等腰三角形综合讲义无答案.docx
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等腰三角形综合讲义无答案
等腰三角形综合
知识点:
1、等腰三角形的性质:
(1)等腰三角形的两个底角相等。
(2)等腰三角形的顶角平分线、底边平分线、底边上的高重合(三线合一)。
2、等腰三角形的判定:
如果一个三角形只有两个角相等,那么这两个角所对的边相等(简称“等角对等边”)
3、等边三角形的性质:
等边三角形的三条边都相等;三个角都相等,且都等于60度。
4、等边三角形的判定:
(1)两条边相等的等腰三角形是等边三角形.
(2)有两个角等于60°的三角形是等边三角形.
(3)有一个是60°的等腰三角形是等边三角形.
5、直角三角形中30°角对的边等于斜边的一半。
等腰直角三角形(正方形)
AB=AC、CE=AE=EB、∠A=∠B=∠1=∠2=45°
黄金三角形
顶角为36°的等腰三角形
性质:
底角的角平分线把三角形分成两个等腰三角形
等腰三角形的构造
1.等腰三角形+平行线
2.角平分线+平行线
等腰三角形的存在性的确定
如下图1、图2,在直线L上找一点P使△ABP为等腰三角形。
图1图2
【主要数学思想】
分类思想:
主要用于等腰三角形;
方程思想:
主要用于计算边和角;
化归思想:
主要用于把梯形问题转化为三角形来处理。
建模思想:
主要用于建立等腰三角形模型
题型一:
等腰三角形的性质和判定综合应用
【典型例题】
例1.在△ABC中,AD平分∠BAC,BD⊥AD,垂足为D,过D作DE∥AC,交AB于E,若AB=5,求线段DE的长.
例2:
(2017•青岛)如图,若将△ABC绕点O逆时针旋转90°,则顶点B的对应点B1的坐标为()
A.(﹣4,2)B.(﹣2,4)C.(4,﹣2)D.(2,﹣4)
例3:
如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A在第一象限,点B,C的坐标为(2,1),(6,1),∠BAC=90°,AB=AC,直线AB交x轴于点P.若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称,则点A'的坐标为.
例4:
如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4)
(1)请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1;
(2)请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2;
(3)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,请直接写出点P的坐标.
例5:
如图,网格纸上正方形小格的边长为1.图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转,分别得到线段A'B'和点P',则点P'所在的单位正方形区域是()
A.1区B.2区C.3区D.4区
题型二:
旋转与几何综合
【例题精讲】
例1:
如图,在正方形ABCD和正方形DEFG中,点G在CD上,DE=2,将正方形DEFG绕点D顺时针旋转60°,得到正方形DE′F′G′,此时点G′在AC上,连接CE′,则CE′+CG′=()
例2:
如图,将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE,点C的对应点E恰好落在AB延长线上,连接AD.下列结论一定正确的是()
A.∠ABD=∠EB.∠CBE=∠CC.AD∥BCD.AD=BC
例3:
如图,将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD,若∠AOB=15°,则∠AOD=,度.
例4:
如图,正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b,正方形CEFG绕点C旋转,给出下列结论:
①BE=DG;②BE⊥DG;③DE2+BG2=2a2+2b2,其中正确结论是(填序号)
专题1:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半应用
1如图1,在△ABC中,CF⊥AB,BE⊥AC,M、N分别是BC与EF的中点,试说明:
MN⊥EF
图1图2
2如图2,在△ABC中,CF⊥AB于点F,BE⊥AC于点E,M为BC的中点,EF=5,BC=8,则△EFM的周长是()
A.21 B.18 C.13 D.15
3.如图3,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,M、N分别AC、BD的中点.求证:
MN⊥BD.
4.如图,CD、CF分别是△ABC的角平分线和外角平分线,且CD⊥AB,取AC中点E,连接DE交CF于点F,求证DE=EF.
专题2:
在直角三角形中,30度的角所对的直角边等于斜边的一半
1.(2015秋•宜春校级期中)如图,已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,DE垂直平分AC交BC于D,垂足为E,若DE=2cm,则BC=______cm.
2.(2014秋•兴化市校级月考)如图,Rt△ABC中∠ACB=90°,DE垂直平分AC交AB于E,∠A=30°,DE=4,则BE=______.
3.如图,△ABC中,DE垂直平分AC,与AC交于E,与BC交于D,∠C=15°,∠BAD=60°.若CD=1,求AB的长度______.
专题3:
等腰三角形的高
1.在△ABC中,AB=AC,P是直线BC上任一点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,BD⊥AC于点D.
