选修21第三章空间向量及其运算知识点docx.docx
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3.1空间向量及其运算知识点
1.空间向量的有关概念
⑴空间向量:
在空间中,具有大小和方向的量叫做空间向量.
⑵单位向量:
模为1的向量称为单位向量
⑶相等向量:
方向相同且模相等的向量.
⑷共线向量:
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量.
⑸共面向量:
平行于同一个平面的向量.
2.空间向量的加法、减法与数乘运算
向量的加减法满足平行四边形法则和三角形法则
向量加法的多边形法则:
首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量
UUUUuUUUIrJUUllUUUUIrJ
OAI=OA+AIA2+A2A3+…+An-1An-
运算律:
①加法交换律:
a+b=b+a②加法结合律:
(a+b)+C=a+(b+C)③数乘分配律:
λ(+b)=λaλb.
3.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理
(1)共线向量定理
对空间任意两个向量a,b(b≠0),a//b的充要条件是存在实数λ使得a=λb
推论:
I点P在直线AB上的充要条件I是:
UJlIUUI
存在实数λ使得AP=AAB①
UIUUUrUUJ
或对空间任意一点0,有OP=OAAB②
UIUUUrUUr
或对空间任意一点0,有OP=XOAyOB其中X+y=1③
UUJUUrUlUIUrUIUUlUUUrUIU
【推论③推导过程:
OP=OA∙AB=OA■(AOOB)=(I-∙)OA■OB】
(2)共面向量定理
如果两个向量a,b不共线,那么P与a,b共面的充要条件是存在唯一有序实数对(x,y)使P=xa+yb
推论:
空间一点P位于平面ABC内的充要条件是
UUJUUJUUU
存在唯一有序实数对(x,y)使AP=XAByAC,
UiUUUrUUJUUU
或对空间任意一点0,有OP=OA∙XAByAC
UlUUUrUlUUlU
或对空间任意一点0,有OP=XOAyOB■ZOC,其中X+y+Z=1
UUJUUrUIUUUUUIrUUJUui
【推论③推导过程:
OP=OAXAByAC=(1-x-y)OAXOByOC】
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a,b,C不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得P=xa+yb+ZC
基底:
把{a,b,c}叫做空间的一个基底,空间任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
4.空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
1两向量的夹角:
已知两个非零向量a,b,在空间任取一点0,作OA=a,OB=b,则∠AQB叫做向量a与b的夹
角,记作〈a,b>,其范围是0≤≤∏若〈a,b>=∏,则称a与b互相垂直,记作a⊥b.
2两向量的数量积:
已知空间两个非零向量a,b,向量a,b的数量积记作ab,且ab=∣a∣∣b∣cos.
⑵空间向量数量积的运算律:
①结合律:
(λι)b=λab);②交换律:
ab=ba;③分配律:
a(b+C)=ab+ac.
5.空间向量的坐标表示及应用
设a=(aι,a2,a3),b=(bi,b2,b3)
(1)数量积的坐标运算:
ab=a1b1+a2b2+a3b3.
(2)共线与垂直的坐标表示:
a/b?
a=λ?
ai=λ1,a?
=λba3=λ3(λ∈R),a⊥b?
ab=0?
aibi+a2b2+a3b3=0(a,b均为非零向量).
(3)模、夹角和距离公式:
∣a∣='∙.Faa=■:
Jai+a2+a3,
abaibi+a?
b2+a3b3
C0S〈a,b〉IaIlbla2+a2+a2∙b2+b2+b3.
设A(ai,bi,Ci),B(a2,b2,C2),贝UdAB=l→B∣=.a2—ai2+b2—g2+c?
—Ci2.
6.用空间向量解决几何问题的一般步骤:
(1)适当的选取基底{a,b,c};
(2)用a,b,C表示相关向量;
(3)通过运算完成证明或计算问题.
题型一空间向量的线性运算
用已知向量来表示未知向量,应结合图形,将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中,表示为其他向量的和与差的形式,进而寻找这些向量与基向量的关系.
M,N分别是OA,BC的中点,G是厶ABC的重心,用基向量(DA,OB,OC表示MG,
→→→i→2→i→2→→i→2i→→→i→i→i→
解析:
MG=MA+AG=^OA+3AN=?
OA+§(ON—OA)=?
0A+^(OB+OC)—OA]=—§0A+§0B+§0C.
→→→1→1→1→1→1→1→1→
OG=OM+MG=^OA—6OA+§0B+3OC=^OA+-OB+§OC.
→I→→→UiUUUDUUIUUUIU
例2:
如图所示,ABCD—A1BiCiDi中,ABCD是平行四边形.若AE=-EC,A→F=2FD,且EF=XAB+yAD+zAA1,
试求X、y、Z的值.
