高中数学第一单元常用逻辑用语112量词教学案新人教B版选修1.docx
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高中数学第一单元常用逻辑用语112量词教学案新人教B版选修1
2019-2020年高中数学第一单元常用逻辑用语1.1.2量词教学案新人教B版选修1
学习目标 1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词.2.了解含有量词的全称命题和存在性命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性.
知识点一 全称量词与全称命题
思考 观察下列命题:
①每一个三角形都有内切圆;
②所有实数都有算术平方根;
③对一切有理数x,5x+2还是有理数.
以上三个命题中分别使用了什么量词?
根据命题的实际含义能否判断命题的真假.
梳理
(1)
全称量词
“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”
符号
∀
全称命题p
含有________________的命题
形式
“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为________________
(2)判断全称命题真假性的方法:
对于全称命题“∀x∈M,p(x)”,要判断它为真,需要对集合M中的每个元素x,证明p(x)成立;要判断它为假,只需在M中找到一个x=x0,使p(x0)不成立即可.
知识点二 存在量词与存在性命题
思考 观察下列命题:
①有些矩形是正方形;
②存在实数x,使x>5;
③至少有一个实数x,使x2-2x+2<0.
以上三个命题分别使用了什么量词?
根据命题的实际含义能否判断命题的真假.
梳理
(1)
存在量词
“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”
符号
∃
存在性命题
含有________________的命题
形式
“存在M中的一个x,使q(x)成立”可用符号简记为____________
(2)判断存在性命题真假性的方法:
要判断一个存在性命题是真命题,只要在限定集合M中,至少能找到一个x=x0,使q(x0)成立即可,否则,这一存在性命题是假命题.
类型一 全称命题与存在性命题的识别
例1 判断下列语句是全称命题,还是存在性命题.
(1)凸多边形的外角和等于360°;
(2)有些实数a,b能使|a-b|=|a|+|b|;
(3)对任意a,b∈R,若a>b,则
<
;
(4)有一个函数,既是奇函数,又是偶函数.
反思与感悟
(1)判断语句是否为命题,若不是命题,就当然不是全称命题或存在性命题.
(2)若是命题,再分析命题中所含的量词,含有全称量词的命题是全称命题,含有存在量词的命题是存在性命题.
(3)当命题中不含量词时,要注意理解命题含义的实质.
跟踪训练1 判断下列命题是全称命题还是存在性命题,并用符号“∀”或“∃”表示下列命题.
(1)自然数的平方大于或等于零;
(2)对每一个无理数x,x2也是无理数;
(3)有的函数既是奇函数又是增函数;
(4)对于数列
,总存在正整数n,使得an与1之差的绝对值小于0.01.
类型二 全称命题与存在性命题的真假的判断
例2 判断下列命题的真假:
(1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P;
(2)存在一个函数,既是偶函数又是奇函数;
(3)每一条线段的长度都能用正有理数来表示;
(4)存在一个实数x,使得等式x2+x+8=0成立;
(5)∀x∈R,x2-3x+2=0;
(6)∃x∈R,x2-3x+2=0.
反思与感悟 要判定全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明p(x)都成立;如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立,那么这个全称命题就是假命题.
要判定存在性命题“∃x∈M,q(x)”是真命题,只需在集合M中找到一个元素x0,使q(x0)成立即可;如果在集合M中,使q(x)成立的元素x不存在,那么这个存在性命题就是假命题.
跟踪训练2 有下列四个命题:
①∀x∈R,2x2-3x+4>0;②∀x∈{1,-1,0},2x+1>0;③∃x∈N,x2≤x;④∃x∈N+,x为29的约数,其中真命题的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
类型三 全称命题与存在性命题的应用
例3 已知函数f(x)=x2-2x+5.
(1)是否存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,并说明理由;
(2)若至少存在一个实数x,使不等式m-f(x)>0成立,求实数m的取值范围.
反思与感悟
(1)一般地,对任意的实数x,a>f(x)恒成立,只需a>f(x)max,若存在一个实数x,使a>f(x)成立,只需a>f(x)min.
(2)有关一元二次不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的问题,一是转化为二次函数的图象运用数形结合求解,二是分离参数法求解.前者主要运用Δ=b2-4ac的符号,转化为解不等式或不等式组,后者常常转化为求函数的最大(小)值.
跟踪训练3
(1)已知关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,求实数a的取值范围;
(2)令p(x):
ax2+2x+1>0,若对∀x∈R,p(x)是真命题,求实数a的取值范围.
