高中数学《学案导学与随堂笔记》苏教版 必修1第二章函数222.docx

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高中数学《学案导学与随堂笔记》苏教版必修1第二章函数222

2．2.2　函数的奇偶性

学习目标

　1.理解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．

知识点一　函数奇偶性的几何特征

思考　下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？

关于原点对称的呢？

答案　①②关于y轴对称，③④关于原点对称．

梳理　图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数．

知识点二　函数奇偶性的定义

思考1　为什么不直接用图象关于y轴（或原点）对称来定义函数的偶奇性？

答案　因为很多函数图象我们不知道，即使画出来，细微之处是否对称也难以精确判断．

思考2　利用点对称来刻画图象对称有什么好处？

答案　好处有两点：

（1）等价：

只要所有点均关于y轴（原点）对称，则图象关于y轴（原点）对称，反之亦然．

（2）可操作：

要判断点是否关于y轴（原点）对称，只要代入解析式验证即可．

梳理　设函数y＝f（x）的定义域为A.

如果对于任意的x∈A，都有f（－x）＝f（x），那么称函数y＝f（x）是偶函数；

如果对于任意的x∈A，都有f（－x）＝－f（x），那么称函数y＝f（x）是奇函数．

如果函数f（x）是奇函数或偶函数，我们就说函数f（x）具有奇偶性．

知识点三　奇（偶）函数的定义域特征

思考　如果一个函数f（x）的定义域是（－1,1]，那这个函数f（x）还具有奇偶性吗？

答案　由函数奇偶性定义，对于定义域内任一元素x，其相反数－x必须也在定义域内，才能进一步判断f（－x）与f（x）的关系．而本问题中，1∈（－1,1]，－1∉（－1,1]，f（－1）无定义，自然也谈不上是否与f

（1）相等了．所以该函数是既非奇函数，也非偶函数．

梳理　判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于原点对称．

类型一　证明函数的奇偶性

命题角度1　已知函数解析式，证明奇偶性

例1　

（1）证明f（x）＝

既非奇函数又非偶函数；

（2）证明f（x）＝（x＋1）（x－1）是偶函数；

（3）证明f（x）＝

＋

既是奇函数又是偶函数．

证明　

（1）因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1}，所以对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，故f（x）＝

既非奇函数又非偶函数．

（2）函数的定义域为R，因函数f（x）＝（x＋1）（x－1）＝x2－1，又因f（－x）＝（－x）2－1＝x2－1＝f（x），所以函数为偶函数．

（3）定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x，都有f（x）＝0，所以f（－x）＝f（x），故函数f（x）＝

＋

为偶函数．又f（－x）＝－f（x），故函数f（x）＝

＋

为奇函数．即该函数既是奇函数又是偶函数．

反思与感悟　利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x，则－x也一定属于定义域．

跟踪训练1　

（1）证明f（x）＝（x－2）

既非奇函数又非偶函数；

（2）证明

证明　

（1）由

≥0，得定义域为[－2,2），关于原点不对称，故f（x）为非奇非偶函数．

（2）函数的定义域为R，因f（－x）＝（－x）|－x|＝－x|x|＝－f（x），所以函数为奇函数．

命题角度2　证明分段函数的奇偶性

例2　判断函数f（x）＝

的奇偶性．

解　由题意可知f（x）的定义域为（－6，－1]∪[1,6），

关于原点对称，

当x∈（－6，－1]时，－x∈[1,6），

所以f（－x）＝（－x－5）2－4＝（x＋5）2－4＝f（x）；

当x∈[1,6）时，－x∈（－6，－1]，

所以f（－x）＝（－x＋5）2－4＝（x－5）2－4＝f（x）．

综上可知对于任意的x∈（－6，－1]∪[1,6），

都有f（－x）＝f（x），

所以f（x）＝

是偶函数．

反思与感悟　分段函数也是函数，证明奇偶性也是抓住两点

（1）定义域是否关于原点对称．

（2）对于定义域内的任意x，是否都有f（－x）＝f（x）（或－f（x）），只不过对于不同的x，f（x）有不同的表达式，要逐段验证是否都有f（－x）＝f（x）（或－f（x））．