J3∣
-→-→-→-→i-→i-→-→
•解连接AF,EF=EA+AF.∙.∙EA=—3AC=—^(AB+AD)
→→→→→→i→→i→→2UUU
AF=AD+DF=AD—FD=AD—^AiD=AD一((AiA+AD)=—AD
333
iUUr→→→iUUIUiUUUiUUirAiAEF=EA+AF=ADAAiAB
3333
题型二共线定理应用
向量共线问题:
充分利用空间向量运算法则,用空间中的向量表示a与b共线.
a与b,化简得出a=■b,从而得出a//b,即
点共线问题:
证明点共线问题可转化为证明向量共线问题,如证明
→→
A、B、C三点共线,即证明AB与AC共线.
求证:
E,F,B三点共线.
M,N分别是AC,BF的中点,判断CE与MN
UUrUIrUUr
CE=CBBE
τUUUUUUUIrUUIUιUUIUUIr1UIrUUr1UIlUUurUIr1UUr1UIr1UUr
MN=MCCBBNACCB(BABE)(ACBA)CBBECBBE
222222
→→→→→→
∙∙∙CE=2MN,∙∙∙CE//MN,即CE与MN共线.
→→→
2
E在AiDi上,且AiE=2EDι,F在对角线AiC上,且AiF=^FC.
3
→→
•EF=2EB.所以E,F,B三点共线.
题型三共面定理应用
→→点共面问题:
证明点共面问题可转化为证明向量共面问题,如要证明P、A、B、C四点共面,只要能证明PA=XPB
→
+yPC,或对空间任一点
→→→→→→→→
O,有OP=OA+XPB+yPC或OP=XOA+yOB+ZOC(X+y+Z=1)即可
→→→→
2i2
例5:
已知A、B、C三点不共线,对于平面ABC外一点0,若OP=-OA+-OB+;0C,则点P是否与A、B、C555
一定共面?
试说明理由.
U2UlrIUIU2UUU2UUlUIr1UUUUlr2UUUUrUIU2UIr1Ulr2UUU
解析:
∙∙∙OP=—OA+—OB+-OC=—(OP+PA)+-(OP+PB)+-(OP+PC)=OP+-PA+-PB+—PC553553553
→→→
12
∙∙∙AP=EAB+7AC,故A、B、CP四点共面∙
55
例6:
如图所示,已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,连结PA、PB、PC、PD,点E、F、G、H分别为
△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心,应用向量共面定理证明:
E、F、G、H四点共面.
证明:
分别延长PEPRPGPH交对边于MNQR.
∙∙∙E、F、GH分别是所在三角形的重心,∙∙∙M、N、Q、R为所在边的中点
→→→→→→→→
2222
顺次连结M、N、Q、R,所得四边形为平行四边形,且有PE=-PM,PF=§PN,PG=-PQ,PH=~PR.
→→→→→→→→→→→→→→→→
222222233233
.∙.EG=PG-PE=3PQ-3PM=3MQ=3(MN+MR)=3(PN-PM)+§(PR—PM)=3(?
PF-^PE)+^(-PH—2PE)
→→
=EF+EH.∙由共面向量定理得E、F、G、H四点共面.
→→→
例7:
正方体ABCD-AiBiCiDi中,E,F分别是BBi和AiDi的中点,求证向量AiB,BiC,EF是共面向量.
→→→→→→→→→→
-→1—→111
证明:
女口图所示,EF=EB+BAj+AjF=^B1B-"B+^AjDj=-(B1B+BC)-A1B=^BjC-AjB.
→→→
由向量共面的充要条件知AjB,BjC,EF是共面向量.
题型四空间向量数量积的应用
例8:
①如图所示,平行六面体
ABCD—AiBiCiDi中,以顶点A为端点的三条棱长都为i,且两两夹角为60°
⑴求ACi的长;
(2)求BDi与AC夹角的余弦值.
解析:
(J)记AB=a,AD=b,AAJ=c,则Ial=Ibl=ICl=J,〈a,b〉=〈b,c>=
」」J
∙ab=bC=ca=;
2'
∣ACjf=(a+b+c)?
=a+b+C+2(ab+bc+Ca)=J+J+J+2×?
+?
+?
=6,∙|ACjI=V6,
即ACJ的长为:
:
:
:
;;6.
(2)BDJ=b+C-a,AC=a+b,∙∙IBDJI=2,∣Aθ∣=.3,BDJAC=(b+C-a)(a+b)=b2-a2+ac+bC=J.∙cos
→→66
IBDjIIACI
②已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E、F分别是BC、AD的中点,则AEAF的值为()
A.a2B.;a2C;a2D^a2
→→→
解析:
设AB=a,AC=b,AD=c,则Ial=Ibl=ICl=a,且a,b,C三向量两两夹角为60°
→→→→
1111112212AE=2(a+b),AF=尹二AEAF=2(a+b)^c=4(aC+bC)=4(acos60°acos60)=4a.