1.下列命题中,不是全称命题的是( )
A.任何一个实数乘以0都等于0
B.自然数都是正整数
C.每一个向量都有大小
D.一定存在没有最大值的二次函数
2.下列命题是真命题的是( )
A.a>b是ac2>bc2的充要条件
B.a>1,b>1是ab>1的充分条件
C.∀x∈R,2x>x2
D.∃x∈R,ex<0
3.下列存在性命题是假命题的是( )
A.存在x∈Q,使2x-x3=0
B.存在x∈R,使x2+x+1=0
C.有的素数是偶数
D.有的有理数没有倒数
4.若∀x∈[0,
],tanx≤m是真命题,则实数m的最小值为________.
5.用量词符号“∀”“∃”表述下列命题,并判断真假.
(1)所有的实数x都能使x2+x+1>0成立;
(2)对所有实数a,b,方程ax+b=0恰有一个解;
(3)一定有整数x,y,使得3x-2y=10成立;
(4)所有的有理数x都能使
x2+
x+1是有理数.
1.判断全称命题的关键:
一是先判断是不是命题;二是看是否含有全称量词.
2判定全称命题的真假的方法.定义法:
对给定的集合的每一个元素x,p(x)都为真;代入法:
在给定的集合内找出一个x0,使p(x0)为假,则全称命题为假.
3.判定存在性命题真假的方法.代入法:
在给定的集合中找到一个元素x0,使命题q(x0)为真,否则命题为假.
答案精析
问题导学
知识点一
思考 命题①②③分别使用量词“每一个”“所有”“一切”.
命题①③是真命题,命题②是假命题,三个命题中的“每一个”“所有”“一切”都有全部、所有的意义,要求命题对某个集合的所有元素都成立,而负实数没有算术平方根,故命题②为假命题.
梳理
(1)全称量词 ∀x∈M,p(x)
知识点二
思考 命题①②③分别使用了量词“有些”“存在”“至少有一个”.命题①②是真命题,命题③是假命题.三个命题中的“有些”“存在”“至少有一个”等词都是对某个集合内的个别元素而言,要说明这些命题是真命题,只要举出一个例子即可.所以命题①②是真命题,而任意实数x,x2-2x+2都大于0,所以命题③为假命题.
梳理
(1)存在量词 ∃x∈M,q(x)
题型探究
例1 解
(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和都等于360°”,是全称命题.
(2)含有存在量词“有些”,故是存在性命题.
(3)含有全称量词“任意”,故是全称命题.
(4)含有存在量词“有一个”,是存在性命题.
跟踪训练1 解
(1)是全称命题,表示为∀x∈N,x2≥0.
(2)是全称命题,∀x∈{x|x是无理数},x2是无理数.
(3)是存在性命题,∃f(x)∈{函数},f(x)既是奇函数又是增函数.
(4)是存在性命题,∃n∈N+,|an-1|<0.01,其中an=
.
例2 解
(1)真命题.
(2)真命题,如函数f(x)=0,既是偶函数又是奇函数.
(3)假命题,如边长为1的正方形,其对角线的长度为
,
就不能用正有理数表示.
(4)假命题,方程x2+x+8=0的判别式Δ=-31<0,故方程无实数解.
(5)假命题,只有x=2或x=1时,等式x2-3x+2=0才成立.
(6)真命题,x=2或x=1,都使得等式x2-3x+2=0成立.
跟踪训练2 C
例3 解 方法一
(1)不等式m+f(x)>0可化为
m>-f(x),
即m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4.
要使m>-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,
只需m>-4即可.
故存在实数m使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,此时需m>-4.
(2)不等式m-f(x)>0,
可化为m>f(x),
若至少存在一个实数x使不等式m>f(x)成立,只需m>f(x)min.
又f(x)=(x-1)2+4,所以f(x)min=4,所以m>4.
所以实数m的取值范围是(4,+∞).
方法二
(1)要使不等式m+f(x)>0对∀x∈R恒成立,即x2-2x+5+m>0对∀x∈R恒成立.
所以Δ=(-2)2-4(5+m)<0,解得m>-4,
所以当m>-4时,m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立.
(2)若至少存在一个实数x,
使m-f(x)>0成立,
即x2-2x+5-m<0成立.
只需Δ=(-2)2-4(5-m)>0即可,
解得m>4.
所以实数m的取值范围是(4,+∞).
跟踪训练3 解
(1)∵关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,∴Δ=(2a+1)2-4(a2+2)≥0,
即4a-7≥0,
解得a≥
,∴实数a的取值范围为
.
(2)∵对∀x∈R,p(x)是真命题.
∴对∀x∈R,ax2+2x+1>0恒成立,
当a=0时,不等式为2x+1>0不恒成立,
当a≠0时,若不等式恒成立,则
∴a>1.
当堂训练
1.D 2.B 3.B 4.1
5.解
(1)∀x∈R,x2+x+1>0,真命题.
