大一上学期高数期末考试题.docx
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大一上学期高数期末考试题
高数期末考试(A)
、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)
x
f(x)在区间上(-1,1)二阶可导且
6.若F(x)=J。
(2t-x)f(t)dt,其中
f'(x)>0,则().
(A)函数F(x)必在x=0处取得极大值;
(B)函数F(x)必在x=0处取得极小值;
(C)函数F(x)在x=0处没有极值,但点(0,F(0))为曲线y=F(x)的拐点;
(D)函数F(x)在x=0处没有极值,点(0,F(0))也不是曲线y=F(x)的拐点。
1
7设f(x)是连续函数,且f(X)=X+2J0f(t)dt,贝Uf(X)=(
2
—+2
(B)2(C)X—1(D)x+2.
2
X
(A)2
8.
三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)
9.设函数y=y(x)由方程eE+sin^y"1确定,求y(x)以及y(0).
求Jdx.
10.x(1+x)
11.
设f(X)=卩二_2
[J2x-X
12.
0CX<1
1
Jf(xt)dt
0
求J;f(x)dx.
13.
g(x)=
设函数f(x)连续,
g(x)并讨论g(x)在X=0处的连续性.
,且,A为常数•求
y
(1)=--
求微分方程xy+2y=xinX满足八,9的解.
解答题(本大题10分)
已知上半平面内一曲线y=y(x)(X>0),过点(0,1),且曲线上任一点M(xo,yo)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线x=xo所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程.
五、解答题(本大题10分)
15.过坐标原点作曲线y=lnX的切线,该切线与曲线y=lnX及X轴围
成平面图形D.
(1)求D的面积A;
(2)求D绕直线X=e旋转一周所得旋转体的体积V.
六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共8分)
16.设函数f(x)在〔o,1上连续且单调递减,证明对任意的qf0,1],
q1
Jf(X)dX>qjf(X)dx
00
四、
14.
兀JI
Jf(X)dX=0ff(X)cosXdx=0
0,0
S,使f(J)=f^2H0.(提
17.设函数f(x)在b,兀上连续,且证明:
在(0,兀内至少存在两个不同的点
X
F(x)=Jf(x)dx
示:
设0)
解答
一、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)
1、D2、A3、C4、C
二、填空题(本大题有4小题,每小题
1COSX2丄
e6-()+c
5.e.6.2X.7.
二、解答题(本大题有5小题,每小题
9.解:
方程两边求导
ef(1+yfcocy(xy)ty=)
4分,
兀
2.
8分,
共16分)
兀
8.3
共40分)
ex^+ycos(xy)
y(X)一eXJxcos(Ky)
X=0,y=0,y(0)=_1
2
u+1)du
10.解:
u=x77x6dx=du
店卡1r(1-u).1「,1
原式=〔du=f(
7u(1+u)7u
1
=-(ln|uI-2lnIu+1|)+c
1727
=ln|x\-ln|1+xI+C
77
1012
一肋ff(x)dx=1xe」dx+fv2x-xdx11.解:
「•口
=J:
xd(—e」)+J;J1—(X—1)2dx
-xe」一e」[3+J号cos20dQ(令x—1=sin0)
-,-2
兀3
=—-2e3—1
4
12.解:
由f(0)=0,知g(0)=0o
(XH0)
(XH0)
xf(x)-Jf(u)du
g'(x)=
业+2y=lnx
13.解:
dxX
—I^dx
y=ex(JexInxdx+C)
X-1X+Cx/
9
f-dx
1
=一xln
3
1
y(1F"9C
11
0y=—xlnx--x
39
四、解答题(本大题10分)
x
14.解:
由已知且yQ2Joydx+y,
将此方程关于x求导得y=2y+y
+C2e2x
特征方程:
r2-r-2=0解出特征根:
-1,「2=2.
