精品教育人教版高中物理选修35学案第十六章学案2动量和动量定理.docx
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精品教育人教版高中物理选修35学案第十六章学案2动量和动量定理
2 动量和动量定理
[学习目标]1.理解动量和动量的变化及其矢量性,会计算一维情况下的动量变化量.2.理解冲量的概念,理解动量定理及其表达式.3.能够利用动量定理解释有关现象和解决实际问题.
一、动量
[导学探究] 一辆玩具小汽车向你驶来,碰了你一下,玩具小汽车可能被碰翻或者改变运动方向,假如一辆大汽车以同样的速度向你驶来,被碰翻的肯定不是大汽车…….这说明运动物体产生的效果不仅与速度有关,而且与质量有关.
(1)什么是动量?
动量的方向如何确定?
做匀速圆周运动的物体动量是否变化?
(2)什么是动量的变化量?
动量变化量的方向如何确定?
答案
(1)运动物体的质量和速度的乘积是动量.动量的方向与速度的方向相同.物体做匀速圆周运动时,速度大小不变,方向时刻改变,故动量发生变化.
(2)如果物体在一条直线上运动,首先规定正方向,将矢量运算转化为代数运算.动量变化量Δp=p′-p=m(v′-v)=m·Δv为矢量式,其方向与Δv的方向相同.
[知识梳理] 动量和动量的变化量:
(1)对动量p=mv的理解
①动量的矢量性:
动量是矢(填“矢”或“标”)量,方向与速度的方向相同,运算遵循平行四边形定则.
②动量是状态量:
进行运算时必须明确是哪个物体在哪一状态(时刻)的动量.
(2)对动量变化Δp=p′-p的理解
①矢量性:
与速度变化的方向相同.
②若p′、p不在一条直线上,要用平行四边形定则求矢量差.
③若p′、p在一条直线上,先规定正方向,再用正、负表示p′、p,则可用Δp=p′-p=mv′-mv进行代数运算.
(3)动量p=mv与动能Ek=
mv2的区别
①动量是矢量,而动能是标量.
②当速度发生变化时,物体的动量发生变化,而动能不一定(填“一定”或“不一定”)发生变化.
[即学即用] 下列关于动量的说法正确的是( )
A.质量大的物体的动量一定大
B.质量和速率都相同的物体的动量一定相同
C.一个物体的动量改变,它的动能一定改变
D.一个物体的动能变化,它的动量一定改变
答案 D
解析 根据动量的定义,它是质量和速度的乘积,因此它由质量和速度共同决定,故A错误;又因为动量是矢量,它的方向与速度的方向相同,而质量和速率都相同的物体,其动量大小一定相同,但方向不一定相同,故B错误;一个物体的动量改变,可能只是速度方向改变,速度大小不变,如匀速圆周运动.故动能不一定改变,C项错误;物体的动能变化,则它的速度大小就一定发生了变化,它的动量也一定发生了变化,故D正确.
二、动量定理
[导学探究] 如图1所示,一个质量为m的物体在碰撞时受到另一个物体对它的力是恒力F,在F作用下,经过时间t,速度从v变为v′,应用牛顿第二定律和运动学公式推导物体的动量改变量Δp与恒力F及作用时间t的关系.
图1
答案 这个物体在碰撞过程中的加速度a=
①
根据牛顿第二定律F=ma②
由①②得F=m
整理得:
Ft=m(v′-v)=mv′-mv
即Ft=mv′-mv=Δp.
[知识梳理] 对动量定理和冲量概念的理解
(1)冲量
①冲量的定义式:
I=Ft.
②冲量是过程(填“过程”或“状态”)量,反映的是力在一段时间内的积累效应,求冲量时一定要明确是哪一个力在哪一段时间内的冲量.
③冲量是矢(填“矢”或“标”)量,冲量的方向与力F的方向相同.
(2)动量定理
①物体在一个过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量.
②动量定理的数学表达式:
Ft=mv′-mv,其中F为物体受到的合外力.
(3)对动量定理的理解
①动量定理反映了合外力的冲量是动量变化的原因.
②动量定理的表达式是矢量式,运用动量定理解题时,要注意规定正方向.
③公式中的F是物体所受的合外力,若合外力是变力,则F应是合外力在作用时间内的平均值.
