数一数,右图中共有多少个三角形?
【例8】数一数,右图中共有多少个三角形?
【例9】(第三届兴趣杯少年数学邀请赛预赛)数一数,右图中三角形共多少个?
数四边形
【例10】数一数,各图中长方形的个数?
【例11】带*的长方形有多少个?
【例12】右图中有多少个长方形?
【例13】右图中各小格都是正方形,图中共有多少个正方形?
【例14】数一数,下例各图中有多少个正方形?
习题七
1.有一把尺子,因磨损只能看清“0”“2”“5”“8”“9”,你能用这把尺子准确画出多少条不同长度的线段?
2.数一数,右图中有多少个角?
3.数数右图中有多少条线段?
4.如右图,数数有多少个三角形?
5.数一数下图中有多少个正方形?
6.如下图,数一数下列图中长方形的个数?
带小花的长方形有多少个?
*
7.数一数,右图中共有多少个正方形?
数线段
【例15】数一数,下图中有多少条线段?
小朋友们,你有几种方法有序的把它数出来?
分析:
我们要做到有序思考问题,做到不重、不漏,必须有一个“找”的依据,下面我将给大家展示两种常见的方法:
法1:
以线段的起点分类(注意保持方向的一致),如右图
以A点为共同左端点的线段有:
ABACADAEAF5条.
以B点为共同左端点的线段有:
BCBDBEBF4条.
以C点为共同左端点的线段有:
CDCECF3条.
以D点为共同左端点的线段有:
DEDF2条.
以E点为共同左端点的线段有:
EF1条.
总数5+4+3+2+1=15条.
法2:
我们规定:
把相邻两点间的线段叫做基本线段,我们还可以这样分类数,
由1个基本线段构成的线段有:
AB、BC、CD、DE、EF5条。
由2个基本线段构成的线段有:
AC、BD、CE、DF4条.
由3个基本线段构成的线段有:
AD、BE、CF3条.
由4个基本线段构成的线段有:
AE、BF2条.
由5个基本线段构成的线段有:
AF1条.
总数5+4+3+2+1=15条.
这两个方法你掌握的怎么样啊?
细心的你从中能发现什么规律么?
从这道例题中我发现了下面这个结论:
(结论内容学生版没有,请教师注意帮助学生总结填写)
如果一条直线上有n个点,那么线段的条数为:
(n-1)+(n-2)+(n-3)+…+3+2+1=n×(n-1)÷2(条).
为巩固学生对结论的记忆及应用,教师可在此多多举例联系!
【例16】有一把奇怪的尺子,上面只有“0”“1”“4”“6”这几个刻度(单位:
厘米)。
请你想一想,有这把尺子一次可以画出几条不同长度的线段?
分析:
把“0”“1”“4”“6”看成4个点;0~1:
1厘米;0~4:
4厘米;0~6:
6厘米;1~4:
3厘米;1~6:
5厘米;4~6:
2厘米。
共6种不同长度的线段。
【例17】(第三届兴趣杯少年数学邀请赛预赛)数一数,右图中共有线段多少条?
分析:
讲解此题之前可先向学生介绍一下下题:
数一数,右下图中共有多少条线段?
分析:
数线段要分类数:
我把它分成两大类:
“个人”和“集体”。
这里面AC、BD是“个人”,BC(其中包含BO、CO)、AD(其中包含AO、DO)是“集体”,思路如下:
“个人”:
AC、BD,2个;“集体1”:
BC、BO、CO;“集体2”:
AD、AO、DO,所以共有8条线段。
回到例题,观察可知这个图形中都是“集体”,在数的时候我们也可以对“集体”进行分类.
1含4个交点的集体:
AG、AB中共有线段:
(3+2+1)×2=12(条);
2含3个交点的集体:
EF,CD,BC,AC中共有线段:
(2+1)×4=12(条);
所以总共有线段:
12+12=24(条).
数三角形
【例18】(小数报数学竞赛初赛)数一数,右图中共有多少个三角形?
你有什么好方法?
分析:
建议讲解此题之前,请教师先把角的计数方法给孩子们巩固一下.可参看附加6.
法1:
按公共角进行分类:
以∠OAB为公共角:
△OAB、△OAC、△OAD、△OAE、△OAF共5个;以∠OBC为公共角:
4个;以∠OCD为公共角:
3个;以∠ODE为公共角:
2个;以∠OEF为公共角:
1个;共15个。
法2:
按基本三角形分类。
法3:
一个三角形由三个顶点和三条边组成。
图中的三角形共用同一个顶点。
我们如果不看下面的一条底边,只看上面,你一定能用数角的方法数出来:
5+4+3+2+1=15(个)角,每个角都可以以下面的一条线段做底,就形成了15个三角形。
【例19】如右图中,数一数共有多少条线段?
共有多少个三角形?
分析:
仔细观察可知,每个三角形中,有两条边都是由O点引出的,而第三边是AE和FG上的线段,AE和FG上的线段条数就和三角形的个数一一对应了.于是数三角形个数的问题就转化为数线段的问题了.FG上含有的基本线段有:
5×4÷2=10(条);AE上含有的基本线段有:
5×4÷2=10(条);所以共有:
10+10=20(个)三角形.
【例20】如右图,数数有多少个三角形?