(1)如图1,当点P在线段BC上时,试说明PE、PF、BD的关系并证明。
(2)如图2,当点P在线段BC的延长线上时,试说明PE、PF、BD的关系并证明。
2.(太仓期中)△ABC是等边三角形,点D是BC边上的任意一点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,BN⊥AC于点N,则DE、DF、BN三者的数量关系为;
【变式训练】
1.如图,将△ABC绕点C顺时针旋转,使点B落在AB边上点B′处,此时,点A的对应点A′恰好落在BC边的延长线上,下列结论错误的()
A.∠BCB′=∠ACA′B.∠ACB=2∠B
C.∠B′CA=∠B′ACD.B′C平分∠BB′A′
2.如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别是A(3,0),B(0,4),把线段AB绕点A旋转后得到线段AB′,使点B的对应点B′落在x轴的正半轴上,则点B′的坐标是()
A.(5,0)B.(8,0)C.(0,5)D.(0,8)
3.如图,将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD,若∠AOB=15°,则∠AOD的度数是.
4.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3.矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB'C'D'.若点B的对应点B'落在边CD上,则B'C的长为.
等腰三角形的存在性问题解题策略
专题攻略
如果△ABC是等腰三角形,那么存在①AB=AC,②BA=BC,③CA=CB三种情况.
已知腰长画等腰三角形用圆规画圆,已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线.
解等腰三角形的存在性问题,有几何法和代数法,把几何法和代数法相结合,可以使得解题又好又快.
几何法一般分三步:
分类、画图、计算.
代数法一般也分三步:
罗列三边长,分类列方程,解方程并检验.
例题解析
例❶如图1-1,在平面直角坐标系xOy中,已知点D的坐标为(3,4),点P是x轴正半轴上的一个动点,如果△DOP是等腰三角形,求点P的坐标.
图1-1
例❷如图2-1,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,动点P以2个单位/秒的速度从点A出发,沿AC向点C移动,同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发,沿CB向点B移动,当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动.在P、Q两点移动的过程中,当△PQC为等腰三角形时,求t的值.
图2-1
例❸如图3-1,直线y=2x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,点P是x轴正半轴上的一个动点,直线PQ与直线AB垂直,交y轴于点Q,如果△APQ是等腰三角形,求点P的坐标.
图3-1
例❹如图4-1,已知正方形OABC的边长为2,顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,M是BC的中点.P(0,m)是线段OC上一动点(C点除外),直线PM交AB的延长线于点D.当△APD是等腰三角形时,求m的值.
图4-1
例❺如图5-1,已知△ABC中,AB=AC=6,BC=8,点D是BC边上的一个动点,点E在AC边上,∠ADE=∠B.设BD的长为x,如果△ADE为等腰三角形,求x的值.
课后习题
一、夯实基础
1.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平
分线交于点E,过点
E作MN∥BC交AB于M,交AC于N,若BM+CN=9,则线段MN的长为( )
A.6B.7C.8D.9
2.若等腰三角形的顶角为80°,则它的底角是( )
A.20°B.50°C.60°D.80°
3.如图,AE∥BD,C是BD上的点,且AB=BC,∠ACD=110°,则∠EAB=______度.
4、如图,△ABC的周长为30cm,把△ABC的边AC对折,使顶点C和点A重合,折痕交BC边于点D,交AC边于点E,连接AD,若AE=4cm,则△
ABD的周长是( )
A.22cmB.20cmC.18cmD.15cm
二、能力提升
5.如图,坐标平面内有一点A(2,-1),O为原点,P是x轴上的一个动点,如果以点P,O,A为顶点的三角形是等腰三角形,那么符合条件的动点P的个数为( )
A.2B.3C.4D.5
6.如图所示,A,B,C分别表示三个村庄,AB=1000米,BC=600米,AC=800米,在社会主义新农村建设中,为了丰富群众生活,拟建一个文化活动中心,要求这三个村庄到活动中心的距离相等,则活动中心P的位置应在( )
A.AB中点B.BC中点C.AC中点
D.∠C的平分线与AB的交点
7.在△ABC中,∠B和∠C的平分线交于点F,过点F作DF∥BC,交AB于点D,交AC于点E,若BD+CE=9,则线段DE的长为( )
A.9B.8C.7D.6
8.如图,P,Q是△ABC边BC上的两点,且QC=AP=AQ=BP=PQ,则∠BAC=( )
A.125°
B.130°C.90°D.120°
三、课外拓展
9.如图,在△ABC中,BC=8,AB的中垂线交BC于点D,AC的中垂线交BC于点E,则△ADE的周长等于__________.
10.如图,已知△A
BC是等边三角形,点B,C,D,E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E=__________度.
11.已知等腰△ABC的周长为10,若设腰长为x,则x的取值范围是__________.
四、中考链接
12.如图,已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC与BD交于O,AC=BD.
求证:
(1)BC=AD;
(2)△OAB是等腰三角形.
13.已知,如图,延长△ABC的各边,使得BF=AC,AE=CD=AB,顺次连接D,E,F,得到△DEF为等边三角形.
求证
:
(1)△AEF≌△CDE;
(2)△ABC为等边三角形.
14.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠CAB的平分线AD交BC于D,若DE垂直平分AB,求∠B的度数.
15.如图所示,在△ABC中,D,E分别是边AC,AB上的点,BD与CE交于点O,给出下列三个条件:
①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD.
(1)上述三个条件中,哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有情况);
(2)选择第
(1)小题中的一种情况,证明△ABC是等腰三角形.
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