题型五空间向量坐标运算
DC,DP所在直线分别为X,y,Z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为()
A.(1,1,1)B∙Q,1,1)C.(1,1,3)D.(1,1,2)
例10:
已知a=(2,—1,3),b=(—1,4,-2),C=(7,5,λ∙若a,b,C三向量共面,则实数
C(3,2,4),试求△ABC的面积
例11:
已知△ABC的顶点A(1,1,1),B(2,2,2),
→→→→→→
AB=(1,1,1),AC=(2,1,3),|AB|=3,|AC|=14,ABAC=2+1+3=6,
∙cosA=8S〈AB,ac>=36l4=ζ.∙SinA=I-;;='
||AC|∙nA=1×.3×帀×*=于.
例12:
已知a=(λ÷1,0,2),b=(6,2μ—1,2λ,若a//b,贝Uλ与μ的值可以是()
A.2,
1
2
B.—
11
3,2
C.—
3,2
D.2,2
λ+1
2
fλ=2,
'λ=—3,
解析
由题意知:
6
=2λ,
解得1
或1
2—
1=0,
μ=2
尸
例13:
已知空间中三点A(—2,0,2),B(—1,1,2),C(—3,0,4),设a=→,b=AC.,若ka+b与ka—2b互相垂直,
求实数k的值.
方法一一ka+b=(k—1,k,2).ka—2b=(k+2,k,—4),且ka+b与ka—2b互相垂直,
•••(k—1,k,2)(k+2,k,—4)=(k—1)(k+2)+k2—8=0,∕∙k=2或一5,方法二由⑵知|a∣=^2,∣b∣=承,ab=—1,•(ka+b)(ka—2b)=k2a2—kab—2b2=2k2+k—10=0,得k=2或一∣.
例14:
已知空间三点A(0,2,3),B(—2,1,6),C(1,—1,5).
(1)求以AB,→C为边的平行四边形的面积;
⑵若IaI=,3,且a分别与AB,AC垂直,求向量a的坐标.
解
(1)cos〈AB,AC〉===3筲=-7-=1∙.∙.Sin〈AB,心=写,
∣→∣Ac∣1422
•以AB,AC为边的平行四边形的面积为S=2×1∣A→||ACISin〈AB,AC>=14×^3=7,3.
X2+y2+z2=3X=1x=—1
(2)设a=(x,y,Z),由题意得2x—y+3z=0,解得fy=1或fy=—1,
以—3y+2z=0L=1[z=—1
21
例15:
如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别在Aq、AC上,且ApE=3A1D,AF=-AC,贝U()
A.EF至多与A1D、AC之一垂直B.EF与A1D、AC都垂直C.EF与BDp相交D.EF与BDj异面
解析:
设AB=1,以D为原点,DA所在直线为X轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为Z轴建立空间直角坐标
(11伦1∖→
系,贝yA1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E3,0,3,F3,30,B(1,1,0),D1(0,0,1),A1D=(—1,0,—1),AC=(—1,1,0),EF=1,3—1,B→1=(—1,—1,1),EF=—3B→1,A→DEF=ACEF=0,从而EF//BD1,EF丄AQ,EF丄AC.
→→
例16:
已知0(0,0,0),A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在直线OP上运动,当QAQB取最小值时,点Q的坐标是.
→→→→
解析:
设OQ=QP=(λ,λ2λ,贝UQA=(1—人2—λ3—2λ,QB=(2—λ1—λ2—2λ.
∙∙∙QAQB=(I-^2-λ÷(2-如-λ+(3-叩-2λ=6λ-16λ÷10=6(λ-$—2
→→→
二当λ=4时,QAQB取最小值为-此时,OQ=(4,3,3),
综合练习
、选择题
1、下列命题:
其中不正确.的所有命题的序号为•
①若A、B、C、D是空间任意四点,则有AB÷BC+CD÷DA=0;②IaHb=|a÷b∣是a、b共线的充要条件;
3若a、b共线,则a与b所在直线平行;
4对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C,若OP=XOA÷yOB÷ZOC(x、y、z∈R),贝UP、A、B、C四点共
面.
