与名师对话文两条直线的位置关系.docx
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与名师对话文两条直线的位置关系
第二节 两条直线的位置关系
高考概览:
1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直;2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标;3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.
[知识梳理]
1.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
①对于两条不重合的直线l1,l2,若其斜率分别为k1,k2,则有l1∥l2⇔k1=k2.
②当直线l1,l2不重合且斜率都不存在时,l1∥l2.
(2)两条直线垂直
①如果两条直线l1,l2的斜率存在,设为k1,k2,则有l1⊥l2⇔k1·k2=-1.
②当其中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0时,l1⊥l2.
2.两条直线的交点的求法
直线l1:
A1x+B1y+C1=0,l2:
A2x+B2y+C2=0,则l1与l2的交点坐标就是方程组的解.
3.距离
[辨识巧记]
两个注意点
(1)在判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都有斜率,可根据判定定理判断,若直线无斜率,要单独考虑.
(2)在运用两平行直线间的距离公式d=时,一定要注意将两方程中x,y的系数分别化为相同的形式.
[双基自测]
1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)当直线l1和l2的斜率都存在时,一定有k1=k2⇒l1∥l2.( )
(2)如果两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.( )
(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交.( )
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( )
[答案]
(1)×
(2)× (3)√ (4)√
2.已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行,则实数m的值为( )
A.0B.-8C.2D.10
[解析] 由题意知=-2,解得m=-8.故选B.
[答案] B
3.(必修2P114B组T1)与直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为( )
A.3x+4y-5=0B.3x+4y+5=0
C.3x-4y+5=0D.3x-4y-5=0
[解析] 所求直线方程的斜率为-,且经过点,其方程为y=-,即3x+4y+5=0.故选B.
[答案] B
4.(必修2P114A组T10改编)两条平行直线3x+4y-12=0与6x+8y+11=0之间的距离为( )
A.B.C.7D.
[解析] 直线3x+4y-12=0化为6x+8y-24=0,所求距离d==.故选D.
[答案] D
5.已知直线l1:
3x+2ay-5=0,l2:
(3a-1)x-ay-2=0,若l1∥l2,则a的值为________.
[解析] 当直线斜率不存在,即a=0时,有l1:
3x-5=0,l2:
-x-2=0,符合l1∥l2;当直线斜率存在时,由-=得a=-,符合题意,所以a的值为-或0.
[答案] -或0
考点一 两条直线的平行与垂直
【例1】 (2019·青岛模拟)已知两条直线l1:
ax-by+4=0和l2:
(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值.
(1)l1⊥l2,且l1过点(-3,-1);
(2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.
[解]
(1)由已知可得l2的斜率存在,且k2=1-a.
若k2=0,则1-a=0,a=1.
∵l1⊥l2,直线l1的斜率k1必不存在,即b=0.
又∵l1过点(-3,-1),
∴-3a+4=0,即a=(矛盾),
∴此种情况不存在,
∴k2≠0,即k1,k2都存在且不为0.
∵k2=1-a,k1=,l1⊥l2,
∴k1k2=-1,即(1-a)=-1.①
又∵l1过点(-3,-1),
∴-3a+b+4=0.②
由①②联立,解得a=2,b=2.
(2)∵l2的斜率存在,l1∥l2,∴直线l1的斜率存在,k1=k2,即=1-a,③
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等,
且l1∥l2,∴l1,l2在y轴上的截距互为相反数,即=b,④
联立③④,解得或
∴a=2,b=-2或a=,b=2.
判定两直线平行与垂直的两种思路
(1)若直线l1和l2有斜截式方程l1:
y=k1x+b1,l2:
y=k2x+b2,则直线l1∥l2⇔l1⊥l2的充要条件是k1·k2=-1.
(2)设l1:
A1x+B1y+C1=0,l2:
A2x+B2y+C2=0,
则l1∥l2的必要条件是A1B2=A2B1.(不充分);l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.
[对点训练]
1.(2019·衡水中学一调)直线l1:
(3+a)x+4y=5-3a和直线l2:
2x+(5+a)y=8平行,则a=( )
A.-7或-1B.-7
C.7或1D.-1
[解析] 由题意,得
解得a=-7.故选B.