[即学即用]
(1)(多选)下列关于冲量概念和动量定理的说法正确的是( )
A.冲量是矢量,其方向与力的方向相同
B.力越大,力对物体的冲量越大
C.若物体在一段时间内,其动量发生了变化,则物体在这段时间内的合外力一定不为零
D.不管物体做什么运动,在相同的时间内重力的冲量相同
答案 ACD
(2)运输易碎物品时包装箱内为什么放置碎纸、泡沫塑料等柔软填充物?
答案 物体的动量变化量一定时,力的作用时间越短,力就越大,反之就越小.运输易碎物品包装箱内放置碎纸、泡沫塑料等柔软填充物是为了增大作用时间以减小物品受到的作用力.
一、对动量及变化量的理解
例1 羽毛球是速度较快的球类运动之一,运动员扣杀羽毛球的速度可达到100m/s,假设球飞来的速度为50m/s,运动员将球以100m/s的速度反向击回.设羽毛球的质量为10g,试求:
(1)运动员击球过程中羽毛球的动量变化量;
(2)运动员击球过程中羽毛球的动能变化量.
解析
(1)以羽毛球飞来的方向为正方向,则
p1=mv1=10×10-3×50kg·m/s=0.5kg·m/s.
p2=mv2=-10×10-3×100kg·m/s=-1kg·m/s
所以动量的变化量Δp=p2-p1=-1kg·m/s-0.5kg·m/s=-1.5kg·m/s.
即羽毛球的动量变化量大小为1.5kg·m/s,方向与羽毛球飞来的方向相反.
(2)羽毛球的初动能:
Ek=
mv
=12.5J,羽毛球的末动能:
Ek′=
mv
=50J.所以ΔEk=Ek′-Ek=37.5J.
答案
(1)1.5kg·m/s,方向与羽毛球飞来的方向相反
(2)37.5J
总结提升
动量和动能的比较
动量
动能
物理意义
描述机械运动状态的物理量
定义式
p=mv
Ek=
mv2
标矢性
矢量
标量
变化决定因素
物体所受冲量
外力所做的功
换算关系
p=
,Ek=
特别提醒
比较两个物体动量时,不能仅比较大小,也应比较方向
二、冲量及冲量的计算
例2 在倾角为37°、足够长的斜面上,有一质量为5kg的物体沿斜面滑下,物体与斜面间的动摩擦因数μ=0.2,求物体下滑2s的时间内,物体所受各力的冲量.(g取10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8)
解析 物体沿斜面下滑的过程中,受重力、支持力和摩擦力的作用.冲量I=Ft,是矢量.
重力的冲量IG=Gt=mgt=5×10×2N·s=100N·s,方向竖直向下.
支持力的冲量IFN=FNt=mgcosα·t=5×10×0.8×2N·s=80N·s,方向垂直于斜面向上.
摩擦力的冲量IFf=Fft=μmgcosα·t=0.2×5×10×0.8×2N·s=16N·s,方向沿斜面向上.
答案 见解析
总结提升
1.求冲量大小时,一定要注意哪个力在哪一段时间内的冲量,只要力不为零,一段时间内的冲量就不为零.
2.公式I=Ft只适合于计算恒力的冲量,若是变力的冲量,可考虑用以下方法求解:
(1)用动量定理求冲量.
(2)若力与时间成线性关系变化,则可用平均力求冲量.
(3)若给出了力F随时间t变化的图象,可用F-t图象与t轴所围的面积求冲量.
三、动量定理的理解和应用
例3 篮球运动员通常伸出双手迎接传来的篮球.接球时,两手随球迅速收缩至胸前.这样做可以( )
A.减小球对手的冲量
B.减小球对手的冲击力
C.减小球的动量变化量
D.减小球的动能变化量
解析 由动量定理Ft=Δp知,接球时两手随球迅速收缩至胸前,延长了手与球接触的时间,从而减小了球的动量变化率,减小了球对手的冲击力,选项B正确.
答案 B
总结提升
应用动量定理分析有关现象主要有两个方面的问题
(1)物体的动量变化量一定时,力的作用时间越短,力就越大,反之力就越小.如本题所述现象.
(2)作用力一定时,力的作用时间越长,动量变化量越大,反之动量变化量就越小.例如,杂耍中,用铁锤猛击“气功师”身上的石板令其碎裂,作用时间很短,铁锤对石板的冲量很小,石板的动量几乎不变,“气功师”才不会受伤害.