其通解为y=C1e」
兀兀n
0=ff(x)cosxdx=fcosxdF(x)=F(x)cosx|+fsinxF(x)dx由题设,有001°0,
兀
fF(x)sinxdx=0
有0,由积分中值定理,存在匕忘(0,兀),使F(©)sin©=0即
F(©)=0
综上可知F(0)=F(©)=F(兀)=0,吳(。
,兀).在区间[0,©],[£,兀]上分别应用罗尔定理,知存在
-(03)和巴2-(匕,兀),使FW)=0及F牡2)=0,即f(J)=f(匕2)=0.
x
20.若F(x)=『0(2—x)f(t)dt,其中f(x)在区间上(-行)二阶可导且fix)》0,则().
(A)函数F(x)必在x=0处取得极大值;
(B)函数F(x)必在x=0处取得极小值;
(C)函数F(x)在x=0处没有极值,但点(0,F(0))为曲线y=F(x)的拐点;
(D)函数F(x)在x=0处没有极值,点(0,F(0))也不是曲线y=F(x)的拐点。
1
21设f(x)是连续函数,且f(X)=X+2J0f(t)dt,贝Uf(X)=(
22
(A)2(B)2(C)X-1(D)x+2.
二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)
2
22.lx^(^3x)sn^=
已知空是f(X)的一个原函数,
23.X
lim巴(cos2二中cos2—+111+cos2n~~兀)=
24.nFnnnn
y
(1)—1
30.求微分方程xy+2y=XInX满足9的解.
四、解答题(本大题10分)
31.已知上半平面内一曲线汁y(x)(X二0),过点(o,1),且曲线上任一点M(xo,yo)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线x=xo所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程.
五、解答题(本大题10分)
32.过坐标原点作曲线y=lnX的切线,该切线与曲线y=lnX及X轴围
成平面图形D.
(1)求D的面积A;
(2)求D绕直线X=e旋转一周所得旋转体的体积
V.
六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共8分)
33.设函数f(x)在〔O,1上连续且单调递减,证明对任意的qF0,1],
q
Jf(X)dXXJf(X)dX
JIJI
Jf(X)dX=0ff(X)cosXdx=0
0,0
-1,2,使f(©1)=f(©2)=0.(提
00
34.设函数f(X)在b,兀上连续,且证明:
在(0,兀内至少存在两个不同的点
X
F(x)=Jf(x)dx
示:
设0)
、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)
1、D2、A3、C4、C
=-(ln|u|-2ln|u+1|)+c
1727=—ln|x7|-—ln|1+x7|+C
77
cc肋ff(x)dx=[xe^dx+fJ2x-x2dx
20.解:
b屮
=J」xd(-e」)+J0J1-(X—1)2dx
=[-xe」-e」1+J兀cos2日d£(令x-1=sin日)
*
1
72=J兀(e-ey)2dy
0
V
D绕直线X=e旋转一周所得旋转体的体积六、证明题
25.证明:
q
=(1-q)Jf(x)dx-qJf(x)dx
°q
EqO,q]U电q,1]f(^^f(4)
=q(1-q)fe1)-q(1-q)f(©2)工°
故有:
q1
ff(x)dX“Jf(X)dx
00证毕。
26.
X
F(x)=ff(t)dt,0 证: 构造辅助函数: 0。 其满足在[0,兀】上连续,在(0,兀) 上可导。 F(x)=f(x),且F(0)=F(;i)=0 兀兀71兀 0=ff(x)cosxdx=『cosxdF(x)=F(x)cosx[+fsinxF(x)dx由题设,有001°0, 兀 fF(x)sinxdx=0他.. 有0,由积分中值定理,存在匕"0,沢),使F^sinE=0即 F(©)=0 综上可知F(0)=F(©)=F(兀)=0,E€(。 ,兀).在区间[。 ,切‘代,兀]上分别应用罗尔定理,知存在 -(03)和勺- (1),使F'(q)=0及F'(J)=0,即fG)=f(J)=0.
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