高三数学试题精选届高考数学三角函数与解三角形平面向量考点突破测试题及答案.docx
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高三数学试题精选届高考数学三角函数与解三角形平面向量考点突破测试题及答案
2018届高考数学三角函数与解三角形、平面向量考点突破测试题及答案
5专题检测卷(三)三角函数与解三角形、平面向量
(时间120分钟,满分150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共计60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2018中模拟)在△ABc中,c=120°,tanA+tanB=233,则tanAtanB的值为
A14B13
c12D53
【解析】∵c=120°,
∴tan(A+B)=tan(π-c)=-tanc=-tan120°=3
又∵tan(A+B)=tanA+tanB1-tanAtanB,
∴3=2331-tanAtanB
∴1-tanAtanB=23,tanAtanB=13
【答案】B
2.(2018湖南)在Rt△ABc中,∠c=90°,Ac=4,则AB→Ac→等于
A.-16B.-8
c.8D.16
【解析】AB→Ac→=|AB→||Ac→|cs∠A=|AB→||Ac→||Ac→||AB→|=|Ac→|2=16
【答案】D
3.(2018银川模拟)已知csα-π6+sinα=435,则sinα+7π6的值是
A.-235B235
c.-45D45
【解析】∵csα-π6+sinα=435,
∴32sinα+32csα=435,sinα+π6=45
∴sinα+7π6=-sinα+π6=-45
【答案】c
4.(2018福建龙岩一检)设向量a=(cs55°,sin55°),b=(cs25°,sin25°),若t是实数,则|a-tb|的最小值为
A22B12
c.1D2
【解析】∵|a|=1,|b|=1,〈a,b〉=30°,
∴|a-tb|2=a2-2tab+t2b2=t2-3t+1
当t=32时|a-tb|2取到最小值14,
∴|a-tb|的最小值为12
【答案】B
5.(2018衡水模拟)设函数f(x)=sinθ3x3+3csθ2x2+tanθ,其中θ∈0,5π12,则导数f′
(1)的取值范围是
A.[-2,2]B.[2,3]
c.[3,2]D.[2,2]
【解析】由已知得f′(x)=sinθx2+3csθx,
∴f′
(1)=sinθ+3csθ=2sinθ+π3,
又∵θ∈0,5π12,∴π3≤θ+π3≤3π4
∴22≤sinθ+π3≤1,∴2≤f′
(1)≤2
【答案】D
6.(2018东青岛二模)将奇函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω>0,-π2<φ<π2)的图象向左平移π6个单位得到的图象关于原点对称,则ω的值可以为
A.2B.3
c.4D.6
【解析】因为函数f(x)=Asin(ωx+φ)是奇函数,所以φ=π,∈Z
又因为-π2<φ<π2,所以φ=0
将函数f(x)=Asinωx(A≠0,ω>0)的图象向左平移π6个单位得到f(x)=Asinωx+πω6,
该函数仍是奇函数,
所以πω6=π,ω=6,∈Z,ω的值可以为6
【答案】D
7.已知非零向量AB→与Ac→满足AB→|AB→|+Ac→|Ac→|Bc→=0,且AB→|AB→|Ac→|Ac→|=12,则△ABc的形状是
A.三边均不相等的三角形B.直角三角形
c.等腰(非等边)三角形D.等边三角形
【解析】首先我们注意到向量AB→|AB→|表示的正好是AB→方向上的单位向量,因此由向量加法的平行四边形法则容易知道向量AB→|AB→|+Ac→|Ac→|在∠BAc的角平分线上,于是由AB→|AB→|+Ac→|Ac→|Bc→=0可见∠BAc的角平分线与其对边Bc垂直,由此得到三角形必为等腰三角形.再者,由AB→|AB→|Ac→|Ac→|=12可得AB→|AB→|Ac→|Ac→|cs∠BAc=12cs∠BAc=12∠BAc=60°,
所以三角形ABc应为等边三角形.
【答案】D
8.(2018辽宁)平面上,A,B三点不共线,设A→=a,B→=b,则△AB的面积等于
A|a|2|b|2-(ab)2B|a|2|b|2+(ab)2
c12|a|2|b|2-(ab)2D12|a|2|b|2+(ab)2
【解析】ab=|a||b|csθcsθ=ab|a||b|,
则S=12|a||b|sinθ=12|a||b|1-ab|a||b|2=12|a|2|b|2-(ab)2,选c
【答案】c
9.(2018黄岗模拟)已知函数f(x)=Asinx+φ(A>0)在x=π4时取最小值,则函数=f3π4-x是
A.奇函数且在x=π2时取得最大值B.偶函数且图象关于点(π,0)对称
c.奇函数且在x=π2时取得最小值D.偶函数且图象关于点12π,0对称
【解析】∵f(x)=Asin(x+φ)(A>0)在x=π4时取最小值,
∴π4+φ=2π+3π2,∈Z,即φ=2π+5π4,∈Z,
f(x)=Asinx+2π+5π4=Asinx+5π4,
∴=f3π4-x=Asin3π4-x+5π4=Asin(2π-x)=-Asinx
因此,该函数为奇函数,在x=π2时取最小值-A(A>0).