[答案] B
2.已知直线l1:
x+my+6=0,l2:
(m-2)x+3y+2m=0,若l1⊥l2,则m=__________;若l1∥l2,则m=__________.
[解析] 若l1⊥l2,则1×(m-2)+3m=0,∴m=;若l1∥l2,则3-m(m-2)=0且2m-6(m-2)≠0,∴m=-1.
[答案] -1考点二 距离问题
【例2】
(1)过点P(2,-1)且与原点距离为2的直线方程为____________________________.
(2)若直线4x-3y+5=0与直线4x-ay-6=0平行,则它们之间的距离为__________.
[思路引导]
(1)→
(2)→
[解析]
(1)①当l的斜率k不存在时显然成立,
∴l的方程为x=2;
②当l的斜率k存在时,
设l:
y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.
由点到直线距离公式得=2,
∴k=,∴l:
3x-4y-10=0.
故所求l的方程为x=2或3x-4y-10=0.
(2)由两直线平行得a=3,由两平行直线间距离公式,得
d==.
[答案]
(1)x=2或3x-4y-10=0
(2)
[拓展探究]
(1)本例
(1)改为“已知直线l过点P(3,4)且与点A(-2,2),B(4,-2)等距离”,则直线l的方程为________.
(2)本例
(2)中的直线4x-ay-6=0改为直线8x-ay-6=0,其他条件不变,结果如何?
[解析]
(1)显然直线l斜率不存在时,不满足题意;设所求直线方程为y-4=k(x-3),即kx-y+4-3k=0,
由已知,得=,
∴k=2或k=-.
∴所求直线l的方程为2x-y-2=0或2x+3y-18=0.
(2)∵直线4x-3y+5=0与直线8x-ay-6=0平行,
∴=,得a=6.
故直线8x-6y-6=0方程化为4x-3y-3=0.
∴两平行直线间的距离d==.
[答案]
(1)2x+3y-18=0或2x-y-2=0
(2)
公式法求距离应注意以下两点
(1)求点到直线距离时,直线方程一定化成Ax+By+C=0的形式,即直线方程的一般式.
(2)求两平行线间的距离时,一定化成l1:
Ax+By+C1=0,l2:
Ax+By+C2=0的形式,即两直线的一般式方程中x,y的系数要对应相等.
[对点训练]
1.过点P(3,-1)引直线,使点A(2,-3),B(4,5)到它的距离相等,则这条直线的方程为________________.
[解析] 若直线的斜率不存在,则其方程为x=3,满足条件;
若直线的斜率存在,设其方程为y+1=k(x-3),即kx-y-3k-1=0,
由题意得=
解得k=4,
此时直线方程为4x-y-13=0,
综上,直线的方程为x=3或4x-y-13=0.
[答案] x=3或4x-y-13=0
2.已知l1,l2是分别经过A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,当l1,l2间的距离最大时,直线l1的方程是__________.
[解析] 当直线AB与l1,l2垂直时,l1,l2间的距离最大.因为A(1,1),B(0,-1),所以kAB==2,所以两平行直线的斜率k=-,所以直线l1的方程是y-1=-(x-1),即x+2y-3=0.
[答案] x+2y-3=0考点三 对称问题
对称问题是高考常考内容之一,也是考查转化能力的一种常见题型.单独命题的机会不大,往往与曲线方程或函数图象为背景考查,有一定难度.
常见的命题角度有:
(1)点关于点的对称;
(2)点关于直线的对称;
(3)直线关于直线的对称.
角度1:
点关于点的对称
【例3-1】 过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:
2x+y-8=0和l2:
x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为______________________.
[解析] 设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,所以直线l的方程为x+4y-4=0.
[答案] x+4y-4=0
角度2:
点关于直线的对称
【例3-2】 (2018·湖南长沙一调)已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:
x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为_____________________________.
[解析] 设点M(-3,4)关于直线l:
x-y+3=0的对称点为M′(a,b),则反射光线所在直线过点M′,
所以解得
又反射光线经过点N(2,6),
所以所求直线的方程为=,即6x-y-6=0.