例4 质量m=70kg的撑竿跳高运动员从h=5.0m高处落到海绵垫子上,经Δt1=1s后停止,则该运动员身体受到的平均冲力约为多少?
如果是落到普通沙坑中,经Δt2=0.1s停下,则沙坑对运动员的平均冲力约为多少?
(g取10m/s2)
解析 以全过程为研究对象,初、末动量的数值都是0,所以运动员的动量变化量为零,根据动量定理,合力的冲量为零,根据自由落体运动的知识,运动员下落的时间t=
=1s
下落到海绵垫子上时,mg(t+Δt1)-
Δt1=0
代入数据,解得
=1400N
下落到沙坑中,mg(t+Δt2)-
Δt2=0
代入数据,解得
=7700N.
答案 1400N 7700N
总结提升
1.应用动量定理定量计算的一般步骤
→
→
2.用动量定理进行定量计算时注意:
(1)列方程前首先选取正方向;
(2)分析速度时一定要选取同一参考系,一般是选地面为参考系;
(3)公式中的冲量应是合外力的冲量,求动量的变化量时要严格按公式,且要注意动量的变化量是末动量减去初动量.
1.(多选)下面关于物体动量和冲量的说法正确的是( )
A.物体所受合外力冲量越大,它的动量也越大
B.物体所受合外力冲量不为零,它的动量一定要改变
C.物体动量增量的方向,就是它所受冲量的方向
D.物体所受合外力越大,它的动量变化就越快
答案 BCD
解析 由Ft=Δp知,Ft≠0,即动量一定变化,Ft越大,Δp越大,但动量不一定大,它还与初态的动量有关,故A错误,B正确;冲量不仅与Δp大小相等,而且方向相同,所以C正确;由F=
知,物体所受合外力越大,动量的变化率
越大,即动量变化越快,D正确.
2.(多选)从同样高度落下的玻璃杯,掉在水泥地上容易打碎,而掉在草地上不容易打碎,其原因是( )
A.掉在水泥地上的玻璃杯动量大,而掉在草地上的玻璃杯动量小
B.掉在水泥地上的玻璃杯动量改变大,掉在草地上的玻璃杯动量改变小
C.掉在水泥地上的玻璃杯动量改变快,掉在草地上的玻璃杯动量改变慢
D.掉在水泥地上的玻璃杯与地面接触时,相互作用时间短,而掉在草地上的玻璃杯与地面接触时,相互作用时间长
答案 CD
3.质量为1kg的物体做直线运动,其速度—时间图象如图2所示.则物体在前10s内和后10s内所受合外力的冲量分别是( )
图2
A.10N·s,10N·sB.10N·s,-10N·s
C.0,10N·sD.0,-10N·s
答案 D
解析 由图象可知,在前10s内初、末状态的动量相同,p1=p2=5kg·m/s,由动量定理知I1=0;在后10s内末状态的动量p3=-5kg·m/s,由动量定理得I2=p3-p2=-10N·s,故正确答案为D.
4.0.2kg的小球竖直向下以6m/s的速度落至水平地面,再以4m/s的速度反向弹回,取竖直向上为正方向.
(1)则小球与地面碰撞前后的动量变化量为多少?
(2)若小球与地面的作用时间为0.2s,则小球受到地面的平均作用力为多少?
答案
(1)2
(2)12,方向竖直向上
解析
(1)小球与地面碰撞前的动量为:
p1=m(-v1)=0.2×(-6)kg·m/s=-1.2kg·m/s
小球与地面碰撞后的动量为
p2=mv2=0.2×4kg·m/s=0.8kg·m/s
小球与地面碰撞前后动量的变化量为
Δp=p2-p1=2kg·m/s
(2)由动量定理得
(F-mg)Δt=Δp
所以F=
+mg=
N+0.2×10N=12N,方向竖直向上.
一、选择题(1~6为单选题,7~11为多选题)
1.从某高处落下一个鸡蛋,分别落到棉絮上和水泥地上,下面结论正确的是( )
A.落到棉絮上的鸡蛋不易破碎,是因为它的动量变化小
B.落到水泥地上的鸡蛋易碎,是因为它受到的冲量大
C.落到棉絮上的鸡蛋不易破碎,是因为它的动量变化率大
D.落到水泥地上的鸡蛋易碎,是因为它的动量变化快
答案 D
解析 落到棉絮上的鸡蛋不易碎,而落到水泥地上的鸡蛋易碎,不是其动量大小和冲量大小的原因,而是其动量变化快,所受的冲力大造成的,故只有D正确.
