圆的周长.docx
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圆的周长
圆的周长
执教:
孙雪林单位:
北京大学附属小学
一、教学内容:
六年级上册第一单元
二、教材分析
1.本单元包括的主要内容及编写意图
教材安排了先安排了测量圆镜的周长的活动,引导学生根据周长的意义想办法测量圆的周长,教材中呈现了比较常用的两种方法:
一种是在直尺上滚动的方法;一种是用线绕一圈,再量出线的长度的方法。
然后,组织学生开展实验研究活动,探究“圆的周长与什么有关系,有什么关系?
”并利用测量得到的数据进行计算每个圆的周长与直径的倍数关系,把不同的圆的有关数据通过表格的形式呈现出来,初步发现圆的周长除以直径的商是一个固定的值。
在实验研究的基础上,教师再介绍圆周率并得出圆周长的计算公式。
教材这样的安排重视引导学生经历知识的“再创造”过程.有助学生理解圆周长的意义,体会测量圆的周长的必要性。
于让学生,体会“转化”等数学思想方法。
2.教材内容的数学核心思想
1)广泛的对称性
圆是平面图形中最具有对称性的图形:
a)——轴对称(对称轴无穷多条)。
b)——旋转对称性(任意角度)
2)各点均匀性
a)每一点的弯曲程度是一样的:
到定点的距离等于定长的集合;所有半径都相等。
3)曲线研究方法
a)有限逼近无限,直线段逼近曲线。
4)普遍存在性
从微观到宏观,圆的普遍存在,如水纹、太阳下绽放的向日葵、光折射后形成的美妙光环、用特殊仪器拍摄到的电磁波、雷达波、月球上的环形山、圆形拱桥、世界著名的圆形建筑、圆形中国结、圆形标志设计等。
墨子在他的著作中这样描述道:
“圆,一中同长也。
”一中就是一个圆心,同长就是定长。
3.我的思考
教材给出用绳围和在直尺上滚动两种得到圆周长的方式,直接提出量不同物体的周长和直径,算出它们的比值,得到圆周率的近似值。
我还希望在圆的周长的学习中渗透曲线研究的方法,因此设计了用“正多边形逼近圆”的操作活动。
有的教材对于圆周率的介绍只单一强调祖冲之的贡献,新世纪小学教材介绍了人类探索圆的历史,从古代对圆的认识、古希腊阿基米德对圆的探索、刘徽割圆术、计算机时代对π的研究意义等。
比较全面,客观。
有助于学生了解数学的悠久历史,体会数学的美,感受数学文化的魅力,形成对数学的积极情感。
三、学生情况分析
圆的周长学生调研方案及调研结果分析
调查时间:
2006年10月25日。
调研目的:
1.了解学生学习“圆的周长”这部分内容的有关知识基础。
2.了解学生与“圆的周长”有关的生活经验和学习经验。
3.了解学生学习“圆的周长”这部分内容可能存在的难点。
4.了解学生学习“圆的周长”的兴趣点及喜欢的学习方式。
调研形式:
调查问卷、访谈、小组观察。
调研对象:
六年级五班的学生,共49人;小组访谈是五年级的一个小组。
调研内容及形式:
(一)问卷调查(全班所有学生):
1.求出下面图形的周长。
(单位:
厘米)
目的:
调研学生对已有知识基础(周长意义的理解)、方法基础的掌握情况。
结果分析:
回答情况
正确
错误
添加辅助线,求几个图形周长之和。
求图形的面积
没做
人数
33
3
7
6
16
百分比
67.35%
6.12%
14.29%
12.24%
32.65%
已知知识基础:
通过调研的情况,说明此班学生大部分(67.35%)能够准确把握周长的含义,并根据已知条件求出图形的周长。
但是还有相当一部分(32.65%)学生不能准确得到图形的周长,其中3人(6.12%)没有掌握周长的含义;7人(14.29%)把周长与面积混淆;3人(12.24%)没有思路,不能计算。
目的:
调研学生对所学知识的经验(轴对称的经验)。
2.你认为影响一个圆形周长大小的关键是什么?
