静电场专题5电场力做功电势能电势等势面电势差.docx
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静电场专题5电场力做功电势能电势等势面电势差
《静电场》专题5电场力做功、电势能、电势、等势面、电势差
1、知识清单
1.电场力做功的特点
(1)特点:
静电力做功与路径无关,只与初、末位置有关.可见电场力做功与重力做功相似.
(2)计算方法:
①W=qEd,只适用于匀强电场,其中d为沿电场方向的距离.
②WAB=qUAB,适用于任何电场.
2.电势能
(1)定义:
电荷在电场中具有的势能.电荷在某点的电势能,等于把它从该点移到零势能位置时电场力所做的功.
(2)电场力做功与电势能变化的关系:
电场力做的功等于电势能的减少量,即WAB=EpA-EpB.
(3)电势能的相对性:
电势能是相对的,通常把电荷在离场源电荷无限远处的电势能规定为零,或把电荷在大地表面上的电势能规定为零.
3.电势
(1)定义:
电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值.
(2)定义式:
φ=
.
(3)标矢性:
电势是标量,其大小有正负之分,其正(负)表示该点电势比电势零点高(低).
(4)相对性:
电势具有相对性,同一点的电势因零电势点的选取的不同而不同.
(5)沿着电场线方向电势逐渐降低.
4.等势面
(1)定义:
电场中电势相等的各点构成的面.
(2)特点
¢Ù电场线跟等势面垂直,即场强的方向跟等势面垂直.
¢Ú在等势面上移动电荷时电场力不做功.
¢Û电场线总是从电势高的等势面指向电势低的等势面.
¢Ü等差等势面越密的地方电场强度越大;反之越小.
¢Ý任意两等势面不相交.
深化拓展
(1)电势是描述电场本身的能的性质的物理量,由电场本身决定,而电势能反映电荷在电场中某点所具有的电势能,由电荷与电场共同决定.
(2)φ=
或Ep=φq.
5.电势差:
(1)定义:
电荷q在电场中A、B两点间移动时,电场力所做的功WAB跟它的电荷量q的比值,叫做A、B间的电势差,也叫电压.
公式:
UAB=
.单位:
伏(V).
(2)电势差与电势的关系:
UAB=φA-φB,电势差是标量,可以是正值,也可以是负值,而且有UAB=-UBA.
(3)电势差UAB由电场中A、B两点的位置决定,与移动的电荷q、电场力做的功WAB无关,与零电势点的选取也无关.
(4)电势差与电场强度的关系:
匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场线方向的距离的乘积.即U=Ed,也可以写作E=
.
6、电场线、电场强度、电势、电势差、电势能、等势面之间的关系
(1)电场线与电场强度:
电场线越密的地方表示电场强度越大,电场线上某点的切线方向表示该点的电场强度方向.
(2)电场线与等势面:
电场线与等势面垂直,并从电势较高的等势面指向电势较低的等势面.
(3)电场强度大小与电势:
无直接关系,零电势可人为选取,电场强度的大小由电场本身决定,故电场强度大的地方,电势不一定高.电场强度的方向是电势降低最快的方向.
(4)电势能与电势:
正电荷在电势高的地方电势能大;负电荷在电势低的地方电势能大.
(5)电势差与电场强度.在匀强电场中U=Ed,即在沿电场线方向上,U¡Ød.;在非匀强电场中U=Ed虽不能直接应用,但可以做定性判断.
7、常见问题
(1)电势高低的判断方法
①依据电场线方向:
沿电场线方向电势逐渐降低.
②依据电场力做功:
根据UAB=
,将WAB、q的正负号代入,判断出UAB的正负,再由UAB=¦ÕA-¦ÕB,比较¦ÕA、¦ÕB的大小,若UAB>0,则¦ÕA>¦ÕB,若UAB<0,则¦ÕA<¦ÕB.
③电荷的正负:
取无穷远处电势为零,正电荷周围电势为正值,负电荷周围电势为负值;靠近正电荷处电势高,靠近负电荷处电势低.
④依据电势能的高低:
正电荷在电势能大处电势较高,负电荷在电势能大处电势较低.
