九年级数学上册第21章一元二次方程.docx

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九年级数学上册第21章一元二次方程

九年级数学上册第21章一元二次方程

一﹨单项选择题：

（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将此选项的字母填在答题卡上）

1．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（　　）

A．（x﹣6）2=﹣4+36B．（x﹣6）2=4+36C．（x﹣3）2=﹣4+9D．（x﹣3）2=4+9

2．若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（　　）

A．a＜1B．a≤4C．a≤1D．a≥1

3．将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为（　　）

A．10cmB．13cmC．14cmD．16cm

4．若关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k≥

B．k＞

C．k＜

D．k≤

5．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（　　）

A．﹣10B．10C．﹣6D．2

6．如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是（　　）

A．x2+9x﹣8=0B．x2﹣9x﹣8=0C．x2﹣9x+8=0D．2x2﹣9x+8=0

7．下列方程有两个相等的实数根的是（　　）

A．x2+x+1=0B．4x2+2x+1=0C．x2+12x+36=0D．x2+x﹣2=0

8．我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件．设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　）

A．1.4（1+x）=4.5B．1.4（1+2x）=4.5

C．1.4（1+x）2=4.5D．1.4（1+x）+1.4（1+x）2=4.5

9．已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（　　）

A．10B．14C．10或14D．8或10

10．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（　　）

A．x（5+x）=6B．x（5﹣x）=6C．x（10﹣x）=6D．x（10﹣2x）=6

二﹨填空题：

（本大题共10小题，每小题3分，共30分．把答案写在题中的横线上

11．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根，则x12+x22=　　．

12．若x=1是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则m的值为　　．

13．若实数a﹨b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b=　　．

14．将x2+6x+3配方成（x+m）2+n的形式，则m=　　．

15．若x2+x+m=（x﹣3）（x+n）对x恒成立，则n=　　．

16．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，则m=　　．

17．一个容器盛满纯药液40L，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L，则每次倒出的液体是　　L．

18．一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，则a=　　．

19．关于x的方程kx2﹣4x﹣

=0有实数根，则k的取值范围是　　．

20．已知若分式

的值为0，则x的值为　　．

三﹨解答题

21．某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元．

（1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；

（2）根据

（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元．

22．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．

（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；

（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．

23．白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷．

（1）求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率；

（2）若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？

24．为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．

（1）求每年市政府投资的增长率；

（2）若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？

25．某校在基地参加社会实践话动中，带队老师考问学生：

基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？

下面是两位学生争议的情境：

请根据上面的信息，解决问题：

（1）设AB=x米（x＞0），试用含x的代数式表示BC的长；

（2）请你判断谁的说法正确，为什么？

26．先化简，再求值：

（

+

）÷

，其中a满足a2﹣4a﹣1=0．

27．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．

（1）证明：

不论m为何值时，方程总有实数根；

（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．

28．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：

每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？

29．已知关于x的一元二次方程x2+x+m2﹣2m=0有一个实数根为﹣1，求m的值及方程的另一实根．

《第21章一元二次方程》

参考答案与试题解析

一﹨单项选择题：

（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将此选项的字母填在答题卡上）

1．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（　　）

A．（x﹣6）2=﹣4+36B．（x﹣6）2=4+36C．（x﹣3）2=﹣4+9D．（x﹣3）2=4+9

【考点】解一元二次方程-配方法．

【分析】根据配方法，可得方程的解．

【解答】解：

x2﹣6x﹣4=0，

移项，得x2﹣6x=4，

配方，得（x﹣3）2=4+9．

故选：

D．

【点评】本题考查了解一元一次方程，利用配方法解一元一次方程：

移项﹨二次项系数化为1，配方，开方．

2．若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（　　）

A．a＜1B．a≤4C．a≤1D．a≥1

【考点】根的判别式．

【分析】若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则根的判别式△≥0，据此可以列出关于a的不等式，通过解不等式即可求得a的值．

【解答】解：

因为关于x的一元二次方程有实根，

所以△=b2﹣4ac=4﹣4a≥0，

解之得a≤1．

故选C．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

3．将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为（　　）

A．10cmB．13cmC．14cmD．16cm

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】几何图形问题．

【分析】设正方形铁皮的边长应是x厘米，则做成没有盖的长方体盒子的长﹨宽为（x﹣3×2）厘米，高为3厘米，根据长方体的体积计算公式列方程解答即可．

【解答】解：

正方形铁皮的边长应是x厘米，则没有盖的长方体盒子的长﹨宽为（x﹣3×2）厘米，高为3厘米，根据题意列方程得，

（x﹣3×2）（x﹣3×2）×3=300，

解得x1=16，x2=﹣4（不合题意，舍去）；

答：

正方形铁皮的边长应是16厘米．

故选：

D．

【点评】此题主要考查长方体的体积计算公式：

长方体的体积=长×宽×高，以及平面图形折成立体图形后各部分之间的关系．

4．若关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k≥

B．k＞

C．k＜

D．k≤

【考点】根的判别式．

【专题】计算题．

【分析】先根据判别式的意义得到△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）≥0，然后解关于k的一元一次不等式即可．

