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0007算法笔记分治法最接近点对问题
问题场景:
在应用中,常用诸如点、圆等简单的几何对象代表现实世界中的实体。
在涉及这些几何对象的问题中,常需要了解其邻域中其他几何对象的信息。
例如,在空中交通控制问题中,若将飞机作为空间中移动的一个点来看待,则具有最大碰撞危险的2架飞机,就是这个空间中最接近的一对点。
这类问题是计算几何学中研究的基本问题之一。
问题描述:
给定平面上n个点,找其中的一对点,使得在n个点的所有点对中,该点对的距离最小。
严格地说,最接近点对可能多于1对。
为了简单起见,这里只限于找其中的一对。
1、一维最接近点对问题
算法思路:
这个问题很容易理解,似乎也不难解决。
我们只要将每一点与其他n-1个点的距离算出,找出达到最小距离的两个点即可。
然而,这样做效率太低,需要O(n^2)的计算时间。
在问题的计算复杂性中我们可以看到,该问题的计算时间下界为Ω(nlogn)。
这个下界引导我们去找问题的一个θ(nlogn)算法。
采用分治法思想,考虑将所给的n个点的集合S分成2个子集S1和S2,每个子集中约有n/2个点,然后在每个子集中递归地求其最接近的点对。
在这里,一个关键的问题是如何实现分治法中的合并步骤,即由S1和S2的最接近点对,如何求得原集合S中的最接近点对,因为S1和S2的最接近点对未必就是S的最接近点对。
如果组成S的最接近点对的2个点都在S1中或都在S2中,则问题很容易解决。
但是,如果这2个点分别在S1和S2中,则对于S1中任一点p,S2中最多只有n/2个点与它构成最接近点对的候选者,仍需做n^2/4次计算和比较才能确定S的最接近点对。
因此,依此思路,合并步骤耗时为O(n^2)。
整个算法所需计算时间T(n)应满足:
T(n)=2T(n/2)+O(n^2)。
它的解为T(n)=O(n^2),即与合并步骤的耗时同阶,这不比用穷举的方法好。
从解递归方程的套用公式法,我们看到问题出在合并步骤耗时太多。
这启发我们把注意力放在合并步骤上。
设S中的n个点为x轴上的n个实数x1,x2,..,xn。
最接近点对即为这n个实数中相差最小的2个实数。
我们显然可以先将x1,x2,..,xn排好序,然后,用一次线性扫描就可以找出最接近点对。
这种方法主要计算时间花在排序上,在排序算法已经证明,时间复杂度为O(nlogn)。
然而这种方法无法直接推广到二维的情形。
因此,对这种一维的简单情形,我们还是尝试用分治法来求解,并希望能推广到二维的情形。
假设我们用x轴上某个点m将S划分为2个子集S1和S2,使得S1={x∈S|x≤m};S2={x∈S|x>m}。
这样一来,对于所有p∈S1和q∈S2有p 递归地在S1和S2上找出其最接近点对{p1,p2}和{q1,q2},并设d=min{|p1-p2|,|q1-q2|},S中的最接近点对或者是{p1,p2},或者是{q1,q2},或者是某个{p3,q3},其中p3∈S1且q3∈S2。 如图所示。 如果S的最接近点对是{p3,q3},即|p3-q3| 由于在S1中,每个长度为d的半闭区间至多包含一个点(否则必有两点距离小于d),并且m是S1和S2的分割点,因此(m-d,m]中至多包含S中的一个点。 同理,(m,m+d]中也至多包含S中的一个点。 由图可以看出,如果(m-d,m]中有S中的点,则此点就是S1中最大点。 同理,如果(m,m+d]中有S中的点,则此点就是S2中最小点。 因此,我们用线性时间就能找到区间(m-d,m]和(m,m+d]中所有点,即p3和q3。 从而我们用线性时间就可以将S1的解和S2的解合并成为S的解。 也就是说,按这种分治策略,合并步可在O(n)时间内完成。 这样是否就可以得到一个有效的算法了呢? 还有一个问题需要认真考虑,即分割点m的选取,及S1和S2的划分。 选取分割点m的一个基本要求是由此导出集合S的一个线性分割,即S=S1∪S2 ,S1∩S2=Φ,且S1={x|x≤m};S2={x|x>m}。 容易看出,如果选取m=[max(S)+min(S)]/2,可以满足线性分割的要求。 选取分割点后,再用O(n)时间即可将S划分成S1={x∈S|x≤m}和S2={x∈S|x>m}。 然而,这样选取分割点m,有可能造成划分出的子集S1和S2的不平衡。 例如在最坏情况下,|S1|=1,|S2|=n-1,由此产生的分治法在最坏情况下所需的计算时间T(n)应满足递归方程: T(n)=T(n-1)+O(n) 它的解是T(n)=O(n^2)。 这种效率降低的现象可以通过分治法中“平衡子问题”的方法加以解决。 即通过适当选择分割点m,使S1和S2中有大致相等个数的点。 自然地,我们会想到用S的n个点的坐标的中位数来作分割点。 在选择算法中介绍的选取中位数的线性时间算法使我们可以在O(n)时间内确定一个平衡的分割点m。 