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二次函数4的初中数学组卷
2014年1月二次函数4的初中数学组卷
2014年1月二次函数4的初中数学组卷
一.选择题(共18小题)
1.(2013•苏州)已知二次函数y=x2﹣3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根是( )
A.
x1=1,x2=﹣1
B.
x1=1,x2=2
C.
x1=1,x2=0
D.
x1=1,x2=3
2.(2013•牡丹江)抛物线y=ax2+bx+c(a<0)如图所示,则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是( )
A.
x<2
B.
x>﹣3
C.
﹣3<x<1
D.
x<﹣3或x>1
3.(2013•济南)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(0,﹣2),与x轴交点的横坐标分别为x1,x2,且﹣1<x1<0,1<x2<2,下列结论正确的是( )
A.
a<0
B.
a﹣b+c<0
C.
﹣
D.
4ac﹣b2<﹣8a
4.(2012•天津)若关于x的一元二次方程(x﹣2)(x﹣3)=m有实数根x1、x2,且x1≠x2,有下列结论:
①x1=2,x2=3;②m>﹣
;③二次函数y=(x﹣x1)(x﹣x2)+m的图象与x轴交点的坐标为(2,0)和(3,0).
其中,正确结论的个数是( )
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
5.(2011•玉溪)如图,函数y=﹣x2+bx+c的部分图象与x轴、y轴的交点分别为A(1,0),B(0,3),对称轴是x=﹣1,在下列结论中,错误的是( )
A.
顶点坐标为(﹣1,4)
B.
函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3
C.
当x<0时,y随x的增大而增大
D.
抛物线与x轴的另一个交点是(﹣3,0)
6.(2011•黄石)设一元二次方程(x﹣1)(x﹣2)=m(m>0)的两实根分别为α,β,且α<β,则α,β满足( )
A.
1<α<β<2
B.
1<α<2<β
C.
α<1<β<2
D.
α<1且β>2
7.(2010•包头)已知二次函数y=kx2+(2k﹣1)x﹣1与x轴交点的横坐标为x1、x2,且x1<x2,则下列结论中:
①方程kx2+(2k﹣1)x﹣1=0有两个不相等的实数根x1、x2;②当x=﹣2时,y=1;③当x>x2时,y>0;④x1<﹣1,x2>﹣1.其中正确的结论是( )
A.
①②
B.
①②③
C.
①②④
D.
①③④
8.(2007•随州)下列四个命题:
①点(﹣2,3)在第二象限;②直线y=x﹣2与y轴交于点(0,﹣2);③直线y=﹣x与双曲线y=
有两个交点;④抛物线y=x2﹣3x+4与x轴没有交点.其中正确命题是( )
A.
①③
B.
②④
C.
①②③
D.
①②④
9.(2002•荆州)关于二次函数y=ax2+bx+c的图象有下列命题:
①当c=0时,函数的图象经过原点;
②当c>0,且函数的图象开口向下时,方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根;
③函数图象最高点的纵坐标是
;
④当b=0时,函数的图象关于y轴对称.
其中正确命题的个数是( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
10.(2013•石峰区模拟)如图,抛物线y=x2+1与双曲线y=
的交点A的横坐标是1,则关于x的不等式﹣
+x2+1<0的解集是( )
A.
x>1
B.
x<﹣1
C.
﹣1<x<0
D.
0<x<1
11.(2013•桥东区二模)如图已知二次函数l:
y=x2﹣4x+3交x轴于A、B两点(点A在B点的左边),交y轴于点C
①二次函数的顶点坐标为(2,﹣1)
②二次函数l1与x轴交点坐标为A(1,0),B(3,0)
③二次函数l2:
y=kx2﹣4kx+3k(k≠0)与二次函数l1的对称轴和开口方向相同
④若直线y=8kx(k≠0)与抛物线l2交于E、F两点,则线段k的长度不变
以上说法正确的是( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
12.(2013•槐荫区二模)如图,直线y=x与抛物线y=x2﹣x﹣3交于A、B两点,点P是抛物线上的一个动点,过点P作直线PQ⊥x轴,交直线y=x于点Q,设点P的横坐标为m,则线段PQ的长度随m的增大而减小时m的取值范围是( )
A.
x<﹣1或x>
B.
x<﹣1或
<x<3
C.
x<﹣1或x>3
D.
x<﹣1或1<x<3
13.(2013•大庆模拟)“一般的,如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.﹣﹣苏科版《数学》九年级(下册)P21”参考上述教材中的话,判断方程x2﹣2x=
﹣2实数根的情况是( )
A.