[答案] 6x-y-6=0
角度3:
直线关于直线的对称
【例3-3】 已知直线l:
x-y-1=0,l1:
2x-y-2=0.若直线l2与l1关于l对称,则l2的方程是( )
A.x-2y+1=0B.x-2y-1=0
C.x+y-1=0D.x+2y-1=0
[解析] 由得交点(1,0),取l1上的点(0,-2),其关于直线l的对称点为(-1,-1),故直线l2的方程为=,即x-2y-1=0,故选B.
[答案] B
(1)解决点关于直线对称问题要把握两点,点M与点N关于直线l对称,则线段MN的中点在直线l上,直线l与直线MN垂直.
(2)如果直线或点关于点成中心对称问题,则只需运用中点公式就可解决问题.
(3)若直线l1,l2关于直线l对称,则有如下性质:
①若直线l1与l2相交,则交点在直线l上;②若点B在直线l1上,则其关于直线l的对称点B′在直线l2上.
[对点训练]
已知直线l:
3x-y+3=0,求:
(1)点P(4,5)关于l的对称点;
(2)直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程;
(3)直线l关于(1,2)的对称直线.
[解]
(1)设P(x,y)关于直线l:
3x-y+3=0的对称点为P′(x′,y′),
∵kPP′·kl=-1,即×3=-1.①
又PP′的中点在直线3x-y+3=0上,
∴3×-+3=0.②
由①②得
把x=4,y=5代入③④得x′=-2,y′=7,
∴点P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(-2,7).
(2)用③④分别代换x-y-2=0中的x,y,得关于l对称的直线方程为
--2=0,
化简得7x+y+22=0.
(3)在直线l:
3x-y+3=0上取点M(0,3),
关于(1,2)的对称点M′(x′,y′),
∴=1,x′=2,=2,y′=1,
∴M′(2,1).
l关于(1,2)的对称直线平行于l,∴k=3,
∴对称直线方程为y-1=3×(x-2),
即3x-y-5=0.
创新交汇系列⑦——几种常见的直线系方程及应用
素养解读:
所谓直线系方程,是指满足某种特征的直线方程的全体,有时又称直线束方程.在解决直线方程问题时,若能巧妙地运用直线系方程的有关结论,有时可以收到事半功倍之效果.
1.平行直线系
【典例1】 过点(1,2)与直线3x+4y+1=0平行的直线方程为__________.
[切入点] 设出平行直线系方程求解.
[规范解答] 设所求直线方程为3x+4y+λ=0,代入(1,2)得λ=-11,故所求直线方程为3x+4y-11=0.
[答案] 3x+4y-11=0
斜率为k的平行直线系为y=kx+b;与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+λ=0,其中λ为参数.(λ≠C)
2.垂直直线系
【典例2】 与直线2x-3y+1=0垂直,且在x轴上的截距为-2的直线方程是__________.
[切入点] 设出垂直直线系方程求解.
[规范解答] 设所求直线的方程为3x+2y+λ=0,令y=0,得x=-.由-=-2,得λ=6.故所求直线方程为3x+2y+6=0.
[答案] 3x+2y+6=0
与直线Ax+By+C=0垂直的直线系为Bx-Ay+λ=0(λ为参数).
3.过定点的直线系
【典例3】 直线(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0(m为参数)恒过定点的坐标为__________.
[切入点] 将含有参数的项合并在一起观察.
[关键点] 对直线系方程的理解:
每一个m值都对应一条直线.采用恒等式法或特殊直线法求解.
[规范解答] 解法一:
将方程变为-x-3y+11+m(x-y+1)=0,由得
故直线恒过定点.
解法二:
分别令m=1,m=-3,得
所以故直线恒过定点.
[答案]
(1)过定点(x0,y0)的直线系方程为y-y0=k(x-x0)(k为直线的斜率)或A(x-x0)+B(y-y0)=0(A、B不同时为0).
(2)求直线系过定点问题的常用方法
恒等式法:
将直线方程化为参数的恒等式形式,利用参数取值的任意性,得关于x,y的方程组求出定点坐标.
特殊直线法:
给出任意两个参数值,得到两条直线,求其交点即为定点.
4.过两直线交点的直线系
【典例4】 过直线x+2y+1=0与直线2x-y+1=0的交点,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为__________.
[切入点] 设出直线系方程,求出参数即可.