跟踪训练2　证明f（x）＝

是奇函数．

证明　定义域为{x|x≠0}．

若x<0，则－x>0，

∴f（－x）＝x2，f（x）＝－x2，

∴f（－x）＝－f（x）；

若x>0，则－x<0，

∴f（－x）＝－（－x）2＝－x2，f（x）＝x2，

∴f（－x）＝－f（x）；

即对任意x≠0，都有f（－x）＝－f（x）．

∴f（x）为奇函数．

命题角度3　证明抽象函数的奇偶性

例3　f（x），g（x）是定义在R上的奇函数，试判断y＝f（x）＋g（x），y＝f（x）g（x），y＝f[g（x）]的奇偶性．

解　∵f（x），g（x）是定义在R上的奇函数，

∴f（－x）＋g（－x）＝－f（x）－g（x）＝－[f（x）＋g（x）]，y＝f（x）＋g（x）是奇函数．

f（－x）g（－x）＝[－f（x）][－g（x）]＝f（x）g（x），y＝f（x）g（x）是偶函数．

f[g（－x）]＝f[－g（x）]＝－f[g（x）]，y＝f[g（x）]是奇函数．

反思与感悟　利用基本的奇（偶）函数，通过加减乘除、复合，可以得到新的函数，判断这些新函数的奇偶性，主要是代入－x，看总的结果．

跟踪训练3　设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是________．（填序号）

①f（x）g（x）是奇函数；

②f（x）g（x）是偶函数；

③|f（x）|g（x）是偶函数；

④f（x）|g（x）|是奇函数．

答案　①③④

解析　①令h（x）＝f（x）g（x），则h（－x）＝f（－x）·g（－x）＝－f（x）g（x）＝－h（x），∴h（x）是奇函数，故①对，②不对；

③令h（x）＝|f（x）|g（x），则h（－x）＝|f（－x）|g（－x）＝|－f（x）|g（x）＝|f（x）|g（x）＝h（x），∴h（x）是偶函数，故③对；

④令h（x）＝f（x）|g（x）|，则h（－x）＝f（－x）·|g（－x）|＝－f（x）|g（x）|＝－h（x），∴h（x）是奇函数，故④对．

类型二　奇偶性的应用

命题角度1　奇偶函数图象的对称性的应用

例4　定义在R上的奇函数f（x）在[0，＋∞）上的图象如图所示．

（1）画出f（x）的图象；

（2）解不等式xf（x）>0.

解　

（1）先描出（1,1），（2,0）关于原点的对称点（－1，－1），（－2,0），连线可得f（x）的图象如图．

（2）xf（x）>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf（x）>0的解集是（－2,0）∪（0,2）．

引申探究　

将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题．

解　

（1）f（x）的图象如图所示．

（2）xf（x）>0的解集是（－∞，－2）∪（0,2）．

反思与感悟　鉴于奇（偶）函数图象关于原点（y轴）对称，可以用这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性．

跟踪训练4　已知奇函数f（x）的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．

（1）画出在区间[－5,0]上的图象；

（2）写出使f（x）<0的x的取值集合．

解　

（1）如图，在[0,5]上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D.

分别描出它们关于原点的对称点O′，A′，B′，C′，D′，

再用光滑曲线连接即得．

（2）由

（1）图可知，当且仅当x∈（－2,0）∪（2,5）时，f（x）<0.

∴使f（x）<0的x的取值集合为（－2,0）∪（2,5）．

命题角度2　利用函数奇偶性的定义求值

例5　

（1）若函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.

答案　

　0

解析　∵偶函数的定义域关于原点对称，

∴a－1＝－2a，解得a＝

，f（x）＝

x2＋bx＋b＋1.

又f（x）为偶函数，

∴f（－x）＝

（－x）2＋b（－x）＋b＋1

＝f（x）＝

x2＋bx＋b＋1，

对定义域内任意x恒成立，

即2bx＝0对任意x∈[－

，

]恒成立，

∴b＝0.综上，a＝

，b＝0.

