双缝干涉条纹间距公式的推导两种方法.docx

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双缝干涉条纹间距公式的推导两种方法

双缝干涉条纹间距公式的推导

相干光经双缝后再次在屛上相遇互相叠加，形成了稳尢的明暗相间的干涉条纹，理论利实齡都证明：

在两狭缝间的距离和狭缝与屏间的距离不变的条竹下，单色光产生的干涉条纹间距跟光的波长成•疋比，现简要推导如下：

如图，0是s1s2的中垂线与屏的交点；d是s1、s2的距离：

I是缝与屏的距离：

x是p点到o点的距离;r1、r2是屏上P点到s1、s2的距离：

设s1、s2到P点的路程差为6=r2—r1,由图可知

（2八

:

d

1*+（X~—）2

（1）-

（2）可得：

■

d.

（X-—）*=2dx^'

2

即Ti+r>）（r：

irt）=2dxP由于1»dl»x^氐lit匕r：

+r-Q2：

l>

&

所以：

r;-rF—x即：

S

1

（k=0j±19±29±3>—）

当6等于光波波长入的整数倍时>两列波在P点同相加强>出现壳条纹♦d

即kA=〒x

（k=0,±2,±3,…

则x=kL

d

所以△x=*e-xk

ddd

1即二万入

□

当S等于光波半波长-的奇数倍时，两列波在p•点反

2

相減弱>出现暗条纹：

3

即（2kH）—=—x（k=O>±l>±2>±3^—>'

21

niia

RIJx=（2k+l）—・—（k=O>±l,±2,±3>—）

d2

121

所以Ax二Xk-xk=（2k+3）—（2kH）—・

d2d

A1

—————A♦1

2d

即△X=—A（5）2

d

根据（4）、（5）两式可知：

相邻两条明纹（或暗纹）I'可距离均为△x=1/dA，而I、d和入都为定值，所以屏上的干涉条纹是等间距的。

［应用］相干光经双缝产生于涉现象，为发生如下变化时，干涉条纹如何变化？

（1）屏幕移近；

（2）缝距变小；（3）波长变长；

［分析］由公式从=1/d入可知，相邻两条明纹（或暗纹）间距离&与I、入成正比，与d成反比。

（1）若屏幕移近，贝0丨变小，因此条纹间距Ax变小，条纹变得密集。

（2）若缝距d变小，则Ax变大，条纹变得稀疏。

（3）若波长入变长，则山变大。

因此若入射光为口光，则中央明纹（白色）的两侧,出现彩色条纹，且靠近中央明纹的是紫光。

另外在研究干涉现象时，…般不称呼明条纹和暗条纹它们的宽度是多少，这是因为从光的能量角度讲，从明条纹到暗条纹衔接处，是连续变化的，没有分界线。

双缝干涉条纹间距公式的推导

ny

dO

d

►

x

2

2

如图建立直角坐标系，其

x轴上横坐标为

pl

—的点与

2

-的点为两波源。

这两个波源的振动情况完全相同，则这两个波源发生干涉时的加强区为到两个波源的距离

2

d,0、-,0为所有双曲线的公共焦点。

这个双曲线簇的方程为:

22

2

x

2nT

解得：

xn

.222

dn

l2

上式中，d的数量级为104m,为107m。

故d2n22d2,x的表达式简化为:

可见，交点横坐标成一等差数列，公差为

（1）条纹是等间距的；

（2）相邻两条纹的间距为—。

d

-，这说明:

d

至此，证明了条纹间距公式:

杨氏双缝干涉条纹间距到底是不是相等的

海军航空工程学院李磊梁吉峰选自《物理教师》2008年第11期

在杨氏双缝干涉实验中，在现行的高中物理教科书中得出相邻的明纹（或者暗纹）中心间距为：

Zx=L"d，其中L为双缝与屏的间距，d为双缝间距，对单色光而

言，其波长入为定值，所以我们得出的结论是干涉图样为等间距的一系列明暗相同的条纹，但是在现行的高中物理教科书中所给的干涉条纹的照片却并非如此，如图1。

我们可以看到只是在照片中央部分的干涉条件是等间距的，但是在其边缘部分的条纹的间距明显与中央部分的条纹间距不同。

问题到底出在哪里呢

首先我们来看现行的教科书上对于杨氏双缝干涉的解释，如图2。

as屛

m2

设定双缝S、9的间距为d,双缝所在平面与光屏P平行。

双缝与屏之间的垂直距离为L,我们在屏上任取一点P1,设定点P1与双缝Si、S2的距离分别为ri和Z

O为双缝S1、S2的中点，双缝S1、S2的连线的中垂线与屏的交点为P0,设P1与P0的距离为x,为了获得明显的干涉条纹，在通常情况下L>>d,在这种情况下由双缝S1、S2发出的光到达屏上P1点的光程差&为

SM=r2—门~dsin0,

（1）

其中B也是OPo与OPi所成的角。

因为d«L,B很小，所以

x

sin穴tan0=[

（2）

x

因此Xdsin0~d[

、“x

当&注d[=±k入时，屏上表现为明条纹，其中k=0,1,2,……,（3）

X1

当&疋d[=±（k+2）入时，屏上表现为暗条纹，其中是k=0,1,2,……。

（3）

我们继续算得光屏上明条纹和暗条纹的中心位置。

当x=±kL入时，屏上表现为明条纹，其中k=0,1,2,…。

（4）

1L

当x=±（k+）d入时，屏上表现为暗条纹，其中k=0,1,2，…。

（4'）

我们还可以算出相邻明条纹（或者暗条纹）中心问的距离为

L

ZX=Xk+1—Xk=~入。

（5）

d

至此我们得出结论：

杨氏双缝干涉条纹是等间距的。

S1M丄S2P1,S1M

问题就在于以上的推导过程中，我们用过两次近似，第1次是在运用公式&=「2—dsin0的时候，此式近似成立的条件是/S1P1S2很小，因此有

丄OP1,因此/P0OP1=Z9SM，如果要保证/SP1S2很小，只要满足d<

第2次近似是因为d<

下面我们通过表1来比较sin0与tan0的数值。

表1

0

1°

2°

3°

4°

5°

6°

7°

sin0

tan0

0

8°

9°

10°

11°

sin0

tan0

tan0sin0

从表1中我们可以看出当0=6°寸，—^0—~%。

因此当0>6时，相对误差就超过了％，因此我们通常说sin0=tan0成立的条件是（X5°当0>5时，sin0~

tan0就不再成立。

而在杨氏双缝干涉实验中，0很小所对应的条件应该是x<

等间距的。

而当x较大时，也就是光屏上离Po较远的点所对应的0角也较大，当0>5。

时，sin0~tan0就不再成立，上述推导过程也就不完全成立了，

（2）式就不能再用了。

dx

所以，Xdsin0==±k人屏上表现为明条纹，其中k=0,1,2，…,

x'L2x2

人屏上表现为暗条纹，其中

k=0,1,2,

&〜dsin0=fdx==±（k+*）L2x2

Ik

因此可以得到光屏上明纹或者暗纹的中心位置为x=±——k，屏上表现为明条纹，其中k=0,1,2，…,

Jd2k22

则相邻的明条纹中心问距为

L（k1）Lk

Zx明=xk+1明一xk明=

d2（k1）22d2k22

邻暗条纹中心间距为

11

L（k1）L（k）

22

Zx暗=Xk+1暗—一Xk暗=——:

討（k12）22Jd2（k2）22

由上式可见相邻的明、暗条纹就不再是等间距的了，这也正如教科书上的照片所示的条纹分布。

下面我们通过一个实例来定量计算等间距条纹的条数。

例1：

用氦氖激光器（频率为X1014Hz）的红光照射间距为2mm的双缝时，试求我们能观察到的等间距的条纹的条数。

解：

因为Z=dsin0=k入，所以

dsin0Vsin0亠

k=■~==错误!

入c

考虑到光屏的两侧，我们最终能够在光屏上观察到的等间距的条纹大致为5条。