线面垂直练习题及答案.docx
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线面垂直练习题及答案
线面垂直练习题及答案
线面垂直的证明中的找线技巧
通过计算,运用勾股定理寻求线线垂直
M为CC1的中点,AC交BD于点O,求证:
1如图1,在正方体ABCD?
A1BC11D1中,AO?
平面MBD.1
A1M,∵DB⊥A1A,DB⊥AC,A1A?
AC?
A,
∴DB⊥平面A?
平面A1ACC1∴DB⊥AO1ACC1,而AO1.1
323222
设正方体棱长为a,则A1O?
a,MO?
a.
2492222
AM?
a.∵AO在Rt△AC中,,∴AOM?
OM?
MO2?
AM111111
4
∩DB=O,∴AO1⊥平面MBD.
证明:
连结MO,
?
.∵OM
评注:
在证明垂直关系时,有时可以利用棱长、角度大小等数据,通过计算来证明.
利用面面垂直寻求线面垂直
如图2,P是△ABC所在平面外的一点,且PA⊥平面ABC,平面PAC⊥平面PBC.求证:
BC⊥平面PAC.
证明:
在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D.
因为平面PAC⊥平面PBC,且两平面交于PC,
AD?
平面PAC,且AD⊥PC,由面面垂直的性质,得AD⊥平面PBC.又∵BC?
平面PBC
,
∴
AD⊥
BC.
∵PA⊥平面ABC,BC?
平面ABC,∴PA⊥BC.∵AD∩PA=A,∴BC⊥平面PAC.
.
评注:
已知条件是线面垂直和面面垂直,要证明两条直线垂直,应将两条直线中的一条纳入一个平面中,使另一条直线与该平面垂直,即从线面垂直得到线线垂直.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,通过本题可以看到,面面垂直?
线面垂直?
线线垂直.
判定性质
判定性质
?
?
?
?
线面垂直?
?
?
?
?
?
?
面面垂直.这三者一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:
线线垂直?
?
?
?
?
之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面是判定定理,而从后面推出前面是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明
问题.下面举例说明.
如图1所示,ABCD为正方形,SA⊥平面ABCD,过
A且垂直于SC的平面分别交SB,SC,SD于E,F,G.求证:
AE?
SB,
AG?
SD.
证明:
∵SA
?
平面ABCD,
∴SA?
BC.∵AB?
BC,∴BC?
平面SAB.又∵AE?
平面SAB,∴BC?
AEAE?
平面SBC.∴AE?
SB.同理可证AG?
SD.
.∵SC?
平面AEFG,∴SC?
AE
.∴
评注:
本题欲证线线垂直,可转化为证线面垂直,在线线垂直与线面垂直的转化中,平面起到了关键作用,同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征,从而顺利实现证明所需要的转化.如图2,在三棱锥A-BCD中,BC=AC,AD=BD,
作BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥BE于H.求证:
AH⊥平面BCD.证明:
取AB的中点F,连结CF,DF.∵AC
?
BC,∴CF?
AB.
∵AD?
BD,∴DF?
AB.
又CF?
DF?
F,∴AB?
平面CDF.∵CD?
平面CDF,∴CD?
AB.又CD?
BE,BE?
AB?
B,∴CD?
平面ABE,CD?
AH.
∵AH?
CD,AH?
BE,CD?
BE?
E,
∴
AH?
平面BCD.
评注:
本题在运用判定定理证明线面垂直时,将问题转化为证明线线垂直;而证明线线垂直时,又转化为证明线面垂直.如此反复,直到证得结论.
如图3,AB是圆O的直径,C是圆周上一点,PA?
平面ABC.若AE⊥PC,E为垂足,F是PB上任意一点,求证:
平面AEF⊥平面PBC.
证明:
∵AB是圆O的直径,∴AC∵PA∴PA?
?
BC.
?
平面ABC,BC?
平面ABC,
BC.∴BC?