有三个实数根
B.
有两个实数根
C.
有一个实数根
D.
无实数根
14.(2013•成都一模)二次函数y=ax2+bx+c的值恒为正,则a,b,c应满足( )
A.
a>0,b2﹣4ac>0
B.
a>0,b2﹣4ac<0
C.
a<0,b2﹣4ac>0
D.
a<0,b2﹣4ac<0
15.(2012•梁子湖区模拟)如图,等腰梯形ABCD的底边AD在x轴上,顶点C在y轴正半轴上,B(4,2),一次函数y=kx﹣1的图象平分它的面积,关于x的函数y=mx2﹣(3m+k)x+2m+k的图象与坐标轴只有两个交点,则m的值为( )
A.
0
B.
C.
﹣1
D.
0或
或﹣1
16.(2009•塘沽区二模)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于(x1,0),(x2,0)两点,且0<x1<1,1<x2<2,与y轴交于点(0,2).下列结论:
①a>0,②b2﹣8a>0,③a+b<0,④3a+b>0.其中结论正确的个数是( )
A.
4
B.
3
C.
2
D.
1
17.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如下图所示,有下列5个结论:
①abc<0;②a﹣b+c>0;③2a+b=0;④b2﹣4ac>0⑤a+b+c>m(am+b)+c,(m>1的实数),其中正确的结论有( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
18.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列四个结论:
①a<0②abc<0③b+2a=0④b2﹣4ac<0中,正确的个数为( )
A.
4个
B.
3个
C.
2个
D.
1个
二.填空题(共12小题)
19.(2011•日照)如图,是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分,给出下列命题:
①a+b+c=0;②b>2a;③ax2+bx+c=0的两根分别为﹣3和1;④a﹣2b+c>0.其中正确的命题是 _________ .(只要求填写正确命题的序号)
20.(2009•庆阳)如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象,在下列说法中:
①ac<0;②方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1,x2=3;③a+b+c>0;④当x>1时,y随着x的增大而增大.正确的说法有 _________ .(请写出所有正确的序号)
21.(2006•厦门)二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与坐标轴分别交于点(﹣1,0)和(0,﹣1),顶点在第四象限,若n=a+b+c,则n的取值范围是 _________ .
22.(2003•海淀区)已知二次函数y=kx2+(2k﹣1)x﹣1与x轴交点的横坐标为x1、x2(x1<x2),则对于下列结论:
①当x=﹣2时,y=1;②当x>x1时,y>0;③方程kx2+(2k﹣1)x﹣1=0有两个不相等的实数根x1、x2;④x1<﹣1,x2>﹣1;⑤
,其中所有正确的结论是 _________ (只需填写序号).
23.(2013•永州模拟)函数y=x2﹣2x﹣2的图象如图所示,根据其中提供的信息,可求得使y≥1成立的x的取值范围是 _________ .
24.(2013•怀集县二模)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点B坐标(﹣1,0),且对称轴是x=1.下面的四个结论:
①OA=3;②a+b+c<0;③ac>0;④b2﹣4ac>0.
其中正确的结论是 _________ .
25.(2012•武侯区一模)如图,直线
与抛物线
相交于点A(1,m)和点B(8,n),则关于x的不等式
的解集为 _________ .
26.(2012•历下区一模)如图,抛物线与x轴交于A(﹣1,0),B(4,0)两点,与y轴交于C(0,3),M是抛物线对称轴上的任意一点,则△AMC的周长最小值是 _________ .
27.(2012•成都模拟)设函数y=x2﹣(2k+1)x+2k﹣4的图象如图所示,它与x轴交于A,B两点,且线段OA与OB的长度之比为1:
3,则k= _________ .