【解答】解：

根据题意得△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）≥0，

解得k≤

．

故选D．

【点评】本题考查了根的判别式：

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：

当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．

5．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（　　）

A．﹣10B．10C．﹣6D．2

【考点】根与系数的关系．

【分析】根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，求出即可．

【解答】解：

∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，

∴﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，

解得：

m=﹣2，n=﹣8，

∴m+n=﹣10，

故选A．

【点评】本题考查了根与系数的关系的应用，能根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n是解此题的关键．

6．如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是（　　）

A．x2+9x﹣8=0B．x2﹣9x﹣8=0C．x2﹣9x+8=0D．2x2﹣9x+8=0

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．

【专题】几何图形问题．

【分析】设人行道的宽度为x米，根据矩形绿地的面积之和为60米2，列出一元二次方程．

【解答】解：

设人行道的宽度为x米，根据题意得，

（18﹣3x）（6﹣2x）=60，

化简整理得，x2﹣9x+8=0．

故选C．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用两块相同的矩形绿地面积之和为60米2得出等式是解题关键．

7．下列方程有两个相等的实数根的是（　　）

A．x2+x+1=0B．4x2+2x+1=0C．x2+12x+36=0D．x2+x﹣2=0

【考点】根的判别式．

【分析】由方程有两个相等的实数根，得到△=0，于是根据△=0判定即可．

【解答】解：

A﹨方程x2+x+1=0，∵△=1﹣4＜0，方程无实数根；

B﹨方程4x2+2x+1=0，∵△=4﹣16＜0，方程无实数根；

C﹨方程x2+12x+36=0，∵△=144﹣144=0，方程有两个相等的实数根；

D﹨方程x2+x﹣2=0，∵△=1+8＞0，方程有两个不相等的实数根；

故选C．

【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根

8．我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件．设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　）

A．1.4（1+x）=4.5B．1.4（1+2x）=4.5

C．1.4（1+x）2=4.5D．1.4（1+x）+1.4（1+x）2=4.5

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．

【专题】增长率问题．

【分析】根据题意可得等量关系：

2013年的快递业务量×（1+增长率）2=2015年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．

【解答】解：

设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，由题意得：

1.4（1+x）2=4.5，

故选：

C．

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．

9．已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（　　）

A．10B．14C．10或14D．8或10

【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．

【专题】压轴题．

【分析】先将x=2代入x2﹣2mx+3m=0，求出m=4，则方程即为x2﹣8x+12=0，利用因式分解法求出方程的根x1=2，x2=6，分两种情况：

①当6是腰时，2是等边；②当6是底边时，2是腰进行讨论．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．

【解答】解：

∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，

∴22﹣4m+3m=0，m=4，

∴x2﹣8x+12=0，

解得x1=2，x2=6．

①当6是腰时，2是底边，此时周长=6+6+2=14；

②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形．

所以它的周长是14．

故选B．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程﹣因式分解法，三角形三边关系定理以及等腰三角形的性质，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．

10．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（　　）

A．x（5+x）=6B．x（5﹣x）=6C．x（10﹣x）=6D．x（10﹣2x）=6

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．

【专题】几何图形问题．

【分析】一边长为x米，则另外一边长为：

5﹣x，根据它的面积为6平方米，即可列出方程式．

【解答】解：

一边长为x米，则另外一边长为：

5﹣x，

由题意得：

x（5﹣x）=6，

故选：

B．

【点评】本题考查了由实际问题抽相出一元二次方程，难度适中，解答本题的关键读懂题意列出方程式．

二﹨填空题：

（本大题共10小题，每小题3分，共30分．把答案写在题中的横线上

11．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根，则x12+x22=　10　．

【考点】根与系数的关系．

【专题】计算题；实数．

【分析】利用根与系数的关系确定出原式的值即可．

【解答】解：

∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根，

∴x1+x2=2，x1x2=﹣3，

则原式=（x1+x2）2﹣2x1x2=4+6=10，

故答案为：

10

【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．

12．若x=1是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则m的值为　﹣3　．

【考点】一元二次方程的解．

【分析】将x=1代入方程得到关于m的方程，从而可求得m的值．

【解答】解：

将x=1代入得：

1+2+m=0，

解得：

m=﹣3．

故答案为：

﹣3．

【点评】本题主要考查的是方程的解（根）的定义，将方程的解（根）代入方程得到关于m的方程是解题的关键．

13．若实数a﹨b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b=　﹣

或1　．

【考点】换元法解一元二次方程．

【分析】设a+b=x，则原方程转化为关于x的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求x即（a+b）的值．