平面APC.
∵BC?
平面PBC,∴平面APC⊥平面PBC.
∵AE⊥PC,平面APC∩平面PBC=PC,∴AE⊥平面PBC.
∵AE?
平面AEF,∴平面AEF⊥平面PBC.
评注:
证明两个平面垂直时,一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线,已知条件出发寻找线线垂直的关系.
6.空间四边形ABCD中,若AB⊥CD,BC⊥AD,求证:
AC⊥BD
即证线面垂直,而证线面垂直则需从
D证明:
过A作AO⊥平面BCD于O
?
AB?
CD,?
CD?
BO同理BC⊥DO∴O为△ABC的垂心.证明:
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1C⊥平面BC1D
于是BD?
CO?
BD?
AC
A
C
证明:
连结AC
?
BD?
AC
AC为A1C在平面AC上的射影
?
BD?
A1C
?
?
?
A1C?
平面BC1D
同理可证A1C?
BC1?
8.如图,PA?
平面ABCD,ABCD是矩形,M、N分别是AB、PC的中点,求证:
MN?
AB
C
1
EN//DC
2.证:
取PD中点E,则
C
?
EN
?
AE/
//AM
/MN
9如图在ΔABC中,AD⊥BC,ED=2AE,过E作FG∥BC,且将ΔAFG沿FG折起,使∠A’ED=60°,求证:
A’E⊥平面A’BC
分析:
A’C
弄清折叠前后,图形中各元素之间的数量关系和位置关系。
D
解:
G∵FG∥BC,AD⊥BC
∴A’E⊥FGEAB∴A’E⊥BC
F设A’E=a,则ED=2a
由余弦定理得:
222
A’D=A’E+ED-2?
A’E?
EDcos60°
2
=3a
222
∴ED=A’D+A’E∴A’D⊥A’E
∴A’E⊥平面A’BC
10如图,在空间四边形SABC中,SA?
平面ABC,?
ABC=0?
AN?
SB于N,AM?
SC于M。
求证:
①AN?
BC;②SC?
平面ANM分析:
①要证AN?
BC,转证,BC?
平面SAB。
②要证SC?
平面ANM,转证,SC垂直于平面ANM内的两条相交直线,即证SC?
AM,SC?
AN。
要证SC?
AN,转证AN?
平面SBC,就可以了。
证明:
①∵SA?
平面ABC∴SA?
BC又∵BC?
AB,且AB?
SA=A∴BC?
平面SAB∵AN?
平面SAB∴AN?
BC②∵AN?
BC,AN?
SB,且SB?
BC=B∴AN?
平面SBC∵SCC平面SBC∴AN?
SC又∵AM?
SC,且AM?
AN=A∴SC?
平面ANM
11已知如图,P?
平面ABC,PA=PB=PC,∠APB=∠APC=60°,∠BPC=90°求证:
平面ABC⊥平面PBC
分析:
要证明面面垂直,只要在其呈平面内找一条线,然后证明直线与另一平面垂直即可。
显然BC中点D,证明AD垂直平PBC即可证明:
取BC中点D连结AD、PD∵PA=PB;∠APB=60°∴ΔPAB为正三角形
同理ΔPAC为正三角形设PA=a在RTΔBPC中,PB=PC=a
BC=
CD?
AE?
又?
CD?
AD?
?
?
?
CD?
平面PAD?
?
CD//AB?
?
MN?
AB
PA?
平面AC?
?
AE?
平面PAD?
AE//MN?
?
2a∴PD=
2
2
a在ΔABC中AD=
AB2?
BD2
习题精选精讲
=
2?
2?
?
2?
?
?
?
a∵AD+PD=?
?
a?
?
?
a?
2
2
22
=a=AP∴ΔAPD为直角三角形即AD⊥DP又∵AD⊥BC
22
∴AD∴平面1以AB直。
解:
PA
BCAB面AEF
[例1]如图9—39,过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC,且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°,求证:
平面ABC⊥
平面BSC.