目的:
调研学生对影响圆的周长的元素的经验。
结果分析:
直径
半径
面积
长、宽
圆周率
圆的大小
周长
圆心
不知道
人数
15
13
3
2
2
7
2
2
3
百分比
30.6%
26.5%
6.1%
4.1%
4.1%
14.3%
4.1%
4.1%
6.1%
学习经验:
绝大部分同学的回答是比较正确的(包括直径、半径、面积、大小),占到77.5%。
在缺乏视觉支持的情况下,个别同学对“面积大周长就长”的说法感到怀疑,这说明学生对以前所学的长方形正方形周长面积比较有较深刻的认识。
但仍有14.3%的学生完全答错(圆周率、圆心、不知道)。
(二)访谈(随机抽取10名学生)
1.你知道圆周率吗?
你对它有什么了解?
目的:
调研学生对所学知识的经验(圆周率的经验)。
结果分析:
结果
听说过
π
圆周率的值
求面积和周长
与祖冲之有关
人数
9
1
5
1
3
学习经验:
孩子们对π的认识几乎只是知道它在3.1415926—3.1415927之间,一般取值3.14,但是对π的意义就几乎都不太清楚了。
只有一个孩子是因为读过这方面的书籍;缺乏对数学家的了解。
对π的不认识,是因为孩子们对用一个符号表示一个数还不能体会和接受。
平时看的有关数学家的故事,数学故事不多。
老师应该有意识的培养学生多读一些有关这方面的书籍。
π离孩子们的认识世界有点远。
我们应该引导学生体会π的意义和推算过程。
引发我们思考,真正的课堂我们要对它有所设计,让孩子们体会中国人的聪明与智慧,增强孩子们爱数学、学好数学的信心。
2.
(1)在学习长方形特征及三角形面积的过程中,你遇到的最大困难是什么?
遇到困难时你愿意采取什么方式解决困难(看书自学、询问他人、自己探索、小组讨论、教师讲解)
(2)学习一个新的知识,你愿意采用什么方式?
(看书自学、询问他人、自己探索、小组讨论、教师讲解)
目的:
调研学生的学习方式和兴趣点。
结果分析:
困难:
结果
三角形面积难求
背公式
没困难
人数
6
1
3
解决方式:
结果
独立思考
看书
别人帮助
小组合作
人数
2
1
2
0
(2)学习一个新的知识,你愿意采用什么方式?
(看书自学、询问他人、自己探索、小组讨论、教师讲解)
结果
看书自学
询问他人
教师讲解
小组讨论
自己探索
人数
1
0
3
3
3
学习兴趣和学习方式:
学生对于已经学过的图形的认识以及面积的理解只是停留在结果上了;上课时探索的过程孩子们记忆不够深刻;在老师引导之后说出喜欢小组合作。
说明以前教学中关注探索不够,孩子们总结反思的不够。
比较分析过程的教学设计欠缺。
以前孩子们没有充分的体会小组合作的快乐与价值。
(三)小组观察(随机抽取班上一个学习小组)
你能得到这个圆形物品的周长吗?
(出示圆形物品)
目的:
调研学生对所学知识(圆周长和圆面积)的经验和可能遇到的困难,还有学生在小组测量活动中可能遇到的问题。
结果分析:
首先说说被我们观察的对象——五年级的一个学习小组,学生没有见过有关圆的数学课本,有一节《圆的认识》的基础,但没有巩固,对于周长的概念很清楚。
当学生对圆的周长产生需要,四个人商量之后,提出需要学具(绳子、剪刀、尺子、笔)于是很快利用围、滚的方式获得茶叶桶的底面周长。
教师提出,如果获得画在纸上的圆的周长,怎么办?
……3分钟时间过去了,组内的4名学生还在默默思考,……又过去2分钟,还在思考。
提示:
你知道圆的周长和谁有关系吗?
生:
半径和直径。
师:
为什么?