[规范解答] 设所求直线方程为x+2y+1+λ(2x-y+1)=0,当直线过原点时,1+λ=0,得λ=-1,此时所求直线方程为x-2y=0;当直线不过原点时,令x=0,得y=,令y=0,得x=-.
由题意得=-,
解得λ=或λ=-1(舍).
此时所求直线方程为5x+5y+4=0.
综上所述,所求直线方程为x-2y=0或5x+5y+4=0.
[答案] x-2y=0或5x+5y+4=0
过直线l1:
A1x+B1y+C1=0与直线l2:
A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ为参数),其中不包括直线l2.
[感悟体验]
1.与直线x-2y+3=0平行,且与两坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程是__________.
[解析] 设所求直线方程为x-2y+λ=0,
令x=0,得y=;令y=0,得x=-λ.由题意,得··|-λ|=4,解得λ=±4.故所求直线方程为x-2y±4=0.
[答案] x-2y±4=0
2.经过A(2,1),且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程为__________.
[解析] 因为所求直线与直线2x+y-10=0垂直,所以设该直线方程为x-2y+C1=0,又直线过点(2,1),所以有2-2×1+C1=0,解得C1=0,即所求直线方程为x-2y=0.
[答案] x-2y=0
3.直线mx+y-m-1=0(m为参数)经过定点的坐标为__________.
[解析] 解法一:
(恒等式法)直线方程化为m(x-1)+y-1=0,由得x=1,y=1.故直线mx+y-m-1=0过定点(1,1).
解法二:
(特殊直线法)取m=0,得y=1,①
取m=1,得x+y-2=0,②
由①②得x=1,y=1.
故直线mx+y-m-1=0过定点(1,1).
[答案] (1,1)
4.过直线x-2y+4=0和直线x+y-2=0的交点,且与直线3x-4y+5=0垂直的直线方程为__________.
[解析] 设所求直线方程为
x-2y+4+λ(x+y-2)=0,
即(1+λ)x+(λ-2)y+(4-2λ)=0,
则其斜率k=-,
由题意可知,-×=-1,
得λ=11.
故所求直线方程为4x+3y-6=0.
[答案] 4x+3y-6=0课后跟踪训练(五十一)
基础巩固练
一、选择题
1.(2019·北京海淀区期末)设a∈R,则“a=1”是“直线ax-y+1=0与直线x-ay-1=0平行”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
[解析] 当a=1时,两直线分别为x-y+1=0和x-y-1=0,满足两直线平行.当直线ax-y+1=0与直线x-ay-1=0平行时,若a=0,两直线分别为-y+1=0和x-1=0,不满足两直线平行,∴a≠0.故=≠,解得a2=1,且a≠-1,
∴a=1.即“a=1”是“直线ax-y+1=0与直线x-ay-1=0平行”的充要条件,故选C.
[答案] C
2.(2018·四川绵阳联考)过点(5,2)且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是( )
A.2x+y-12=0
B.2x+y-12=0或2x-5y=0
C.x-2y-1=0
D.x-2y-1=0或2x-5y=0
[解析] 设所求直线在x轴上的截距为a,则在y轴上的截距为2a.①当a=0时,所求直线经过点(5,2)和(0,0),所以直线方程为y=x,即2x-5y=0;②当a≠0时,设所求直线方程为+=1,又直线过点(5,2),所以+=1,解得a=6,所以所求直线方程为+=1,即2x+y-12=0.综上,所求直线方程为2x-5y=0或2x+y-12=0.故选B.