∵SB=SA=SC,∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC取BC的中点O,连AO、SO,则AO⊥BC,SO⊥BC,
∴∠AOS为二面角的平面角,设SA=SB=SC=a,又∠BSC=90°,∴BC=
2a,SO=
22
a,
a2,∴SA2=AO2+OS2,∴∠AOS=90°,从而平面ABC⊥平面BSC.
要证两平面垂直,证其二面角的平面角为直角.这也是证两平面垂直的常用方法.
[例2]如图9—40,在三棱锥S—ABC中,SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC.
1
AO2=AC2-OC2=a2-21a2=2
图9—40
求证:
AB⊥BC;若设二面角S—BC—A为45°,SA=BC,求二面角A—SC—B的大小.
作AH⊥SB于H,∵平面SAB⊥平面SBC.平面SAB∩平面SBC=SB,∴AH⊥平面SBC,又SA⊥平面ABC,∴SA⊥BC,而SA在平面SBC上的射影为SB,∴BC⊥SB,又SA∩SB=S,∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AB.
∵SA⊥平面ABC,∴平面SAB⊥平面ABC,又平面SAB⊥平面SBC,∴∠SBA为二面角S—BC—A的平面角,∴∠SBA=45°.设SA=AB=BC=a,
作AE⊥SC于E,连EH,则EH⊥SC,∴∠AEH为二面角A—SC—B的平面角,而AH=
22
a,AC=
2a,SC=3a,AE=
3
a
∴sin∠AEH=
三垂线法是作二面角的平面角的常用方法.
2,二面角A—SC—B为60°.
习题精选精讲
[例3]如图9—41,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AD=a,M、N分别是AB、PC的中点.
求平面PCD与平面ABCD所成的二面角的大小;求证:
平面MND⊥平面PCDPA⊥平面ABCD,CD⊥AD,
∴PD⊥CD,故∠PDA为平面ABCD与平面PCD所成二面角的平面角,在Rt△PAD中,PA=AD,∴∠PDA=45°
取PD中点E,连结EN,EA,则
ENCDAM,∴四边形ENMA是平行四边形,∴EA∥MN.∵AE⊥PD,AE⊥CD,∴AE⊥平面PCD,从而MN⊥平面PCD,∵MN?
平面MND,∴平面MND⊥平面PCD.
证明面面垂直通常是先证明线面垂直,本题中要证MN⊥平面PCD较困难,转化为证明AE⊥平面PCD就较简单了.另外,在本题中,当AB的长度变化时,可求异面直线PC与AD所成角的范围.
[例4]如图9—42,正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点.
1
2
图9—42
求证:
平面MNF⊥平面ENF.求二面角M—EF—N的平面角的正切值.
∵M、N、E是中点,∴EB1?
B1N?
NC1?
C1M∴?
ENB1?
?
MNC1?
45?
∴?
MNE?
90?
即MN⊥EN,又NF⊥平面A1C1,MN?
平面A1C1∴MN⊥NF,从而MN⊥平面ENF.∵MN∴平面MNF⊥平面ENF.
过N作NH⊥EF于H,连结MH.∵MN⊥平面ENF,NH为MH在平面ENF内的射影,
?
平面MNF,
∴由三垂线定理得MH⊥EF,∴∠MHN是二面角M—EF—N的平面角.在Rt△MNH中,求得MN=
22
a,NH=
33a,
MN?
2∴tan∠MHN=NH
,即二面角M—EF—N的平面角的正切值为2.
[例5]在长方体ABCD—A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为平面D1EF⊥平面AB1C.
如图9—43,∵E、F分别是AB1、CB1的中点,
2的正方形,侧棱长为3,E、F分别是AB1、CB1的中点,求证:
图9—43∴EF∥AC.∵AB1=CB1,O为AC的中点.∴B1O⊥AC.故B1O⊥EF.在Rt△B1BO中,∵BB1=
3,BO=1.