本程序确定平衡点采用m=[max(S)+min(S)]/2方法。 如果需要利用中位数作分割点,看结合笔者博文《0005算法笔记——线性时间选择》改写。 一维最接近临近点对问题程序清单如下: [cpp] viewplain copy 1.//2d10-1 一维最邻近点对问题 2.#include "stdafx.h" 3.#include 4.#include 5.using namespace std; 6.const int L=100; 7.//点对结构体 8.struct Pair 9.{ 10. float d;//点对距离 11. float d1,d2;//点对坐标 12.}; 13.float Random(); 14.int input(float s[]);//构造S 15.float Max(float s[],int p,int q); 16.float Min(float s[],int p,int q); 17.template 18.void Swap(Type &x,Type &y); 19.template 20.int Partition(Type s[],Type x,int l,int r); 21.Pair Cpair(float s[],int l,int r); 22.int main() 23.{ 24. srand((unsigned)time(NULL)); 25. int m; 26. float s[L]; 27. Pair d; 28. m=input(s); 29. d=Cpair(s,0,m-1); 30. cout< (d1: "< "< 31. cout< "< 32. return 0; 33.} 34.float Random() 35.{ 36. float result=rand()%10000; 37. return result*0.01; 38.} 39.int input(float s[]) 40.{ 41. int length; 42. cout<<"输入点的数目: "; 43. cin>>length; 44. cout<<"点集在X轴上坐标为: "; 45. for(int i=0;i 46. { 47. s[i]=Random(); 48. cout< 49. } 50. return length; 51.} 52.float Max(float s[],int l,int r)//返回s[]中的最大值 53.{ 54. float s_max=s[l]; 55. for(int i=l+1;i<=r;i++) 56. if(s_max 57. s_max=s[i]; 58. return s_max; 59.} 60.float Min(float s[],int l,int r)//返回s[]中的最小值 61.{ 62. float s_min=s[l]; 63. for(int i=l+1;i<=r;i++) 64. if(s_min>s[i]) 65. s_min=s[i]; 66. return s_min; 67.} 68.template 69.void Swap(Type &x,Type &y) 70.{ 71. Type temp = x; 72. x = y; 73. y = temp; 74.} 75.template 76.int Partition(Type s[],Type x,int l,int r) 77.{ 78. int i = l - 1,j = r + 1; 79. while(true) 80. { 81. while(s[++i] 82. while(s[--j]>x); 83. if(i>=j) 84. { 85. break; 86. } 87. Swap(s[i],s[j]); 88. } 89. return j; 90.} 91.//返回s[]中的具有最近距离的点对及其距离 92.Pair Cpair(float s[],int l,int r) 93.{ 94. Pair min_d={99999,0,0};//最短距离 95. if(r-l<1) return min_d; 96. float m1=Max(s,l,r),m2=Min(s,l,r); 97. float m=(m1+m2)/2;//找出点集中的中位数 98. //将点集中的各元素按与m的大小关系分组 99. int j = Partition(s,m,l,r); 100. Pair d1=Cpair(s,l,j),d2=Cpair(s,j+1,r);//递归 101. float p=Max(s,l,j),q=Min(s,j+1,r); 102. //返回s[]中的具有最近距离的点对及其距离 103. if(d1.d
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