(2)电势能高低的四种判断方法
①做功判断法:
电场力做正功,电势能减小;电场力做负功,电势能增大.
②电荷电势法:
正电荷在电势高的地方电势能大,负电荷在电势低的地方电势能大.
③公式法:
由Ep=qφ,将q、¦Õ的大小、正负号一起代入公式,Ep的正值越大,电势能越大,Ep的负值越小,电势能越大.
④能量守恒法:
在电场中,若只有电场力做功时,电荷的动能和电势能相互转化,动能增大时,电势能减小,反之电势能增大.
(3)带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法(画三类线等势线,电场线,轨迹线;找一个点,电场线和轨迹线的交点;确定两个方向,速度方向和电场力的方向;判断两组关系,力与运动的关系,功和能的关系)
①某点速度方向即为该点轨迹的切线方向.
②从轨迹的弯曲方向判断受力方向(轨迹向合外力方向弯曲),从而分析电场方向或电荷的正负.
③结合轨迹、速度方向与电场力的方向,确定电场力做功的正负,从而确定电势能、电势和电势差的变化等.
(4)电势差与电场强度的关系
①在匀强电场中,不与电场线垂直的同一直线上的距离相同的两点间的电势差相等,相互平行的相等线段的两端点电势差也相等.
②在匀强电场中,不与电场线垂直的同一条直线上或几条相互平行的直线上两点间的电势差与两点间的距离成正比.如图6所示AC∥PR,则有:
=
=
=
.
图6
(5)如何确定匀强电场中的电场线
①先确定等势线,根据“两点确定一条直线”,找出电场中电势相等的两个点,然后连接成一条等势线;因匀强电场的电势在一条直线上均匀变化,任一线段中点的电势为两端点电势的平均值.
②电场线跟等势线一定垂直,作出等势线的垂线即得电场线.
③比较电势的高低,即沿着电场线的方向,电势逐渐降低;根据电势高低在电场线上标出箭头,表示电场的方向.
2、典型题型
例题1、(2013·山东·19)如图1所示,在x轴上相距为L的两点固定两个等量异种点电荷+Q、-Q,虚线是以+Q所在点为圆心、
为半径的圆,a、b、c、d是圆上的四个点,其中a、c两点在x轴上,b、d两点关于x轴对称.下列判断正确的是( ABD )
图1
A.b、d两点处的电势相同B.四个点中c点处的电势最低
C.b、d两点处的电场强度相同D.将一试探电荷+q沿圆周由a点移至c点,+q的电势能减小
解析 在两等量异种电荷产生的电场中,根据电场分布规律和电场的对称性可以判断,b、d两点电势相同,均大于c点电势,b、d两点场强大小相同但方向不同,选项A、B正确,C错误.将+q沿圆周由a点移至c点,+Q对其不做功,-Q对其做正功,所以+q的电势能减小,选项D正确.
例题2、如图4所示,xOy平面内有一匀强电场,场强为E,方向未知,电场线跟x轴的负方向夹角为θ,电子在坐标平面xOy内,从原点O以大小为v0、方向沿x轴正方向的初速度射入电场,最后打在y轴上的M点.电子的质量为m,电荷量为e,重力不计.则( D)
A.O点电势高于M点电势
B.运动过程中,电子在M点电势能最大
C.运动过程中,电子的电势能先减少后增加
D.电场力对电子先做负功,后做正功
解析 由电子的运动轨迹知,电子受到的电场力方向斜向左上,故电场方向斜向右下,M点电势高于O点电势,A错误;电子在M点电势能最小,B错误;运动过程中,电子先克服电场力做功,电势能增加,后电场力对电子做正功,电势能减少,故C错误,D正确.
例题3、如图8所示,匀强电场中有a、b、c三点,在以它们为顶点的三角形中,¡Ïa=30°,¡Ïc=90°.电场方向与三角形所在平面平行.已知a、b和c点的电势分别为(2-
)V、(2+
)V和2V.该三角形的外接圆上最低、最高电势分别为( B )
A.(2-
)V、(2+
)VB.0、4V
C.