28.(2009•宝坻区二模)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(﹣1,2),且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2,其中﹣2<x1<﹣1,0<x2<1,下列结论:
①4a﹣2b+c<0;②2a﹣b>0;③b2+8a>4ac.其中正确的结论是 _________ .(填序号)
29.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a>0).图象的顶点为D,其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1、3,与y轴负半轴交于点C.下面五个结论:
①2a+b=0;②a+b+c>0;③当x≤1时,y随x值的增大而增大;④当﹣1≤x≤3时,ax2+bx+c<0;⑤只有当a=
时,△ABD是等腰直角三角形.那么,其中正确的结论是 _________ .(只填你认为正确结论的序号)
30.若不等式0≤x2﹣ax+a≤1有唯一解,那么a的值为 _________ .
2014年1月二次函数4的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共18小题)
1.(2013•苏州)已知二次函数y=x2﹣3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根是( )
A.
x1=1,x2=﹣1
B.
x1=1,x2=2
C.
x1=1,x2=0
D.
x1=1,x2=3
考点:
抛物线与x轴的交点.721891
分析:
关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根就是二次函数y=x2﹣3x+m(m为常数)的图象与x轴的两个交点的横坐标.
解答:
解:
∵二次函数的解析式是y=x2﹣3x+m(m为常数),
∴该抛物线的对称轴是:
x=
.
又∵二次函数y=x2﹣3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),
∴根据抛物线的对称性质知,该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(2,0),
∴关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根分别是:
x1=1,x2=2.
故选B.
点评:
本题考查了抛物线与x轴的交点.解答该题时,也可以利用代入法求得m的值,然后来求关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根.
2.(2013•牡丹江)抛物线y=ax2+bx+c(a<0)如图所示,则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是( )
A.
x<2
B.
x>﹣3
C.
﹣3<x<1
D.
x<﹣3或x>1
考点:
二次函数与不等式(组).721891
分析:
根据函数图象,写出x轴上方部分的x的取值范围即可.
解答:
解:
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标为(﹣3,0)(1,0),
∴关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是﹣3<x<1.
故选C.
点评:
本题考查了二次函数与不等式,利用数形结合的思想求解是此类题目的特点.
3.(2013•济南)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(0,﹣2),与x轴交点的横坐标分别为x1,x2,且﹣1<x1<0,1<x2<2,下列结论正确的是( )
A.
a<0
B.
a﹣b+c<0
C.
﹣
D.
4ac﹣b2<﹣8a
考点:
二次函数图象与系数的关系;抛物线与x轴的交点.721891
分析:
由开口方向,可确定a>0;由当x=﹣1时,y=a﹣b+c>0,可确定B错误;由对称轴在y轴右侧且在直线x=1左侧,可确定x=﹣
<1;由二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(0,﹣2),对称轴在y轴右侧,a>0,可得最小值:
<﹣2,即可确定D正确.
解答:
解:
A、∵开口向上,∴a>0,故本选项错误;
B、∵当x=﹣1时,y=a﹣b+c>0,故本选项错误;
C、∵对称轴在y轴右侧且在直线x=1左侧,∴x=﹣
<1,故本选项错误;
D、∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(0,﹣2),对称轴在y轴右侧,a>0,
∴最小值:
<﹣2,
∴4ac﹣b2<﹣8a.
故本选项正确.
故选D.
点评:
此题考查了图象与二次函数系数之间的关系.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
4.(2012•天津)若关于x的一元二次方程(x﹣2)(x﹣3)=m有实数根x1、x2,且x1≠x2,有下列结论:
①x1=2,x2=3;②m>﹣
;③二次函数y=(x﹣x1)(x﹣x2)+m的图象与x轴交点的坐标为(2,0)和(3,0).
其中,正确结论的个数是( )
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
考点:
抛物线与x轴的交点;一元二次方程的解;根的判别式;根与系数的关系.721891
专题:
计算题;压轴题.