（2）函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x>0时，f（x）＝－x＋1，求当x<0时f（x）的解析式．

解　设x<0，则－x>0，

∴f（－x）＝－（－x）＋1＝x＋1，

又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，

∴f（－x）＝－f（x）＝x＋1，

∴当x<0时，f（x）＝－x－1.

反思与感悟　函数奇偶性的定义有两处常用

（1）定义域关于原点对称．

（2）对定义域内任意x，恒有f（－x）＝f（x）（或－f（x））成立，常用这一特点得一个恒成立的等式，或对其中的x进行赋值．

跟踪训练5　已知函数f（x）＝

为奇函数，则a＋b＝________.

答案　0

解析　由题意知

则

解得

当a＝－1，b＝1时，经检验知f（x）为奇函数，

故a＋b＝0.

1．函数f（x）＝0（x∈R）的奇偶性是________．

答案　既是奇函数又是偶函数

2．函数f（x）＝x（－1

答案　既不是奇函数又不是偶函数

3．已知函数y＝f（x）＋x是偶函数，且f

（2）＝1，则f（－2）＝________.

答案　5

解析　∵函数y＝f（x）＋x是偶函数，

∴x＝±2时函数值相等．

∴f（－2）－2＝f

（2）＋2，∴f（－2）＝5.

4．若函数f（x）＝（m－1）x2＋（m－2）x＋m2－7m＋12为偶函数，则m的值是________．

答案　2

5．下列说法错误的是________．（填序号）

①图象关于原点对称的函数是奇函数；

②图象关于y轴对称的函数是偶函数；

③奇函数的图象一定过原点；

④偶函数的图象一定与y轴相交．

答案　③④

1．两个定义：

对于f（x）定义域内的任意一个x，如果都有f（－x）＝－f（x）⇔f（－x）＋f（x）＝0⇔f（x）为奇函数；如果都有f（－x）＝f（x）⇔f（－x）－f（x）＝0⇔f（x）为偶函数．

2．两个性质：

函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称．

3．证明一个函数是奇函数，必须对f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝－f（x）．而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了．

课时作业

一、填空题

1．如果函数f（x）＝

是奇函数，则f（－2）＝________.

答案　－1

解析　f（－2）＝－f

（2）＝－（2×2－3）＝－1.

2．已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f（x）＝2x－x2，则当x≤0时，y＝f（x）的解析式为________．

答案　f（x）＝x2＋2x

解析　设x<0，则－x>0，因为f（x）是奇函数，

所以f（x）＝－f（－x）＝－[2（－x）－（－x）2]＝2x＋x2.

因为y＝f（x）是R上的奇函数，所以f（0）＝0.

所以f（x）＝x2＋2x，x≤0.

3．设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是________．（填序号）

①f（x）＋|g（x）|是偶函数；

②f（x）－|g（x）|是奇函数；

③|f（x）|＋g（x）是偶函数；

④|f（x）|－g（x）是奇函数．

答案　①

解析　由f（x）是偶函数，可得f（－x）＝f（x），

由g（x）是奇函数，可得g（－x）＝－g（x），

故|g（x）|为偶函数，∴f（x）＋|g（x）|为偶函数．

4．已知函数f（x）＝ax3＋bx（a≠0）满足f（－3）＝3，则f（3）＝________.

答案　－3

解析　∵f（－x）＝a（－x）3＋b（－x）＝－（ax3＋bx）＝－f（x），

∴f（x）为奇函数，

∴f（3）＝－f（－3）＝－3.

5．函数f（x）＝|x＋1|－|x－1|为________．（填“奇函数”或“偶函数”）

答案　奇函数

解析　f（x）的定义域为R，

对于任意x∈R，f（－x）＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－f（x），

∴f（x）为奇函数．

又f（－1）＝－2，f

（1）＝2，f（－1）≠f

（1），

∴f（x）不是偶函数．

6．已知函数y＝f（x）为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f（x）＝0的所有实根之和是________．

答案　0

解析　由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.