生:
《圆的认识》课上画圆时知道的,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小。
师:
那他们之间有什么关系呢?
商量一下,看你们有没有办法得到这个关系。
生:
圆的周长公式中肯定有“π”。
……在简单4个孩子的商量过程中发现,他们在试图回忆或询问圆周长的公式,在没有结果的情况下。
一个女孩子开始画图:
正方形周长是直径的4倍(显然她将画在正方形内的两条线段看成了正方形的直径,)圆呢?
生2:
大概有3个直径吧。
……
时间已经过去将近30分钟,4个孩子的讨论还在继续,虽然最终没有得到计算圆周率、圆周长的方法,但是展现给我们的是孩子们从不会到会的思维过程。
我们在圆单元的教学设计中正是依据了这些,也希望通过我们的教学活动保护孩子们这种宝贵的思考问题的过程,使孩子们在获取知识的同时,更获得一些数学思想、方法。
四、教学目标
第一课时
1.在操作活动中,进一步认识圆的特征,认识圆的周长。
2.经历实际测量的过程,体会圆的周长与直径之间的关系。
3.在对数据的收集和讨论过程中,发展科学的研究问题的态度和反思意识。
第二课时
1.理解圆周率的意义,掌握圆的周长公式,能运用圆的周长公式解决一些简单的实际问题。
2.经历“正多边形逼近圆”的过程,感受以直代曲的研究曲线的方法。
3.通过倾听及阅读有关历史资料,体会人类探索圆周率的过程,发展民族自豪感,感受数学的文化价值。
学习重点:
圆周率的意义、圆周长公式;以直代曲的研究曲线的方法;科学的研究问题的态度。
学习难点:
以直代曲的研究曲线的方法;对圆周率是一个定值的认识。
五、教学活动
第一课时:
时间
分配
教师授课行为
学生学习行为
设计意图
辅助手段
6分
一、复习导入,明确方向
1、老师这有两个铁丝围成的图形,只能看到它一部分,猜猜这是什么图形?
用你自己的语言描述一下,如果挡住的部分是什么样就是圆了?
如果确实都是圆,你觉得哪一根用的铁丝长?
凭什么这么说?
现在为什么你们一眼就看出哪个图形用的长了呢?
凭视觉怎样看出哪个圆大呢?
看来,圆的周长确实和圆的直径(d)、半径(r)有关!
这根铁丝的长度也就是围成这个圆的曲线的长,就是这个圆的周长(板书C)。
(出圆的周长概念)
学生根据已有的知识和经验用自己的语言描述。
使学生进一步认识圆的特征,认识圆的周长,体会直径(或半径)决定圆的周长的大小。
15分
二、实验测量,初步探索
1、讨论方法,实际测量
圆的周长和直径有什么关系?
我们又怎样研究这种关系呢?
你打算用什么方法得到所需要的数据?
(讨论)
追问为什么这样做?
适时提示指导测量方法及注意事项。
提供记录单。
学生可能的回答:
1、实物模型。
2、数据分析。
汇报测量周长和直径的方法。
小组实验测量。
体会可以通过测量获取数据,寻求两个量之间的关系。
实际测量需要合作,培养合作意识。
为了避免学生在实验中的问题,适时提醒。
10分
2、分析数据、探索规律
请选择你们认为测的最精确的一组数据来汇报。
观察这些数据,认真思考,你发现什么问题?
(等)
研究周长与直径之间什么关系?
为什么只研究(商)也就是比值呢?
(电子表格计算比值)
(板书:
)
现在能否肯定我们的实验,已经找到了圆周长与直径的关系了?
那怎么办?
再测一次吗?
这些种种误差我们能否在实验中全部绝对避免?
既然永远无法避免误差,永远得不到准确的圆周长的准确数据,哪怎样得到圆周长与直径间精确的关系呢?
汇报数据
分析误差
研究比值
发现都是3.?
培养科学的研究态度和习惯
变中找不变的直觉思维
PPT
电子表格
4分
3、适时反思、引发困惑
实际上,我们用测量、实验的方法永远都无法避免误差!