(2)∀a,b∈R,ax+b=0恰有一解,假命题.
(3)∃x,y∈Z,3x-2y=10,真命题.
(4)∀x∈Q,
x2+
x+1是有理数,真命题.
2019-2020年高中数学第一单元常用逻辑用语1.2.1“且”与“或”教学案新人教B版选修1-1
学习目标 1.了解联结词“且”“或”的含义.2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题,并判断新命题的真假.
知识点一 含有逻辑联结词“且”“或”的命题
思考1 观察下面三个命题:
①12能被3整除;②12能被4整除;③12能被3整除且能被4整除,它们之间有什么关系?
思考2 观察下面三个命题:
①3>2,②3=2,③3≥2,它们之间有什么关系?
梳理
(1)用联结词“且”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作________,读作“________”.
(2)用联结词“或”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作________,读作“________”.
知识点二 含有逻辑联结词“且”“或”的命题的真假
思考1 你能判断知识点一思考1中问题描述的三个命题的真假吗?
p且q的真假与p、q的真假有关系吗?
思考2 你能判断知识点一思考2中问题描述的三个命题的真假吗?
p或q的真假与p、q的真假有关系吗?
梳理 含有逻辑联结词的命题真假的判断方法:
(1)“p∧q”形式命题:
当命题p、q都是____________时,p∧q是真命题;当p、q中有一个命题是____________时,则p∧q是假命题.
(2)“p∨q”形式命题:
当p、q至少有一个为真时,p∨q为____________;当p、q均是____________时,p∨q为假命题.
类型一 含有“且”“或”命题的构成
命题角度1 简单命题与复合命题的区分
例1 指出下列命题的形式及构成它的命题.
(1)向量既有大小又有方向;
(2)矩形有外接圆或有内切圆;
(3)2≥2.
反思与感悟 不含有逻辑联结词的命题是简单命题;由简单命题与逻辑联结词“或”“且”构成的命题是复合命题.
判断一个命题是简单命题还是复合命题,不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”等逻辑联结词,而应从命题的结构上来看是否用逻辑联结词联结两个命题.
跟踪训练1 分别指出下列命题的形式及构成它的简单命题.
(1)3是质数或合数;
(2)他是运动员兼教练员.
命题角度2 用逻辑联结词构造新命题
例2 分别写出下列命题的“p且q”“p或q”形式的命题.
(1)p:
梯形有一组对边平行,q:
梯形有一组对边相等;
(2)p:
-1是方程x2+4x+3=0的解,q:
-3是方程x2+4x+3=0的解.
反思与感悟
(1)用逻辑联结词“或”“且”联结p,q构成新命题时,在不引起歧义的前提下,可以把p,q中的条件或结论合并.
(2)用逻辑联结词构造新命题的两个步骤
第一步:
确定两个简单命题p,q;
第二步:
分别用逻辑联结词“且”“或”将p和q联结起来,就得到一个新命题“p∧q”“p∨q”.
跟踪训练2 写出下列各组命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题.
(1)p:
是有理数,q:
是整数;
(2)p:
不等式x2-2x-3>0的解集是(-∞,-1),q:
不等式x2-2x-3>0的解集是(3,+∞).
类型二 “p∧q”和“p∨q”形式命题的真假判断
例3 分别指出“p∨q”“p∧q”的真假.
(1)p:
函数y=sinx是奇函数;q:
函数y=sinx在R上单调递增;
(2)p:
直线x=1与圆x2+y2=1相切;q:
直线x=
与圆x2+y2=1相交;
(3)p:
不等式x2-2x+1>0的解集为R;q:
不等式x2-2x+2≤1的解集为∅.
反思与感悟 判断p∧q与p∨q形式命题的真假的步骤:
(1)首先判断命题p与q的真假;
(2)对于p∧q,“一假则假,全真则真”,
对于p∨q,只要有一个为真,则p∨q为真,全假为假.
跟踪训练3 分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题的真假.
(1)p:
∅{0},q:
0∈∅;
(2)p:
是无理数,q:
π不是无理数;
(3)p:
集合A=A,q:
A∪A=A;
(4)p:
函数y=x2+3x+4的图象与x轴有公共点,q:
方程x2+3x-4=0没有实数根.
类型三 逻辑联结词的应用
例4 设有两个命题,命题p:
不等式x2-(a+1)x+1≤0的解集是∅;命题q:
函数f(x)=(a+1)x在定义域内是增函数.如果p∧q为假命题,p∨q为真命题,求a的取值范围.
反思与感悟 由p∨q为真知p,q中至少一真;由p∧q为假知p,q中至少一假,因此,p与q一真一假,分p真q假与p假q真两种情况讨论.