[答案] B
3.(2018·广东深圳月考)若两直线kx-y+1=0和x-ky=0相交且交点在第二象限,则k的取值范围是( )
A.(-1,0)B.(0,1]
C.(0,1)D.(1,+∞)
[解析] 由题意知k≠±1.联立解得
∴∴-1 [答案] A 4.(2018·重庆第一中学月考)光线从点A(-3,5)射到x轴上,经x轴反射后经过点B(2,10),则光线从A到B的距离为( ) A.5B.2C.5D.10 [解析] 点B(2,10)关于x轴的对称点为B′(2,-10),由对称性可得光线从A到B的距离为|AB′|==5.故选C. [答案] C 5.(2019·河北五校联盟质检)若直线l1: x+ay+6=0与l2: (a-2)x+3y+2a=0平行,则l1与l2间的距离为( ) A.B.C.D. [解析] 因为a=0或a=2时,l1与l2均不平行,所以a≠0且a≠2. 因为l1∥l2,所以=≠,所以解得a=-1,所以l1: x-y+6=0,l2: x-y+=0,所以l1与l2之间的距离d==.故选B. [答案] B 二、填空题 6.(2019·黑龙江鹤岗一中检测)过点A(1,2)且与直线x-2y+3=0垂直的直线方程为__________________. [解析] 直线x-2y+3=0的斜率为,所以由垂直关系可得要求直线的斜率为-2,所以所求方程为y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0. [答案] 2x+y-4=0 7.过点P(-4,2),且到点(1,1)的距离为5的直线方程为__________________. [解析] 当直线的斜率存在时,设直线的斜率为k,则其方程为y-2=k(x+4),即kx-y+4k+2=0,由点到直线的距离公式得=5,解得k=,此时直线方程为12x-5y+58=0.当直线的斜率不存在时,x=-4也满足条件.综上可知所求直线方程为12x-5y+58=0或x=-4. [答案] 12x-5y+58=0或x=-4 8.(2018·江西南昌六校月考)若直线l1: y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2过定点________. [解析] 由题意知直线l1过定点(4,0),则由条件可知,直线l2所过定点关于(2,1)对称的点为(4,0),故可知直线l2所过定点为(0,2). [答案] (0,2) 三、解答题 9.过点M(0,1)作直线,使它被两直线l1: x-3y+10=0,l2: 2x+y-8=0所截得的线段恰好被M所平分,求此直线方程. [解] 过点M且与x轴垂直的直线是y轴,它和两已知直线的交点分别是和(0,8),显然不满足中点是点M(0,1)的条件. 故可设所求直线方程为y=kx+1,与两已知直线l1,l2分别交于A、B两点,联立方程组 ① ② 由①解得xA=,由②解得xB=, ∵点M平分线段AB, ∴xA+xB=2xM,即+=0. 解得k=-,故所求直线方程为x+4y-4=0. 10.(2019·武汉调研)已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点. (1)若点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程; (2)求点A(5,0)到l的距离的最大值. [解] (1)易知点A到直线x-2y=0的距离不等于3,可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x+y-5)+λ(x-2y)=0,即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0. 由题意得 =3,即2λ2-5λ+2=0, ∴λ=2或.∴l的方程为4x-3y-5=0或x=2. (2)由解得交点为P(2,1),如图,过P作任一直线l,设d为点A到l的距离,则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立). ∴dmax=|PA|=. 能力提升练 11.(2019·四川成都调研)已知直线l1过点(-2,0)且倾斜角为30°,直线l2过点(2,0)且与直线l1垂直,则直线l1与直线l2的交点坐标为( ) A.(3,)B.(2,) C.(1,)D. [解析] 直线l1的斜率为k1=tan30°=,因为直线l2与直线l1垂直,所以k2=-=-,所以直线l1的方程为y=(x+2),直线l2的方程为y=-(x-2).两式联立,解得即直线l1与直线l2的交点坐标为(1,).故选C. [答案] C 12.(2018·北京东城区期末)如果平面直角坐标系内的两点A(a-1,a+1),B(a,a)关于直线l对称,那么直线l的方程为( ) A.x-y+1=0B.x+y+1=0 C.x-y-1=0D.x+y-1=0 [解析] 因为直线AB的斜率为=-1,所以直线l的斜率为1.设直线l的方程为y=x+b,由题意知直线l过点,所以=+b,解得b=1,所以直线l的方程为y=x+1,即x-y+1=0.故选A. [答案] A 13.(2019·湖北孝感五校联考)已知直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线,若点A,B的坐标分别是(-4,2),(3,1),则点C的坐标为________. [解析] 设A(-4,2)关于直线y=2x的对称点为(x,y),则解得 ∴BC所在直线方程为y-1=(x-3),即3x+y-10=0.同理可得点B(3,1)关于直线y=2x的对称点为(-1,3),∴AC所在直线方程为y-2=·(x+4),即x-3y+10=0.联立得解得则C(2,4). [答案] (2,4) 14.在直线l: 3x-y-1=0上求一点P,使得: (1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大; (2)P到A(4,
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