V、
VD.0、2
V
解析 如图所示,根据匀强电场的等势面是平行等间距排列的,且电场线与等势面处处垂直,沿着电场线方向电势均匀降落,取ab的中点O,即三角形的外接圆的圆心,且该点电势为2V,故Oc为等势线,作出一条电场线MN,电场方向为M指向N,过a点作aP⊥MN于P点,则有UOP=UOa=
V,UON∶UOP=2∶
,故UON=2V,N点电势为零,为最低电势点,同理可知M点电势为4V,为最高电势点.
例题4、空间有一匀强电场,在电场中建立如右图所示的直角坐标系O-xyz,M、N、P为电场中的三个点,M点的坐标为(0,a,0),N点的坐标为(a,0,0),P点的坐标为.已知电场方向平行于直线MN,M点电势为0,N点电势为1V,则P点的电势为( )
A.V B.V
C.V D.V
解析:
MN间的距离为a,P点在MN连线上的投影点离M点的距离为,所以P点的电势为:
×1=V,D正确.
答案:
D
例题5、(2018全国高考2卷如图,同一平面内的a、b、c、d四点处于匀强电场中,电场方向与此平面平行,M为a、c连线的中点,N为b、d连线的中点。
一电荷量为q(q>0)的粒子从a点移动到b点,其电势能减小W1:
若该粒子从c点移动到d点,其电势能减小W2,下列说法正确的是()
A.此匀强电场的场强方向一定与a、b两点连线平行
B.若该粒子从M点移动到N点,则电场力做功一定为
C.若c、d之间的距离为L,则该电场的场强大小一定为
D.若W1=W2,则a、M两点之间的电势差一定等于b、N两点之间的电势差
【答案】BD
点睛:
对匀强电场的电场特征要了解,利用电场力做功与电势差之间的关系求解。
练习1:
关于电势差的计算公式,下列说法正确的是( BC )
A.电势差的公式UAB=
说明两点间的电势差UAB与电场力做功WAB成正比,与移动电荷的电荷量q成反比
B.把正电荷从A点移到B点电场力做正功,则有UAB>0
C.电势差的公式UAB=
中,UAB与移动电荷的电荷量q无关
D.电场中A、B两点间的电势差UAB等于把正电荷q从A点移动到B点时电场力所做的功
解析 电场中两点间的电势差是一个定值,不会随着电场力做的功WAB和移动电荷的电荷量q的变化而变化,故A错,C对;又由UAB=
知,电场力做正功,q为正电荷,则电势差为正,即B正确;电场中A、B两点间的电势差UAB等于把单位正电荷从A点移动到B点时电场力所做的功,故D错误.
练习2:
(2014·新课标Ⅰ·21)如图15所示,在正点电荷Q的电场中有M、N、P、F四点,M、N、P为直角三角形的三个顶点,F为MN的中点,∠M=30°.M、N、P、F四点处的电势分别用φM、φN、φP、φF表示.已知φM=φN,φP=φF;点电荷Q在M、N、P三点所在平面内,则( AD )
图15
A.点电荷Q一定在MP的连线上
B.连接PF的线段一定在同一等势面上
C.将正试探电荷从P点搬运到N点,电场力做负功
D.φP大于φM
解析 本题根据点电荷形成电场中等势面的特点及在任何电场中电场线与等势面垂直的特性进行解题,电场是由正点电荷产生的,所以电场线由正点电荷指向无穷远处,并且跟点电荷距离相等的点,电势相等,场强大小相等.由于φM=φN,φP=φF,所以点电荷Q到M和N的距离相等,到P和F的距离相等,即过F作MN的中垂线,然后作FP的中垂线,两中垂线的交点为点电荷Q所在的位置,由几何知识得Q在MP上,如图所示,故选项A正确;点电荷形成的电场中等势面是球面,故选项B错误;正试探电荷与Q同号,所以受斥力作用,故将其从P点搬运到N点时,电场力做正功,故选项C错误;由几何关系知点电荷Q距M的距离大,距P的距离小,所以φM<φP,故选项D正确.