【答案】c
10.已知csπ4-α=1213,α∈0,π4,则cs2αsinπ4+α等于
A1965B713
c1665D1013
【解析】∵0<α<π4,∴0<π4-α<π4
又∵csπ4-α=1213,
∴sinπ4-α=1-cs2π4-α=1-12132=513,
cs2α=sinπ2-2α=sin2π4-α=2sinπ4-αcsπ4-α=2×513×1213=120189,
sinπ4+α=csπ2-π4+α=csπ4-α=1213,
∴cs2αsinπ4+α=1201891213=120189×1312=1013
【答案】D
11.(2018青岛模拟)设函数f(x)=sin2x+π3,则下列结论正确的是
A.f(x)的图象关于直线x=π3对称
B.f(x)的图象关于点π4,0对称
c.把f(x)的图象向左平移π12个单位,得到一个偶函数的图象
D.f(x)的最小正周期为π,且在0,π6上为增函数
【解析】∵令2x+π3=π+π2,∈Z,
即x=π2+π12(∈Z),∴A选项错误,
又∵令2x+π3=π,∈Z,得x=π2-π6(∈Z),
∴B选项错误,
又∵f(x)=sin2x+π3
=sin2x+π12+π3=sin2x+π2=cs2x,
∴选项c正确.
当x∈0,π6时,2x+π3∈π3,2π3,
∴函数f(x)=sin2x+π3在0,π6上先增后减,
∴选项D错误.
【答案】c
12.(2018全国Ⅰ)已知圆的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点,那么PA→PB→的最小值为
A.-4+2B.-3+2
c.-4+22D.-3+22
【解析】如图,设∠AP=θ,
PA→PB→=|PA→|2cs2θ=|PA→|2(1-2sin2θ)
=(|P|2-1)(1-21|P|2)=|P|2+2|P|2-3≥22-3,
当且仅当|P|2=2|P|2,
即|P|=42时,“=”成立
【答案】D
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共计16分.把答案填在题中的横线上)
13.(2018东城二检)将函数f(x)=2sin2x+π3图象上每一个点的横坐标扩大为原的2倍,所得图象所对应的函数解析式为________;若将f(x)的图象沿x轴向左平移个单位(>0),所得函数的图象关于轴对称,则的最小值为________.
【解析】依题意知,f(x)=2sin2x+π3图象上每点的横坐标扩大为原的2倍,所得图象的解析式为=2sinx+π3
如果f(x)的图象沿x轴向左平移(>0)个单位得=2sin2x+π3+2,
又∵其图象关于轴对称,∴π3+2=π+π2(∈Z),
∴=π2+π12(∈Z),当=0时,有最小值π12
【答案】=sinx+π3π12
14.(2018东)在△ABc中,角A,B,c所对的边分别为a,b,c若a=2,b=2,sinB+csB=2,则角A的大小为________.
【解析】∵sinB+csB=2,∴sinB+π4=1
又0<B<π,∴B=π4
由正弦定理,知2sinA=2sinB,∴sinA=12
又a<b,∴A<B,∴A=π6
【答案】π6
15.(2018北京)在△ABc中,若b=1,c=3,∠c=2π3,则a=________
【解析】由正弦定理bsinB=csinc,
即1sinB=3sin2π3,sinB=12又b<c,∴B=π6∴A=π6∴a=1
【答案】1
16.(2018南京模拟)如图,正方形ABcD中,已知AB=2,若N为正方形内(含边界)任意一点,则AB→AN→的最大值是________.
【解析】设AB→,AN→的夹角为θ
AB→AN→=|AB→||AN→|csθ=2|AN→|csθ
由图可知,|AN→|csθ的最大值即为|AB→|
∴AB→AN→的最大值为2×2=4
【答案】4
三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出必要的字说明、证明过程或演算步骤)
17.(12分)(2018重庆)设函数f(x)=csx+23π+2cs2x2,x∈R
(1)求f(x)的值域;
(2)记△ABc的内角A、B、c的对边长分别为a、b、c,若f(B)=1,b=1,c=3,求a的值.
【解析】
(1)f(x)=csxcs23π-sinxsin23π+csx+1=-12csx-32sinx+csx+1
=12csx-32sinx+1=sinx+5π6+1,
因此f(x)的值域为[0,2].
(2)由f(B)=1得sinB+5π6+1=1,
即sinB+5π6=0,又因0<B<π,故B=π6
解法一由余弦定理b2=a2+c2-2accsB,
得a2-3a+2=0,解得a=1或2
解法二由正弦定理bsinB=csinc,
得sinc=32,c=π3或2π3当c=π3时,
A=π2,从而a=b2+c2=2;
当c=23π时,A=π6,又B=π6,
从而a=b=1
故a的值为1或2
【答案】
(1)[0,2]
(2)a的值为1或2
18.(12分)(2018安徽)设△ABc是锐角三角形,a,b,c分别是内角A,B,c所对边长,并且sin2A=sinπ3+Bsinπ3-B+sin2B
(1)求角A的值;
(2)若AB→Ac→=12,a=27,求b,c(其中b<c).