2.放在水平桌面上的物体质量为m,用一个大小为F的水平推力推它t秒,物体始终不动,那么t秒内,推力对物体的冲量大小是( )
A.F·tB.mg·t
C.0D.无法计算
答案 A
解析 根据冲量的定义,冲量的大小是力与其作用时间的乘积,与重力无关,故A正确.
3.质量为m的物体以v的初速度竖直向上抛出,经时间t,达到最高点,速度变为0,以竖直向上为正方向,在这个过程中,物体的动量变化量和重力的冲量分别是( )
A.-mv和-mgtB.mv和mgt
C.mv和-mgtD.-mv和mgt
答案 A
解析 以竖直向上为正方向,则末动量为0,初动量为mv,所以动量变化量为-mv;重力为负,所以重力冲量为-mgt,正确答案为A.
4.质量为60kg的建筑工人,不慎从高空跌下,幸好弹性安全带的保护使他悬挂起来.已知弹性安全带的缓冲时间是1.5s,安全带自然长度为5m,g取10m/s2,则安全带所受的平均冲力的大小为( )
A.500NB.1100N
C.600ND.1000N
答案 D
解析 建筑工人下落5m时速度为v,则v=
=
m/s=10m/s,设安全带所受平均冲力为F,则由动量定理得:
(mg-F)t=-mv,所以F=mg+
=60×10N+
N=1000N,故D对,A、B、C错.
5.物体在恒定的合力F作用下做直线运动,在时间Δt1内速度由0增大到v,在时间Δt2内速度由v增大到2v.设F在Δt1内做的功是W1,冲量是I1;在Δt2内做的功是W2,冲量是I2.那么( )
A.I1<I2,W1=W2B.I1<I2,W1<W2
C.I1=I2,W1=W2D.I1=I2,W1<W2
答案 D
解析 在Δt1内,I1=FΔt1=mv-0=mv,
在Δt2内,I2=FΔt2=2mv-mv=mv,
所以I1=I2,
又因为W1=
mv2,
W2=
m(2v)2-
mv2=
mv2,
所以W1<W2,选项D正确.
6.质量为2kg的物体放在光滑水平面上,受到水平方向成30°角的斜向上的拉力F=3N的作用,经过10s(取g=10m/s2)( )
A.力F的冲量为15
N·s
B.物体的动量的变化是30kg·m/s
C.重力的冲量是零
D.地面支持力的冲量是185N·s
答案 D
解析 拉力F向上的分量为1.5N,地面支持力为18.5N,拉力F沿水平方向的分力为
N,所以力F的冲量为30N·s,合力的冲量为15
N·s,则动量的变化量为15
kg·m/s,重力的冲量为200N·s,地面支持力的冲量为185N·s,选项D正确.
7.一个质量为m的物体放在光滑水平面上,今以恒力F沿水平方向推该物体,经过相同的时间,下列说法正确的是( )
A.物体的位移相等
B.物体冲量相等
C.F对物体做的功相等
D.物体动量的变化量相等
答案 BD
解析 物体m在光滑水平面上,用恒力F水平推动,做匀加速直线运动,经相同的时间,其位移越来越大,F对物体做功越来越大,物体动量增量也越来越大,故A、C均错误;由动量定理可知,力F在相同的时间内,对物体的冲量相同,物体动量的变化量相等,B、D正确.
8.A、B两球质量相等,A球竖直上抛,B球平抛,两球在运动中空气阻力不计,则下列说法中正确的是( )
A.相同时间内,动量的变化大小相等,方向相同
B.相同时间内,动量的变化大小相等,方向不同
C.动量的变化率大小相等,方向相同
D.动量的变化率大小相等,方向不同
答案 AC
解析 A、B球在空中只受重力作用,因此相同时间内重力的冲量相同,因此两球动量的变化大小相等、方向相同,A选项正确;动量的变化率为
=m
=mg,大小相等、方向相同,C选项正确.