(关于测量与误差的话题我们将来会有时间专门来讨论)
既然永远无法避免误差,永远得不到准确的圆周长的数据,那又怎样得到圆周长与直径间精确的关系呢?
实际上这个令人头疼的问题同样曾经困扰了人类数千年!
学生倾听并思考。
通过教师的讲解,引起学生进一步探索的兴趣。
5分
三、介绍”古率”并置疑
公元前2世纪,中国的《周髀算经》里也出现有“周三径一”的记载。
东汉时期官方还明文规定计算圆大小的标准是取周长与直径比值3,后人称之为“古率”。
这个粗略的比值正是向同学们一样,是采用实验测量的方法得到的!
用这个古率估计圆田面积时,没有太大影响,但以此来制造圆形器皿就不太合适了。
为求得圆的周长与直径更精确的的比值,人类到底走过了怎样一条漫长而曲折的道路呢?
我们下节课继续探索。
学生观察、思考。
通过教师的讲解,引起学生进一步探索的兴趣。
PPT
第二课时:
时间
分配
教师授课行为
学生学习行为
设计意图
辅助手段
8分
一、摆正多边形,体验无穷
1、用小棒摆个三角形,这是一个什么三角形?
再摆个正方形?
再摆个正六边形?
正八边形?
是这样的吗?
2、观察思考
仔细观察,有什么想法?
(等)
想象一下,如果摆一个正120边形,会是什么样?
大树围栏照片——几位工人师傅的作品
他们是怎样做到的呢?
能求出这些正多边形的周长吗?
学生操作活动
(一)
正120边形,会更象圆。
(随着边数越来越多,正多边形越来越象圆,它的周长也越来越接近圆的周长)
(边长×边数)
通过设计动手活动,结合学生身边的事物,使学生经历正多边形逼近圆的过程,感受研究曲线的方法。
PPT
照片
录象片段
12分
二、一刀剪圆,体验极限
1、一张正方形的纸,一把剪刀,不借助其他工具,请你只用1刀剪出个圆来。
(巡视、收集作品、发纸)帖黑板上展示3个。
2、欣赏作品!
为什么这个比那个更“圆”呢?
3、要是折很多很多次,想象一下,打开后会怎样呢?
能实际操作吗?
借助电脑来演示吧!
是这个意思吗?
(画板课件演示:
割圆!
)
来看这样一段话:
(PPT)
割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣!
学生操作
(二)
沿直线剪的居然比沿曲线剪的更“圆”;
对折的次数越多,就越“圆”
(不能)
通过设计动手活动,,使学生再次经历正多边形逼近圆的过程,感受研究曲线的方法。
几何画板
10分
三、体会割圆思想、总结周长公式
1、通过以上两个活动和这段话,现在你有什么想法?
比较这种得到周长数据的方法与实验测量有什么不同?
(仍然是近似值但可以更精确;用计算代替实验操作)
目前你认为这种方法有什么困难?
2、介绍割圆术、祖冲之
板书:
(π)
3、总结周长公式
有了这个关系,我们就可以利用它来计算圆的周长了:
板书:
C=πd
用求很多条边的正多边形周长的方法来得到圆周长(的近似值);
分的份数越多就越精确;
精确度可以控制了;……
还不具备计算正多边形周长知识。
学生读:
圆的周长(C)与直径(d)的比值,是一个固定不变的数,是一个无限不循环的小数。
并称之为圆周率,用希腊字母π来表示。
通过比较,再次体会研究曲线的方法。
通过教师讲解,学生阅读,认识圆周率及圆周长计算公式。
PPT
5分
四、实际应用,解决问题
这是校园里另一棵大树的围栏,如果希望知道大约用多少块砖,你认为需要什么数据?
给数据、板书计算过程。
(介绍取近似值3.14)
直径、砖的厚度、层数……
在解决实际问题中中理解、巩固
照片
PPT
5分
五、拓展引申、全课小结
学生介绍圆周率相关知识,提出进一步需要研究的问题。
PPT
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