分析:
将已知的一元二次方程整理为一般形式,根据方程有两个不相等的实数根,得到根的判别式大于0,列出关于m的不等式,求出不等式的解集即可对选项②进行判断;再利用根与系数的关系求出两根之积为6﹣m,这只有在m=0时才能成立,故选项①错误;将选项③中的二次函数解析式整理后,利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入,整理得到确定出二次函数解析式,令y=0,得到关于x的方程,求出方程的解得到x的值,确定出二次函数图象与x轴的交点坐标,即可对选项③进行判断.
解答:
解:
一元二次方程(x﹣2)(x﹣3)=m化为一般形式得:
x2﹣5x+6﹣m=0,
∵方程有两个不相等的实数根x1、x2,
∴b2﹣4ac=(﹣5)2﹣4(6﹣m)=4m+1>0,
解得:
m>﹣
,故选项②正确;
∵一元二次方程实数根分别为x1、x2,
∴x1+x2=5,x1x2=6﹣m,
而选项①中x1=2,x2=3,只有在m=0时才能成立,故选项①错误;
二次函数y=(x﹣x1)(x﹣x2)+m=x2﹣(x1+x2)x+x1x2+m=x2﹣5x+(6﹣m)+m=x2﹣5x+6=(x﹣2)(x﹣3),
令y=0,可得(x﹣2)(x﹣3)=0,
解得:
x=2或3,
∴抛物线与x轴的交点为(2,0)或(3,0),故选项③正确.
综上所述,正确的结论有2个:
②③.
故选C.
点评:
此题考查了抛物线与x轴的交点,一元二次方程的解,根与系数的关系,以及根的判别式的运用,是中考中常考的综合题.
5.(2011•玉溪)如图,函数y=﹣x2+bx+c的部分图象与x轴、y轴的交点分别为A(1,0),B(0,3),对称轴是x=﹣1,在下列结论中,错误的是( )
A.
顶点坐标为(﹣1,4)
B.
函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3
C.
当x<0时,y随x的增大而增大
D.
抛物线与x轴的另一个交点是(﹣3,0)
考点:
抛物线与x轴的交点;二次函数的性质.721891
专题:
计算题;压轴题.
分析:
由于y=﹣x2+bx+c的图象与x轴、y轴的交点分别为A(1,0),B(0,3),将交点代入解析式求出函数表达式,即可作出正确判断.
解答:
解:
将A(1,0),B(0,3)分别代入解析式得,
,
解得,
,
则函数解析式为y=﹣x2﹣2x+3;
将x=﹣1代入解析式可得其顶点坐标为(﹣1,4);
当y=0时可得,﹣x2﹣2x+3=0;
解得,x1=﹣3,x2=1.
可见,抛物线与x轴的另一个交点是(﹣3,0);
由图可知,当x<﹣1时,y随x的增大而增大.
可见,C答案错误.
故选C.
点评:
本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数的性质,利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键,同时要注意数形结合.
6.(2011•黄石)设一元二次方程(x﹣1)(x﹣2)=m(m>0)的两实根分别为α,β,且α<β,则α,β满足( )
A.
1<α<β<2
B.
1<α<2<β
C.
α<1<β<2
D.
α<1且β>2
考点:
抛物线与x轴的交点;根与系数的关系.721891
专题:
压轴题;数形结合.
分析:
先令m=0求出函数y=(x﹣1)(x﹣2)的图象与x轴的交点,画出函数图象,利用数形结合即可求出α,β的取值范围.
解答:
解:
令m=0,
则函数y=(x﹣1)(x﹣2)的图象与x轴的交点分别为(1,0),(2,0),
故此函数的图象为:
∵m>0,
∴原顶点沿抛物线对称轴向下移动,两个根沿对称轴向两边逐步增大,
∴α<1,β>2.
故选D.
点评:
本题考查的是抛物线与x轴的交点,能根据x轴上点的坐标特点求出函数y=(x﹣1)(x﹣2)与x轴的交点,画出函数图象,利用数形结合解答是解答此题的关键.