1如图1,在正方体ABCD?
A1B1C1D1中,M为CC1的中点,AC交BD于点O,求证:
A1O?
平面MBD.
证明:
连结MO,A1M,∵DB⊥A1A,DB⊥AC,A1A?
AC?
A,∴DB⊥平面A1ACC1,而A1O?
平面A1ACC1∴DB⊥A1O.设正方体棱长为a,则A1O2?
在Rt△A1C1M中,A1M
32
2
a,MO?
?
94a
2
22
34
a.
2
2
.∵A1O2?
MO2?
A1M
,∴
.∵OM∩DB=O,∴A1O⊥平面MBD.A1O?
OM
如图2,P是△ABC所在平面外的一点,且PA⊥平面ABC,平面PAC⊥平面PBC.求证:
BC⊥平面PAC.
证明:
在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D.
因为平面PAC⊥平面PBC,且两平面交于PC,
AD?
平面PAC,且AD⊥PC,由面面垂直的性质,得AD⊥平面PBC.又∵
BC?
平面PBC,∴AD⊥BC.
∵PA⊥平面ABC,BC?
平面ABC,∴PA⊥BC.∵AD∩PA=A,∴BC⊥平面PAC.
如图1所示,ABCD为正方形,SA⊥平面ABCD,过A且垂直于SC的平面分别交SB,SC,SD于E,F,G.求证:
AE?
SB,AG?
SD.
证明:
∵SA?
平面ABCD,
∴SA?
BC.∵AB?
BC,∴BC?
平面SAB.又∵AE?
平面SAB,∴BC?
AE.∵SC?
平面AEFG,∴SC?
AE.∴AE?
平面SBC.∴AE?
SB.同理可证AG?
SD.
如图2,在三棱锥A-BCD中,BC=AC,AD=BD,
作BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥BE于H.求证:
AH⊥平面BCD.证明:
取AB的中点F,连结CF,DF.∵AC?
BC,∴CF?
AB.
∵AD?
BD,∴DF?
AB.又CF?
DF?
F,∴AB?
平面CDF.∵CD?
平面CDF,∴CD?
AB.又CD?
BE,BE?
AB?
B,∴CD?
平面ABE,CD?
AH.
∵AH?
CD,AH?
BE,CD?
BE?
E,
∴AH?
平面BCD.
如图3,AB是圆O的直径,C是圆周上一点,PA?
平面ABC.若AE⊥PC,E为垂足,F是
PB上任意一点,求证:
平面AEF⊥平面PBC.
证明:
∵AB是圆O的直径,∴AC?
BC.∵PA?
平面ABC,BC?
平面ABC,∴PA?
BC.∴BC?
平面APC.∵BC?
平面PBC,∴平面APC⊥平面PBC.
∵AE⊥PC,平面APC∩平面PBC=PC,∴AE⊥平面PBC.
∵AE?
平面AEF,∴平面AEF⊥平面PBC.
6.空间四边形ABCD中,若AB⊥CD,BC⊥AD,求证:
AC⊥BD
DB
证明:
过A作AO⊥平面BCD于O
?
AB?
CD,?
CD?
BO同理BC⊥DO∴O为△ABC的垂心于是BD?
CO?
BD?
AC
7.证明:
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1C⊥平面BC1D
A
C
A
证明:
连结AC?
BD?
AC
AC为A1C在平面AC上的射影
?
BD?
A1C
?
?
BC?
?
A1C?
平面BC1D
同理可证A1C1?
8.如图,PA?
平面ABCD,ABCD是矩形,M、N分别是AB、PC的中点,求证:
C
A
EN//1
.证:
取PD中点E,则2DC
C
A
?
EN
//
AM
MN?
AB
?
AE//MN
又?
CD?
AD?
?
?
CD?
平面PAD?
PA?
平面AC?