【解析】
(1)因为sin2A=
32csB+12sinB32csB-12sinB+sin2B=34cs2B-14sin2B+sin2B=34,
所以sinA=±32
又A为锐角,所以A=π3
(2)由AB→Ac→=12可得cbcsA=12①
由
(1)知A=π3,所以cb=24②
由余弦定理知a2=c2+b2-2cbcsA,将a=27及①代入,得c2+b2=52,③
③+②×2,得(c+b)2=100,
所以c+b=10
因此c,b是一元二次方程t2-10t+24=0的两个根.
解此方程并由c>b知c=6,b=4
【答案】
(1)A=π3
(2)c=6,b=4
19.(12分)(2018临沂二检)如图,已知△ABc中,|Ac|=1,∠ABc=2π3,∠BAc=θ,记f(θ)=AB→Bc→
(1)求f(θ)关于θ的表达式;
(2)求f(θ)的值域.
【解析】
(1)由正弦定理,
得|Bc|sinθ=1sin2π3=|AB|sinπ3-θ,∴|Bc|=sinθsin2π3=233sinθ,
|AB|=sinπ3-θsin2π3=233sinπ3-θ
∴f(θ)=AB→Bc→=|AB→||Bc→|csπ3=43sinθsinπ3-θ12
=2332csθ-12sinθsinθ=36sin2θ+16cs2θ-16
=13sin2θ+π6-160<θ<π3
(2)由0<θ<π3,得π6<2θ+π6<5π6
∴12<sin2θ+π6≤1∴0<13sin2θ+π6-16≤16,
即f(θ)的值域为0,16
【答案】
(1)f(θ)=13sin2θ+π6-160<θ<π3
(2)0,16
20.(12分)(2018泰州三模)已知向量a=(3sinα,csα),b=(2sinα,5sinα-4csα),α∈3π2,2π,且a⊥b
(1)求tanα的值;
(2)求csα2+π3的值.
【解析】
(1)∵a⊥b,∴ab=0
而a=(3sinα,csα),b=(2sinα,5sinα-4csα),
故ab=6sin2α+5sinαcsα-4cs2α=0,
即6sin2α+5sinαcsα-4cs2αsin2α+cs2α=0
由于csα≠0,∴6tan2α+5tanα-4=0
解之,得tanα=-43,或tanα=12
∵α∈3π2,2π,tanα<0,故tanα=12(舍去).
∴tanα=-43
(2)∵α∈3π2,2π,∴α2∈3π4,π
由tanα=-43,求得tanα2=-12,tanα2=2(舍去).
∴sinα2=55,csα2=-255,
csα2+π3=csα2csπ3-sinα2sinπ3
=-255×12-55×32=-25+1510
【答案】
(1)-43
(2)-25+1510
21.(12分)(2018福州模拟)在△ABc中,角A,B,c的对边分别为a,b,c,向量p=(sinA,b+c),q=(a-c,sinc-sinB),满足|p+q|=|p-q|
(1)求角B的大小;
(2)设=sinc+π3,12,n=(2,cs2A)(>1),n有最大值为3,求的值.
【解析】
(1)由条|p+q|=|p-q|,两边同时平方得
pq=0,
又p=(sinA,b+c),q=(a-c,sinc-sinB),
代入得sinA(a-c)+(b+c)(sinc-sinB)=0,
根据正弦定理,可化为a(a-c)+(b+c)(c-b)=0,
即a2+c2-b2=ac,
又由余弦定理a2+c2-b2=2accsB,
所以,csB=12,B=60°
(2)=sinc+π3,12,n=(2,cs2A)(>1),
n=2sinc+π3+12cs2A=2sin(c+B)+12cs2A
=2sinA+cs2A-12=-sin2A+2sinA+12
=-(sinA-)2+2+12(>1).
而0<A<23π,sinA∈(0,1],
故当sinA=1时,n取最大值为2-12=3,=74
【答案】
(1)60°
(2)74
22.(14分)(2018江苏)某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位).如示意图,垂直放置的标杆Bc的高度h=4,仰角∠ABE=α,∠ADE=β
(1)该小组已测得一组α,β的值,tanα=124,tanβ=120,请据此算出H的值;
(2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位),使α与β之差较大,可以提高测量精度.若电视塔的实际高度为125,试问d为多少时,α-β最大?
【解析】
(1)由AB=Htanα,BD=htanβ,AD=Htanβ及AB+BD=AD,得
Htanα+htanβ=Htanβ,
解得H=htanαtanα-tanβ=4×124124-120=124
因此,算出的电视塔的高度H是124
(2)由题设知d=AB,得tanα=Hd
由AB=AD-BD=Htanβ-htanβ,
得tanβ=H-hd,
所以tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ=hd+H(H-h)d≤h2H(H-h)
当且仅当d=H(H-h)d,
即d=H(H-h)=125×(125-4)=555时,上式取等号.所以当d=555时,tan(α-β)最大.
因为0<β<α<π2,则0<α-β<π2,
所以当d=555时,α-β最大.故所求的d是555
【答案】
(1)124
(2)555
5
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