练习3:
[电场强度和电势的理解](2014·新课标Ⅱ·19)关于静电场的电场强度和电势,下列说法正确的是( AD )
A.电场强度的方向处处与等电势面垂直
B.电场强度为零的地方,电势也为零
C.随着电场强度的大小逐渐减小,电势也逐渐降低
D.任一点的电场强度总是指向该点电势降落最快的方向
解析 电场线与等势面垂直,而电场强度的方向为电场线的方向,故电场强度的方向与等势面垂直,选项A正确;场强为零的地方电势不一定为零,例如等量同种正电荷连线的中点处的场强为零但是电势大于零,选项B错误;场强大小与电场线的疏密程度有关,而沿着电场线的方向电势逐渐降低,故随电场强度的大小逐渐减小,电势不一定降低,选项C错误;任一点的电场强度方向总是和电场线方向一致,而电场线的方向是电势降落最快的方向,选项D正确.
练习4:
[电场强度、电势、电势能的大小判断](2013·江苏·6)将一电荷量为+Q的小球放在不带电的金属球附近,所形成的电场线分布如图2所示,金属球表面的电势处处相等.a、b为电场中的两点,则( )
图2
A.a点的电场强度比b点的大
B.a点的电势比b点的高
C.检验电荷-q在a点的电势能比在b点的大
D.将检验电荷-q从a点移到b点的过程中,电场力做负功
答案 ABD
解析 电场线的疏密程度表示场强的大小,A正确;沿电场线方向电势降低,B正确;负电荷在电势越高的位置电势能越小,C错误;因负电荷从a点移到b点的过程中电势能增大,由功能关系知电场力必做负功,D正确.
练习5:
a、b、c、d是匀强电场中的四个点,它们正好是一个矩形的四个顶点.电场线与矩形所在平面平行.已知a点的电势为20V,b点的电势为24V,d点的电势为4V,如图9所示,由此可知c点的电势为( )
A.4VB.8V
C.12VD.24V
答案 B
练习6:
如图2所示,在匀强电场中有四个点A、B、C、D,恰好为平行四边形的四个顶点,O点为平行四边形两条对角线的交点.已知:
φA=-4V,φB=6V,φC=8V,则φD、φO分别为( )
图2
A.-6V,6VB.2V,1VC.-2V,2VD.-4V,4V
答案 C
练习7:
如图7所示,在平面直角坐标系中,有方向平行于坐标平面的匀强电场,其中坐标原点O处的电势为0,点A处的电势为6V,点B处的电势为3V,则电场强度的大小为( A )
图7
A.200V/mB.200
V/m
C.100V/mD.100
V/m
解析
设OA中点为C,由
=
可得C点的电势φC=3V,φC=φB,即B、C在同一等势面上,如图所示,由电场线与等势面的关系和几何关系知:
d=1.5cm.则E=
=
V/m=200V/m,A正确.
练习8:
如图8所示,以O点为圆心,以R=0.20m为半径的圆与坐标轴交点分别为a、b、c、d,该圆所在平面内有一匀强电场,场强方向与x轴正方向成θ=60°角,已知a、b、c三点的电势分别为4
V、4V、-4
V,则下列说法正确的是( D )
图8
A.该匀强电场的场强E=40
V/mB.该匀强电场的场强E=80V/m
C.d点的电势为-2
VD.d点的电势为-4V
答案 解析 a、c两点之间的电势差U=4
V-(-4
V)=8
V,a、c两点之间沿电场线方向的距离d=2Rsin60°=
R=0.2
m.该匀强电场的场强E=
=40V/m,选项A、B错误.b、d之间沿电场线方向的距离d′=2Rcos60°=R=0.2m.b、d之间电势差U′=Ed′=8V,由φb-φd=8V可得d点的电势为φd=-4V,选项C错误,D正确.
练习9:
如图4所示,a、b、c、d是匀强电场中的四个点,它们正好是一个梯形的四个顶点.电场线与梯形所在的平面平行.ab平行于cd,且ab边长为cd边长的一半.已知a点的电势是3V,b点的电势是5V,c点的电势是7V.由此可知,d点的电势为( C )
图4
A.1VB.2VC.3VD.4V
解析 ab边与cd边相互平行,相等长度的两点电势差大小相等,a、b两点的电势差为2V,dc距离为ab的2倍,则d、c两点电势差也是a、b两点间电势差的2倍即4V,d点的电势为3V,C正确.