5设命题P:
a,b,C是三个非零向量;命题q:
{a,b,c}为空间的一个基底,则命题P是命题q的充要条件
解析:
选②③④⑤,①中四点恰好围成一封闭图形,正确;②中当a、b同向时,应有|a|÷|b|=|a÷b|;③中a、
b所在直线可能重合;④中需满足x÷y÷Z=1,才有PA、BC四点共面;⑤只有不共面的三个非零向量才能作
为空间的一个基底,应改为必要不充分条件
C.12
D.144
=(PA÷AB÷BC)=PA2÷AB2÷BC2÷2ABBC=36÷36÷36÷2×36cos60O=144∕∙|PC|=12证明设AB=a,AC=b,AD=c,则BG=BA÷AG=BA÷3AM=—a÷1(a÷b÷c)=—3a÷1b÷~.c,
44',444
BN=BA÷AN=BA÷3(AC÷AD)=—a÷fb÷fc=IBG.∕∙BN^BG,即B、G、N三点共线.
2
5、正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a,点M在A®上且AM=IMC1,N为B1B的中点,贝UIMNI为()
AL
解析以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系DXyZ,则A(a,0,0),C*0,a,a),Na.
ABCD—A1B1C1D1中,向量Ab,AD,AA1两两的夹角均为60°,且IABI=1,∣AD∣=2,IAAII=3,则
88、平行六面体
设M(x,
T点M在AC1上且AM=2MC1,∙(x—a,y,Z)=*(—x,a—y,a—Z)
设AB=a,AD=b,AA1=c,则AC1=a÷b÷c,AC12=a2÷b2÷c2÷2ab÷2bc÷2Ca=25,IAC1I=5」
9、在下列条件中,使M与A、B、C一定共面的是()
---------------
11
A.OM=3OA—2OB—OCB.OM÷OA÷OB÷OC=0C.MA÷MB÷MC=0D.OM=4OB—OA÷^OC
———
解析:
C中MA=—MB—MC.故M、A、B、C四点共面.
二、填空题
10、同时垂直于a=(2,2,1)和b=(4,5,3)的单位向量是.
p2+q2+r2=1,
2p+2q+r=0,
4p+5q+3r=0,
1
P=3,
—2
解得q=—£,
I2
r=3,
1
P=—3,或q=|,
所求向量为3,—3,3或—3,3,—3.
2
11.
若向量a=(1,λ2),b=(2,—1,2)且a与b的夹角的余弦值为鲁,则λ=
12.在空间直角坐标系中,以点A(4,1,9)∖B(10,—1,6)、C(x,4,3)为顶点的厶ABC是以BC为斜边的等腰直角三角
形,则实数X的值为
解析由题意知ABAC=O,IAiBl=ACI,可解得X=2.
13.已知a+3b与7a—5b垂直,且a—4b与7a—2b垂直,则〈a,b>=I
解析由条件知(a+3b)(7a—5b)=7|a|2+16ab—15|b|2=0,及(a—4b)(7a—2b)=7|a|2+8|b|2—30ab=0.两式相减,得46ab=23|b|2,二ab=2|b|2.
14.如图所示,已知二面…l—e的平面角为θθ∈0,Π,AB⊥BC,BC⊥CD,AB在平面β内,BC在I上,
CD在平面α内,若AB=BC=CD=1,贝UAD的长为
—→2—→—→—→2=—→2—→2—→2—→—→—→—→—→—→
解析:
AD2=(AB+BC+CD)AB2+BC2+CD2+2ABCD+2ABBC+2BCCD=1+1+1+2cos(—θ)=3—2cosθ
15.已知a=(1—1,1—t,t),b=(2,t,t),则|b—a|的最小值为.
解析b—a=(1+t,2t-1,0),••|b—a|=^(1+tf+(2t—1Y=^^5[^t—5/+5,•当t=5时,|b—a取得最小值.
三、解答题
16、如图所示,在各个面都是平行四边形的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,P是CA1的中点,M是CD1的中点,N是
(1)AP=
C1D1的中点,点Q在CA1上,且CQ:
QA1=4:
1,设AB=a,AD=b,AAI=C用基底{a,b,c}表示以下向量:
1→→1→→1
2(AC+AA1)=2(aB+AD+aA〔)=2(a+b+C).
-→1-→-→1-→-→-→1
(2)AM=2(AC+AD1)=2(AB+2AD+AA”=?
(a+2b+C).
17、如图,已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心,且G为AM上一点,且GM:
GA=1:
3.
=Ca=0.
⑴证明:
设CA=a,CB=b,CC'=c,根据题意,|aI=IbI=ICl且ab=bC
∙∙∙CE=b+∣C,A→D=—C+1b-2a.ΛCE∙A→D=—∣c2+1b2=0,∙'∙CE丄At),即CE丄AD.
b+2C=2C2=∙2∣a∣2,
⑵A→'=—a+c,∙∙∙|AC'I=2|a|,品=^^∣A→'∙CE=(—
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