9.如图1所示,把重物G压在纸带上,用一水平力缓慢拉动纸带,重物跟着纸带一起运动,若迅速拉动纸带,纸带将会从重物下抽出,解释这些现象的正确说法是( )
图1
A.在缓慢拉动纸带时,重物和纸带间摩擦力小
B.在迅速拉动纸带时,纸带给重物的摩擦力大
C.在缓慢拉动纸带时,纸带给重物的冲量大
D.在迅速拉动纸带时,纸带给重物的冲量小
答案 CD
解析 在缓慢拉动纸带时,重物与纸带之间是静摩擦力,在迅速拉动纸带时,它们之间是滑动摩擦力,静摩擦力与滑动摩擦力可认为相同.缓慢拉动纸带时,作用时间长,摩擦力的冲量大,重物的动量变化大,所以重物跟着纸带一起运动;迅速拉动纸带时,作用时间短,滑动摩擦力的冲量小,重物的动量变化小,所以重物几乎不动.
10.一粒钢珠从静止状态开始自由下落,然后陷入泥潭中.若把其在空中下落的过程称为过程Ⅰ,进入泥潭起到停止的过程称为过程Ⅱ,则( )
A.过程Ⅰ中钢珠的动量的改变量等于重力的冲量
B.过程Ⅱ中阻力的冲量大小等于过程Ⅰ中重力的冲量的大小
C.Ⅰ、Ⅱ两个过程中合外力的总冲量等于零
D.过程Ⅱ中钢珠的动量的改变量等于零
答案 AC
解析 对过程Ⅰ,钢珠只受重力,据动量定理知,A正确;对过程Ⅱ,由动量定理得:
G·t2-F阻·t2=0-mv,则B、D错;全过程Δp=0,则C正确.
图2
11.如图2所示,放在水平地面上的物体受到的合外力随时间变化的关系,若物体开始时是静止的,则前3s内( )
A.物体的位移为0
B.物体的动量改变量为0
C.物体的动能变化量为0
D.前3s合力冲量为零,但重力冲量不为零
答案 BCD
解析 第1s内:
F=20N,第2、3s内:
F=-10N,物体先加速,后减速,在第3s末速度为零,物体的位移不为零,A错误;根据动量定理I=Δp,前3s内,动量的变化量为零,B正确;由于初速度和末速度都为零,因此,动能变化量也为零,C正确;无论物体运动与否,某一个力在这段时间的冲量不为零,D正确.
二、非选择题
12.质量为1kg的物体静止放在足够大的水平桌面上,物体与桌面间的动摩擦因数为μ=0.4,有一大小为5N的水平恒力F作用于物体上,使之加速前进,经3s后撤去F,求物体运动的总时间.(g=10m/s2)
答案 3.75s
解析 物体由开始运动到停止运动的全过程中,F的冲量为Ft1,摩擦力的冲量为Fft.选水平恒力F的方向为正方向,根据动量定理有Ft1-Fft=0①
又Ff=μmg②
联立①②式解得t=
,
代入数据解得t=3.75s.
13.蹦床是运动员在一张绷紧的弹性网上蹦跳、翻滚并做各种空中动作的运动项目.一个质量为60kg的运动员,从离水平网面3.2m高处自由下落,着网后沿竖直方向蹦回到离水平网面5.0m高处.已知运动员与网接触的时间为1.2s.若把这段时间内网对运动员的作用力当作恒力处理,求此力的大小.(g取10m/s2)
答案 1.5×103N
解析 将运动员看做质量为m的质点,从高h1处下落,刚接触网时速度的大小v1=
,方向竖直向下.
弹跳后到达的高度为h2,刚离网时速度的大小v2=
,方向竖直向上.
选竖直向上为正方向,
由动量定理得(F-mg)·Δt=m[v2-(-v1)]
由以上各式解得F=mg+m
代入数据得F=1.5×103N.
小学语文学习必须了解的59个通假字,你的孩子都知道吗?
1、说(yuè):
通“悦”,愉快。
学而时习之,不亦说乎?
(《论语十则》)
2、女:
通“汝”,你。
知:
通“智”,聪明。
诲女知之乎?