练习10:
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如图5是某一点电荷形成的电场中的一条电场线,A、B是电场线上的两点,一负电荷q仅在电场力作用下以初速度v0从A向B运动并经过B点,一段时间后q以速度v又一次经过A点,且v与v0的方向相反,则以下说法中正确的是( BCD )
A.A、B两点的电场强度是EA B.A、B两点的电势是φA>φB C.负电荷q在A、B两点的电势能EpA D.负电荷q先后经过A点的速度大小v0=v 解析 由于负电荷从A至B减速运动,则电场力的方向由B¡úA,电场E的方向应由A¡úB,所以φA>φB,EpA 练习11: (2014·江苏·4)如图13所示,一圆环上均匀分布着正电荷,x轴垂直于环面且过圆心O.下列关于x轴上的电场强度和电势的说法中正确的是( B ) 图13 A.O点的电场强度为零,电势最低 B.O点的电场强度为零,电势最高 C.从O点沿x轴正方向,电场强度减小,电势升高 D.从O点沿x轴正方向,电场强度增大,电势降低 解析 根据电场的叠加原理和电场线的性质解题,根据电场的对称性和电场的叠加原理知,O点的电场强度为零.在x轴上,电场强度的方向自O点分别指向x轴正方向和x轴负方向,且沿电场线方向电势越来越低,所以O点电势最高.在x轴上离O点无限远处的电场强度为零,故沿x轴正方向和x轴负方向的电场强度先增大后减小,选项B正确. 练习12: (2014海南卷。 9)如图(a),直线MN表示某电场中一条电场线,a、b是线上的两点,将一带负电荷的粒子从a点处由静止释放,粒子从a运动到b过程中的v-t图线如图(b)所示,设a、b两点的电势分别为 、 ,场强大小分别为 、 ,粒子在a、b两点的电势能分别为 、 ,不计重力,则有(BD) A. > B. > C. < D. > 【解析】由v-t图像的斜率渐小可知由a到b的过程中,粒子的加速度渐小,所以场强渐小, > ;根据动能定理,速度增大,可知势能减小, > ,可得选项BD正确。 练习13: 将两金属球P、Q固定,让球P带上正电后,形成稳定的电场如图2所示,已知实线为电场线,虚线为等势面,其中A、B、C、D为静电场中的四点,则( C ) 图2 A.C、D两点的电场强度相同,电势相等B.A、B两点的电势相同,电场强度不同 C.将电子从A点移至B点,电场力做负功D.将电子从A点移至D点,电势能增大 解析 C、D两点在同一等势面上,电势相等,但场强方向不同,故电场强度不相同,则A选项错误;A、B两点不在同一等势面上,电势不相同,场强方向相反,电场强度不同,故B选项错误;由题图可知从A点移至B点电势降低,故将电子从A点移至B点,电场力做负功,则C选项正确;A点、D点在同一等势面上,故将电子从A点移至D点,电场力不做功,电势能不变,故D选项错误. 练习14: 如图5所示,在xOy坐标系中,x轴上关于y轴对称的A、C两点固定等量异种点电荷+Q、-Q,B、D两点分别位于第二、四象限,ABCD为平行四边形,边BC、AD分别与y轴交于E、F,以下说法正确的是( ABD ) 图5 A.E、F两点电势相等 B.B、D两点电场强度相同 C.试探电荷+q从B点移到D点,电势能增加 D.试探电荷+q从B点移到E点和从F点移到D点,电场力对+q做功相同 解析 等量异种点电荷+Q、-Q连线的垂直平分线是一条等势线,所以y轴是一条等势线,E、F的电势相等,故A正确.根据电场线的分布情况和对称性可知,B、D两点电场强度相同,故B正确.根据顺着电场线电势降低可知,B点的电势高于D点的电势,而正电荷在电势高处电势能大,所以试探电荷+q从B点移到D点,电势能减小,故C错误.由以上分析可知,B、E间的电势差等于F、D间的电势差,根据电场力做功公式W=qU得知+q从B点移到E点和从F点移到D点,电场力对+q做功相同,故D正确. 