7.(2010•包头)已知二次函数y=kx2+(2k﹣1)x﹣1与x轴交点的横坐标为x1、x2,且x1<x2,则下列结论中:
①方程kx2+(2k﹣1)x﹣1=0有两个不相等的实数根x1、x2;②当x=﹣2时,y=1;③当x>x2时,y>0;④x1<﹣1,x2>﹣1.其中正确的结论是( )
A.
①②
B.
①②③
C.
①②④
D.
①③④
考点:
抛物线与x轴的交点.721891
专题:
压轴题.
分析:
把相应的x的值代入;二次函数与x轴的交点即为转换为一元二次方程等于0的解;与﹣1相关就加上1后应用相关不等式整理结果;两根相减需确定二次项系数的符号.
解答:
解:
②把x=﹣2直接代入函数式可得y=1,正确;
③因不知道k的符号,就不知道开口方向,无法确定,错误;
①因为二次函数数y=kx2+(2k﹣1)x﹣1与x轴有两个交点,所以,方程kx2+(2k﹣1)x﹣1=0有两个不相等的实数根x1、x2,正确;
④∵(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=﹣
﹣
+1=﹣1<0,又x1<x2,
∴x1+1<x2+1,x1+1<0,x2+1>0,即x1<﹣1,x2>﹣1,正确.
∴正确的结论是①②④.
故选C.
点评:
主要考查了二次函数的性质与一元二次方程的根,及根与系数之间的关系.
8.(2007•随州)下列四个命题:
①点(﹣2,3)在第二象限;②直线y=x﹣2与y轴交于点(0,﹣2);③直线y=﹣x与双曲线y=
有两个交点;④抛物线y=x2﹣3x+4与x轴没有交点.其中正确命题是( )
A.
①③
B.
②④
C.
①②③
D.
①②④
考点:
抛物线与x轴的交点;点的坐标;一次函数图象上点的坐标特征.721891
专题:
压轴题.
分析:
注意象限内点的特点以及一次函数与二次函数图象的图象特征即可.
解答:
解:
①点(﹣2,3)在第二象限;(﹣,+)属于第二象限点的特征,正确;
②直线y=x﹣2与y轴交于点(0,﹣2);当x=0时,y=﹣2,正确;
③直线y=﹣x与双曲线y=
有两个交点,直线过的是二四象限,双曲线在一三象限,所以没有交点,错误;
④当y=0时,△<0,所以抛物线y=x2﹣3x+4与x轴没有交点,正确.
故选D.
点评:
本题考查了象限内点的特点以及各类函数图象的图象特征.需注意在做题过程中加以理解应用.
9.(2002•荆州)关于二次函数y=ax2+bx+c的图象有下列命题:
①当c=0时,函数的图象经过原点;
②当c>0,且函数的图象开口向下时,方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根;
③函数图象最高点的纵坐标是
;
④当b=0时,函数的图象关于y轴对称.
其中正确命题的个数是( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
考点:
抛物线与x轴的交点.721891
专题:
压轴题.
分析:
根据c与0的关系判断二次函数y=ax2+bx+c与y轴交点的情况;根据顶点坐标与抛物线开口方向判断函数的最值;根据函数y=ax2+c的图象与y=ax2图象相同,判断函数y=ax2+c的图象对称轴.
解答:
解:
(1)c是二次函数y=ax2+bx+c与y轴的交点,所以当c=0时,函数的图象经过原点;
(2)c>0时,二次函数y=ax2+bx+c与y轴的交点在y轴的正半轴,又因为函数的图象开口向下,所以方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根;
(3)当a<0时,函数图象最高点的纵坐标是
;当a>0时,函数图象最低点的纵坐标是
;由于a值不定,故无法判断最高点或最低点;
(4)当b=0时,二次函数y=ax2+bx+c变为y=ax2+c,又因为y=ax2+c的图象与y=ax2图象相同,所以当b=0时,函数的图象关于y轴对称.
三个正确,故选C.
点评:
二次函数y=ax2+bx+c的最值:
当a<0时,函数的最大值是
;当a>0时,函数的最小值是
.
10.(2013•石峰区模拟)如图,抛物线y=x2+1与双曲线y=
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