分析:
(按边长分类)从上到下分成最基本的4层,共有小三角1+3+5+7=16(个);
两层一结合,有次大三角形1+2+4=7(个);三层一结合,有较大三角形1+2=3(个);四层一结合,有最大三角形1个,所以共16+7+3+1=27(个)。
这个方法其实就是将三角形按边长来分类数,只不过更加强调计数时在层与层之间有序的考虑.在数的过程中注意可将三角形分成尖朝上和朝下两类.
【例21】数一数,右图中共有多少个三角形?
分析:
(按所含的基本图形个数分类)只含有一个基本三角形的三角形有6个;恰含两个基本三角形的三角形有3个;恰含三个基本三角形的三角形有6个;恰含四个或五个基本三角形的三角形一个也没有;恰含六个基本三角形的三角形只有1个。
图中共有三角形:
6+3+6+1=16(个)。
【例22】数一数,右图中共有多少个三角形?
分析:
(按大小分类)图中共有44个三角形。
其中最大的2个、次大的6个、次小的12个、最小的24个。
【例23】(第三届兴趣杯少年数学邀请赛预赛)数一数,右图中三角形共多少个?
分析:
(按形状分类)类似于△ABH的三角形共有6个;类似于△AGH的三角形共有6个;类似于△ABJ的三角形共有12个;类似于△ABC的三角形共有6个;类似于△AEC的三角形共有2个.于是,图中共有三角形6+6+12+6+2=32(个).
数四边形
【例24】数一数,各图中长方形的个数?
分析:
法1:
分类来数:
(1)以AD长为左宽共有10个长方形.
(2)以DE长为左宽,有10个长方形;以DA长为左宽,有10个长方形;以EA长为左宽,有10个长方形;所以图中共有30个长方形.
(3)以DE长为左宽,有10个长方形;以DG长为左宽,有10个长方形;以DA长为左宽,有10个长方形;以EG长为左宽,有10个长方形;以EA长为左宽,有10个长方形;以GA长为左宽,有10个长方形;所以图中共有60个长方形.
当然,你也可以以一条长为根基来分类数.
法2:
因为长方形是由长和宽两个因素确定的,所以数长方形的个数与数线段的条数也有着密切的联系.可以这样思考:
先数一数AB边上有多少条线段,每一条线段可以分别作为长方形的长,再数一数AD上有多少条线段,每一条线段可以分别作为长方形的宽,每一条长与一条宽搭配,就确定了一个长方形,这样就容易得出一共有多少个长方形了.
先来看图
(1),AB边上包含着的10条线段(想一想:
为什么),其中的每一条都可与线段AD对应,唯一确定一个长方形,所以图
(1)中共有(10×1)=10个长方形.
再来看图
(2),与图
(1)不同的是,在AD上增加了一个分点,这样就有3条线段,这3条线段分别与AB边上不同的线段构成长方形,所以图
(2)中共有(10×3)=30个长方形.
最后看图(3),与上面的思路相同,由于AD边上有(3+2+1)=6条线段,所以图(3)中共有(10×6)=60个长方形.
解:
(1)(4+3+2+1)×1=10(个);
(2)(4+3+2+1)×(2+1)=30(个);
(3)(4+3+2+1)×(3+2+1)=60(个).
现在,请同学们想一想:
这三个算式中左边被乘数中的最大数与什么有关?
乘数中的最大数又与什么有关?
从这道例题中我发现了下面这个结论:
(结论内容学生版没有,请教师注意帮助学生总结填写)
我们可以得出计数与上题类似的图形中的长方形的一般方法:
当一条边上含有n条基本线段,另一边含有m条基本线段时,长方形的总数为:
(n+…+3+2+1)×(m+…+3+2+1)。
【例25】带*的长方形有多少个?
分析:
长中带*的线段有8条,宽中带*的线段有6条,长方形是由长和宽两个因素确定的,所以带*的长方形有8×6=48(个).
【例26】右图中有多少个长方形?
分析:
分类来数:
以AB长为宽的长方形有:
3+2+1=6(个);以AC长为宽的长方形有:
3+2+1=6(个);以BC长为宽的长方形有:
4+3+2+1=10(个);所以共有长方形22个.
【例27】右图中各小格都是正方形,图中共有多少个正方形?
分析:
同学们都知道,正方形是长和宽相等的长方形,所以数正方形时不能简单地照搬计数长方形的方法.根据正方形的特点,我们可以采用分类的方法来数正方形的个数.为了叙述的方便起见,我们把以一条基本线段的长度为边长的正方形称为基本正方形·
图中共有三类正方形,即基本正方形,由4个基本正方形组成的正方形和由9个基本正方形组成的正方形,我们分三类统计:
(1)基本正方形共有(9×3)=27个;
(2)由4个基本正方形组成的正方形共有(8×2)=16个;
(3)由9个基本正方形组成的正方形共有(7×1)=7个.
所以,图中的正方形共有(27+16+7)=50个.
上面我们是用枚举法来计数正方形的,但是如果基本正方形的个数较多,这种方法显然很麻烦.那么,计数正方形是不是也有规律可循呢?
答案是肯定的.
从这道例题中我发现了下面这个结论:
(结论内容学生版没有,请教师注意帮助学生总结填写)
如果一个长方形的一条边被分成n等份,另一条边被分成m等份,且长和宽上的每一份相等,那么这个长方形中正方形的总数为:
nm+(n-1)(m-1)+(n-2)(m-2)+…+(n-m+1)×1(其中n≥m).
【例28】数一数,下例各图中有多少个正方形?
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