7．设奇函数f（x）在（0，＋∞）上为单调增函数，且f（3）＝0，则不等式

>0的解集为________．

答案　（－3,0）∪（3，＋∞）

解析　∵f（x）为奇函数，f（3）＝0，

∴f（－3）＝0.

又∵f（x）在（0，＋∞）上为增函数，

∴f（x）在（－∞，0）上也为增函数，

∴

＝f（x）>0，

①当x>0时，则f（x）>f（3）＝0，∴x>3；

②当x<0时，则f（x）>f（－3）＝0，∴－3

综上可得，原不等式的解集为（－3,0）∪（3，＋∞）．

8．若函数f（x）＝

＋

为偶函数且非奇函数，则实数a的取值范围为________．

答案　（1，＋∞）

解析　∵函数f（x）＝

＋

为偶函数且非奇函数，

∴f（－x）＝f（x）且f（－x）≠－f（x）．

又∵

∴a≥1.

当a＝1时，函数f（x）＝

＋

为偶函数且为奇函数，

故a>1.

9．已知函数f（x）＝

，若f（a）＝

，则f（－a）＝________.

答案　

解析　根据题意，f（x）＝

＝1＋

，而h（x）＝

是奇函数，故f（－a）＝1＋h（－a）＝1－h（a）＝2－[1＋h（a）]＝2－f（a）＝2－

＝

.

10．函数f（x）＝

为________．（填“奇函数”或“偶函数”）

答案　奇函数

解析　定义域关于原点对称，且

f（－x）＝

＝

＝－f（x），

所以f（x）是奇函数．

二、解答题

11．判断下列函数的奇偶性．

（1）f（x）＝x3＋x5；

（2）f（x）＝|x＋1|＋|x－1|；

（3）f（x）＝

.

解　

（1）函数的定义域为R.∵f（－x）＝（－x）3＋（－x）5＝－（x3＋x5）＝－f（x），∴f（x）是奇函数．

（2）f（x）的定义域是R.∵f（－x）＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f（x），∴f（x）是偶函数．

（3）函数f（x）的定义域是（－∞，－1）∪（－1，＋∞），不关于原点对称，∴f（x）是非奇非偶函数．

12．若函数f（x）＝x2－|x＋a|为偶函数，求实数a的值．

解　∵函数f（x）＝x2－|x＋a|为偶函数，

∴f（－x）＝f（x），

即（－x）2－|－x＋a|＝x2－|x＋a|，

∴|－x＋a|＝|x＋a|，即|x－a|＝|x＋a|，

∴a＝0.

13．已知函数f（x）＝

是奇函数．

（1）求实数m的值；

（2）若函数f（x）在区间[－1，a－2]上为单调增函数，求实数a的取值范围．

解　

（1）因为f（x）为奇函数，

所以f（－1）＝－f

（1），即1－m＝－（－1＋2），

解得m＝2.

经检验m＝2时函数f（x）是奇函数．

所以m＝2.

（2）要使f（x）在[－1，a－2]上为单调增函数，

结合f（x）的图象知

所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是（1,3]．

三、探究与拓展

14．设奇函数f（x）的定义域为[－6,6]，当x∈[0,6]时，f（x）的图象如图所示，不等式f（x）<0的解集用区间表示为________．

答案　[－6，－3）∪（0,3）

解析　由f（x）在[0,6]上的图象知，满足f（x）<0的不等式的解集为（0,3）．又f（x）为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6,0）上，不等式f（x）<0的解集为[－6，－3）．综上可知，不等式f（x）<0的解集为[－6，－3）∪（0,3）．

15．已知函数f（x）＝

是定义在（－1,1）上的奇函数，且f

＝

，求函数f（x）的解析式．

解　∵f（x）是定义在（－1,1）上的奇函数，

∴f（0）＝0，即

＝0，∴b＝0.

又∵f

＝

＝

，

∴a＝1，∴f（x）＝

.