?
AE?
平面PAD?
?
?
?
CD//AB?
?
MN?
AB
AE//MN?
?
CD?
AE
9如图在ΔABC中,AD⊥BC,ED=2AE,过E作FG∥BC,且将ΔAFG沿FG折起,使∠A’ED=60°,求证:
A’E⊥平面A’BC分析:
弄清折叠前后,图形中各元素之间的数量关系和位置关系。
解:
∵FG∥BC,AD⊥BC
∴A’E⊥FG∴A’E⊥BC设A’E=a,则ED=2a由余弦定理得:
A’D2=A’E2+ED2-2?
A’E?
EDcos60°=3a∴ED2=A’D2+A’E∴A’D⊥A’E∴A’E⊥平面A’BC
10如图,在空间四边形SABC中,SA?
平面ABC,?
ABC=0?
AN?
SB于N,AM?
SC于M。
求证:
①AN?
BC;②SC?
平面ANM分析:
①要证AN?
BC,转证,BC?
平面SAB。
②要证SC?
平面ANM,转证,SC垂直于平面ANM内的两条相交直线,即证SC?
AM,SC?
AN。
要证SC?
AN,转证AN?
平面SBC,就可以了。
证明:
G
A
EF
CD
B
①∵SA?
平面ABC
1.在三棱锥A—BCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,△BCD是锐角三角形,那么必有A.平面ABD⊥平面ADCB.平面ABD⊥平面ABCC.平面ADC⊥平面BCDD.平面ABC⊥平面BCD
由AD⊥BC,BD⊥AD?
AD⊥平面BCD,面AD?
平面ADC∴平面ADC⊥平面BCD.C
2.直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=AA1=a,则点A到平面A1BC的距离是
2
∴SA?
BC
又∵BC?
AB,且AB?
SA=A∴BC?
平面SAB∵AN?
平面SAB∴AN?
BC
②∵AN?
BC,AN?
SB,且SB?
BC=B∴AN?
平面SBC∵SCC平面SBC∴AN?
SC
又∵AM?
SC,且AM?
AN=A∴SC?
平面ANM
A.aB.
2a
C.2a
D.3a
取A1C的中点O,连结AO,∵AC=AA1,∴AO⊥A1C
又该三棱柱是直三棱柱.∴平面A1C⊥平面ABC.又∵BC⊥AC∴BC⊥AO,
2
因AO⊥平面A1BC,即A1O等于A到平面ABC的距离.解得:
A1O=2aC
3.三个平面两两垂直,它们的三条交线交于一点O,P到三个面的距离分别是3,4,5,则OP的长为A.5
3
B.5
2
C.35
D.25
例1如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一个平面.
解:
已知a∥b,a⊥α.求证:
b⊥α.
变式训练
已知点P为平面ABC外一点,PA⊥BC,PC⊥AB,求证:
PB⊥
AC.
例如图9,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
变式训练
如图10,四面体A—BCD的棱长都相等,Q是AD的中点,求CQ与平面DBC所成的角的正弦值.
图10
例如图11,在直四已知AB∥DC.
求证:
D1C⊥AC1;设E是DC上一点,A1BD,并说明理由.
棱柱ABCD—A1B1C1D1中,DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,
试确定E的位置,使D1E∥平面
变式训练
如图12,在正方体ABCD—A1B1C1D1,G为CC1的中点,O为底面ABCD的中心.求证:
A1O⊥平面
GBD.
图12
1、如图,已知a、b是两条相互垂直的异面直线,线段AB与两异面直线a、b垂直且相交,线段AB的长为定值m,定长为n的线段PQ的两个端点分别在a、b上移动,M、N分别是AB、PQ的中点
.
求证:
AB⊥MN;MN的长是定值.
2、如图,已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=3,AB=5,BC=4,AA1=4,点D是AB的中点.求证:
AC⊥BC1;求证:
AC1∥平面CDB1;
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