练习15: (2016·全国Ⅰ卷·20)如图4所示,一带负电荷的油滴在匀强电场中运动,其轨迹在竖直面(纸面)内,且相对于过轨迹最低点P的竖直线对称.忽略空气阻力.由此可知( AB ) 图4 A.Q点的电势比P点高 B.油滴在Q点的动能比它在P点的大 C.油滴在Q点的电势能比它在P点的大 D.油滴在Q点的加速度大小比它在P点的小 相对于过轨迹最低点P的竖直线对称. 答案 解析 由于油滴受到的电场力和重力都是恒力,所以合外力为恒力,加速度恒定不变,所以D选项错;由于油滴轨迹相对于过P的竖直线对称且合外力总是指向轨迹弯曲内侧,所以油滴所受合外力沿竖直向上的方向,因此电场力竖直向上,且qE>mg,则电场方向竖直向下,所以Q点的电势比P点的高,A选项正确;当油滴从P点运动到Q点时,电场力做正功,电势能减小,C选项错误;当油滴从P点运动到Q点的过程中,合外力做正功,动能增加,所以Q点动能大于P点的动能,B选项正确. 练习16: (2016·全国Ⅲ卷·15)关于静电场的等势面,下列说法正确的是( B ) A.两个电势不同的等势面可能相交 B.电场线与等势面处处相互垂直 C.同一等势面上各点电场强度一定相等 D.将一负的试探电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面,电场力做正功 解析 若两个不同的等势面相交,则在交点处存在两个不同电势数值,与事实不符,A错;电场线一定与等势面垂直,B对;同一等势面上的电势相同,但电场强度不一定相同,C错;将一负电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面,电场力做负功,D错. 练习17: (2016·全国Ⅱ卷·15)如图5所示,P是固定的点电荷,虚线是以P为圆心的两个圆.带电粒子Q在P的电场中运动,运动轨迹与两圆在同一平面内,a、b、c为轨迹上的三个点.若Q仅受P的电场力作用,其在a、b、c点的加速度大小分别为aa、ab、ac,速度大小分别为va、vb、vc,则( D ) 图5 A.aa>ab>ac,va>vc>vbB.aa>ab>ac,vb>vc>va C.ab>ac>aa,vb>vc>vaD.ab>ac>aa,va>vc>vb 解析 由库仑定律F= 可知,粒子在a、b、c三点受到的电场力的大小关系为Fb>Fc>Fa,由a= ,可知ab>ac>aa.根据粒子的轨迹可知,粒子Q与场源电荷P的电性相同,二者之间存在斥力,由c→b→a整个过程中,电场力先做负功再做正功,且Wba>|Wcb|,结合动能定理可知,va>vc>vb,故选项D正确. 18.(2018武汉四月调考)如图所示,某空间分布着匀强电场,场中有与电场方向平行的四边形ABCD,其中M为AD的中点,N为BC的中点。 将电荷量为+q的粒子,从A点移动到B点,电势能减小E1;将该粒子从D点移动到C点,电势能减小E2。 下列说法正确的是(CD) A.D点的电势一定比A点的电势高 B.匀强电场的电场强度方向必沿DC方向 C.若A、B之间的距离为d,则该电场的电场强度的最小值为 D.若将该粒子从M点移动到N点,电场力做功 【解析】根据电场力做功和电势能的变化关系可得, , ,由于正电荷电势能减小,故 , 。 又由匀强电场中电势的特点可知, , 。 由上述分析可知,并不能判定D、A两点的电势高低,也不能说明匀强电场的方向,故AB错误; 假设AB直线的距离与电场强度方向之间的夹角为 ,则由匀强电场做功公式知 ,可得 ,则电场强度最小值即为 ,故C正确; 由上述分析可知, ,故D正确。 【说明】本题考查匀强电场中电场力做功和电势的关系,注重基础性,考查理解能力、推理能力。 19.在某空间有一匀强电场,在电场中建立如图所示的直角坐
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