……是知也。
(《论语十则》)
3、还:
通“旋”,回转,掉转。
扁鹊望桓侯而还走。
(扁鹊见蔡桓公))
4、齐:
通“剂”。
在肠胃,火齐之所及也。
(《扁鹊见蔡桓公》)
5、止:
通“只”。
担中肉尽,止有剩骨。
(《狼》)
6、亡:
通“无”
河曲智叟亡以应。
(《愚公移山》)
亡:
通“无”。
日之其所亡。
(《乐羊子妻》)
7、屏:
通“摒”。
屏弃而不用,其与昏与庸无以异也。
(《为学》)
8、帖:
通“贴”。
火:
通“伙”。
对镜帖花黄。
……火伴皆惊忙。
(《木兰诗》)
9、尔:
通“耳”,相当于“罢了”。
无他,但手熟尔。
(《买油翁》)
10、争:
通“怎”。
争渡,争渡,惊起一滩鸥鹭。
(《如梦令》李清照)
11、见,通“现”。
路转溪头忽见。
(《西江月》辛弃疾)
见:
通“现”。
才美不外见……(《马说》)
见:
通“现”。
何时眼前突兀见此屋。
(《茅屋为秋风所破歌》)
12、(《口技》)坐:
通“座”。
满坐寂然,无敢哗者。
13、扳:
通“攀”,牵,引。
日扳仲永环谒于邑人。
(《伤仲永》)
14、反:
通“返”。
寒暑易节,始一反焉。
(《愚公移山》)
15、惠:
通“慧”,聪明。
甚矣,汝之不惠。
(《愚公移山》)
16、厝:
通“措”,放置。
一厝逆东,一厝雍南。
(《愚公移山》)
17、那:
通“哪”,怎么。
问渠那得清如许。
(《观书有感》)
18、阙:
通“缺”。
两岸连山,略无阙处。
(《三峡》)
19、强:
通“僵”,僵硬。
昂首观之,项为之强。
(《闲情记趣》)
20、道:
通“导”,引导。
傧者更道,从大门入。
(《晏子故事两篇》)
21、曷:
通“何”。
缚者曷为者也?
(《晏子故事两篇》)
22、熙:
通“嬉”,开玩笑。
圣人非所与熙也。
(《晏子故事两篇》)
23、辑:
通“缉”,连缀。
饰以玫瑰,辑以翡翠。
(《买椟还珠》)
24、遽:
通“讵”,岂。
此何遽不为福乎?
(《塞翁失马》)
25、距:
通“拒”,挡。
……子墨子九距之。
(《公输》)
26、诎:
通“屈”,折服。
公输盘诎,而曰……(《公输》)
27、有:
通“又”。
舟首尾长约八分有奇。
(《核舟记》)
28、衡:
通“横”。
左手倚一衡木。
(《核舟记》)
衡:
通“横”,梗塞,这里指不顺。
困于心,衡于虑。
(《生于忧患,死于安乐》)
29、甫:
通“父”。
虞山王毅叔远甫刻。
(《核舟记》)
30、简:
通“拣”,挑选。
盖简桃核修狭者为之。
(《核舟记》)
31、错:
通“措”。
以君为长者,故不错意也。
(《唐雎不辱使命》)
32、仓:
通“苍”。
要离之刺庆忌也,仓鹰击于殿上。
(《唐雎不辱使命》)
33、裁:
通“才”,仅仅。
数至八层,裁如星点。
(《山市》)
34、適:
通“谪”。
发闾左適戍渔阳九百人。
(《陈涉世家》)
35、唱:
通“倡”,倡导。
为天下唱,宜多应者。
(《陈涉世家》)
36、以:
通“已”。
得鱼腹中书,固以怪之矣。
(《陈涉世家》)
37、被:
通“披”。
将军身被坚执锐。
(《陈涉世家》)
被:
通“披”。
同舍生皆被绮绣。
(《送东阳马生序》)
38、食:
通“饲”,喂。
食马者不知其能千里而食也。
(《马说》)
39、材:
通“才”。
食之不能尽其材。
(《马说》)
40、邪:
通“耶”,表示疑问,相当于“吗”。
其真无马邪?
(《马说》)
41、僇:
通“戮”,遭到贬谪。
自余为僇人,……(《始得西山宴游记》)
42、暴:
通“曝”。
而游者皆暴日中。
(《峡江寺飞泉亭记》)
43、畔:
通“叛”。
寡助之至,亲戚畔之。
(《得道多助,失道寡助》)
44、曾:
通“增
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