【解答】解：

设a+b=x，则由原方程，得

4x（4x﹣2）﹣8=0，

整理，得16x2﹣8x﹣8=0，即2x2﹣x﹣1=0，

分解得：

（2x+1）（x﹣1）=0，

解得：

x1=﹣

，x2=1．

则a+b的值是﹣

或1．

故答案是：

﹣

或1．

【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．

14．将x2+6x+3配方成（x+m）2+n的形式，则m=　3　．

【考点】配方法的应用．

【专题】计算题．

【分析】原式配方得到结果，即可求出m的值．

【解答】解：

x2+6x+3=x2+6x+9﹣6=（x+3）2﹣6=（x+m）2+n，

则m=3，

故答案为：

3

【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

15．若x2+x+m=（x﹣3）（x+n）对x恒成立，则n=　4　．

【考点】因式分解-十字相乘法等．

【分析】利用多项式乘法去括号，得出关于n的关系式进而求出n的值．

【解答】解：

∵x2+x+m=（x﹣3）（x+n），

∴x2+x+m=x2+（n﹣3）x﹣3n，

故n﹣3=1，

解得：

n=4．

故答案为：

4．

【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确去括号得出是解题关键．

16．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，则m=　

　．

【考点】根的判别式．

【分析】根据题意可得△=0，据此求解即可．

【解答】解：

∵方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，

∴△=9﹣4m=0，

解得：

m=

．

故答案为：

．

【点评】本题考查了根的判别式，解答本题的关键是掌握当△=0时，方程有两个相等的两个实数根．

17．一个容器盛满纯药液40L，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L，则每次倒出的液体是　20　L．

【考点】一元二次方程的应用．

【分析】设每次倒出液体xL，第一次倒出后还有纯药液（40﹣x），药液的浓度为

，再倒出xL后，倒出纯药液

•x，利用40﹣x﹣

•x就是剩下的纯药液10L，进而可得方程．

【解答】解：

设每次倒出液体xL，由题意得：

40﹣x﹣

•x=10，

解得：

x=60（舍去）或x=20．

答：

每次倒出20升．

故答案为：

20．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．

18．一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，则a=　1　．

【考点】一元二次方程的定义．

【专题】计算题；待定系数法．

【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到a+1≠0且a2﹣1=0，然后解不等式和方程即可得到a的值．

【解答】解：

∵一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，

∴a+1≠0且a2﹣1=0，

∴a=1．

故答案为：

1．

【点评】本题考查了一元二次方程的定义：

含一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程，其一般式为ax2+bx+c=0（a≠0）．也考查了一元二次方程的解的定义．

19．关于x的方程kx2﹣4x﹣

=0有实数根，则k的取值范围是　k≥﹣6　．

【考点】根的判别式；一元一次方程的解．

【分析】由于k的取值不确定，故应分k=0（此时方程化简为一元一次方程）和k≠0（此时方程为二元一次方程）两种情况进行解答．

【解答】解：

当k=0时，﹣4x﹣

=0，解得x=﹣

，

当k≠0时，方程kx2﹣4x﹣

=0是一元二次方程，

根据题意可得：

△=16﹣4k×（﹣

）≥0，

解得k≥﹣6，k≠0，

综上k≥﹣6，

故答案为k≥﹣6．

【点评】本题考查的是根的判别式，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：

①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．同时解答此题时要注意分k=0和k≠0两种情况进行讨论．

20．已知若分式

的值为0，则x的值为　3　．

【考点】分式的值为零的条件；解一元二次方程-因式分解法．

【分析】首先根据分式值为零的条件，可得

；然后根据因式分解法解一元二次方程的步骤，求出x的值为多少即可．

【解答】解：

∵分式

的值为0，

∴

解得x=3，

即x的值为3．

故答案为：

3．

【点评】

（1）此题主要考查了分式值为零的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：

分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：

“分母不为零”这个条件不能少．

（2）此题还考查了因式分解法解一元二次方程问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．

三﹨解答题

21．某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元．

（1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；

（2）根据

（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元．

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】增长率问题．

【分析】

（1）一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2014年要投入教育经费是2500（1+x）万元，在2014年的基础上再增长x，就是2015年的教育经费数额，即可列出方程求解．

（2）利用

（1）中求得的增长率来求2016年该地区将投入教育经费．

【解答】解：

设增长率为x，根据题意2014年为2500（1+x）万元，2015年为2500（1+x）2万元．

则2500（1+x）2=3025，

解得x=0.1=10%，或x=﹣2.1（不合题意舍去）．

答：

这两年投入教育经费的平均增长率为10%．

（2）3025×（1+10%）=3327.5（万元）．

故根据

（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费3327.5万元．

【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数=增长后的量．

22．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．

（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；

（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．

【考点】根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．

【分析】

（1）关于x的方程x2﹣2x+a﹣2=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．

（2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．

【解答】解：

（1）∵b2﹣4ac=

（2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，

解得：

a＜3．

∴a的取值范围是a＜3；

（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：

，

解得：

，

则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．

【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

23．白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷．

（1）求该镇