跟踪训练4 例4中其他条件不变,把“p∧q为假命题,p∨q为真命题”改为“p∨q为真命题”,求a的取值范围.
1.命题“方程x2=1的解是x=±1”中,使用逻辑联结词的情况是( )
A.没有使用逻辑联结词
B.使用了逻辑联结词“或”
C.使用了逻辑联结词“且”
D.使用了逻辑联结词“或”与“且”
2.命题“xy≠0”是指( )
A.x≠0且y≠0B.x≠0或y≠0
C.x、y至少有一个不为0D.不都是0
3.已知p:
∅⊆{0},q:
{1}∈{1,2}.在命题“p”,“q”,“p∧q”,和“p∨q”中,真命题有( )
A.1个B.2个C.3个D.0个
4.“p∧q是真命题”则下列结论错误的是( )
A.p是真命题B.q是真命题
C.p∨q是真命题D.p∨q是假命题
5.已知命题p:
函数f(x)=(2a-1)x+b在R上是减函数;命题q:
函数g(x)=x2+ax在[1,2]上是增函数,若p∧q为真,则实数a的取值范围是________.
1.正确理解逻辑联结词是解题的关键,日常用语中的“或”是两个中任选一个,不能都选,而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个.
2.判断含逻辑联结词的命题真假的步骤:
(1)逐一判断命题p,q的真假.
(2)根据“且”“或”的含义判断“p∧q”“p∨q”的真假.
p∧q为真⇔p和q同时为真,
p∨q为真⇔p和q中至少有一个为真.
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 命题③是将命题①②用“且”联结得到的.
思考2 命题③是将命题①②用“或”联结得到的.
梳理
(1)p∧q p且q
(2)p∨q p或q
知识点二
思考1 ①是真命题;②是真命题;③是真命题.若p、q都为真命题,则p且q也为真命题.
思考2 ①是真命题;②是假命题;③是真命题.若p、q一真一假,则p或q为真命题.
梳理
(1)真命题 假命题
(2)真命题 假命题
题型探究
例1 解
(1)是p∧q形式命题.
其中p:
向量有大小,q:
向量有方向.
(2)是p∨q形式命题.
其中p:
矩形有外接圆,q:
矩形有内切圆.
(3)是p∨q形式命题.
其中p:
2>2,q:
2=2.
跟踪训练1 解
(1)这个命题是“p或q”形式,其中p:
3是质数,q:
3是合数.
(2)这个命题是“p且q”形式,其中p:
他是运动员,q:
他是教练员.
例2 解
(1)p或q:
梯形有一组对边平行或有一组对边相等.
p且q:
梯形有一组对边平行且有一组对边相等.
(2)p或q:
-1或-3是方程x2+4x+3=0的解.
p且q:
-1与-3是方程x2+4x+3=0的解.
跟踪训练2 解
(1)p或q:
是有理数或
是整数;
p且q:
是有理数且
是整数.
(2)p或q:
不等式x2-2x-3>0的解集是(-∞,-1)或不等式x2-2x-3>0的解集是(3,+∞);
p且q:
不等式x2-2x-3>0的解集是(-∞,-1)且不等式x2-2x-3>0的解集是(3,+∞).
例3 解
(1)∵p真,q假,
∴“p∨q”为真,“p∧q”为假.
(2)∵p真,q真,
∴“p∨q”为真,“p∧q”为真.
(3)∵p假,q假,
∴“p∨q”为假,“p∧q”为假.
跟踪训练3 解
(1)∵p真,q假,
∴“p或q”为真,“p且q”为假.
(2)∵p真,q假,
∴“p或q”为真,“p且q”为假.
(3)∵p真,q真,
∴“p或q”为真,“p且q”为真.
(4)∵p假,q假,
∴“p或q”为假,“p且q”为假.
例4 解 对于p:
因为不等式x2-(a+1)x+1≤0的解集是∅,
所以Δ=[-(a+1)]2-4<0.
解不等式得-3 对于q: f(x)=(a+1)x在定义域内是增函数, 则有a+1>1,所以a>0. 又p∧q为假命题,p∨q为真命题, 所以p,q必是一真一假. 当p真q假时有-3 综上所述,a的取值范围是(-3,0]∪[1,+∞). 跟踪训练4 解 对于p: x2-(a+1)x+1≤0的解集为∅, ∴Δ=[-(a+1)]2-4<0, 解得-3 对于q: f(x)=(a+1)x在定义域内为增函数, ∴a+1>1,即a>0. ∵p∨q为真, ∴p,q至少有一个为真,求两解集的并集即可, ∴{a|-30}={a|a>-3}, 综上,a的取值范围是(-3,+∞). 当堂训练 1.B 2.A 3.B 4.D 5.[-2, )
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