初等数学知识点补充.docx
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初等数学知识点补充
初等数学补充知识
1.公约数和最大公约数
几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数。
例如:
12的约数有:
1,2,3,4,6,12;
18的约数有:
1,2,3,6,9,18。
12和18的公约数有:
1,2,3,6.其中6是12和18的最大公约数,记作(12,18)=6。
2.公倍数和最小公倍数
几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。
例如:
12的倍数有:
12,24,36,48,60,72,84,…
18的倍数有:
18,36,54,72,90,…
12和18的公倍数有:
36,72,….其中36是12和18的最小公倍数,记作[12,18]=36
3、1既不是质数,也不是合数.这样,自然数在按约数个数分类,可以分成:
质数、合数和1.
偶数中只有2是质数,而且是所有质数中最小的一个.除2以外所有的偶数都是合数,除2以外所有的质数都是奇数.
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,这几个质数就叫做这个合数的质因数.例如,因为70=2×5×7,所以2,5,7是70的质因数.
把一个合数用质数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数.例如,60=2×2×3×5=22×3×5,把60这个合数用2×2×3×5或22×3×5的形式来表示,就是把60分解质因数.
例1两个质数的积是46,求这两个质数的和.
分析:
两个质数的积是46,46是偶数,只能是一个奇质数与一个偶质数的积,而偶质数只有2,因此很容易得出另外的质数,从而问题得以解决.
解:
因为46是偶数,因此它必是一个奇质数与一个偶质数的积,而偶质数只有2,另一质数46÷2=23,所以2与23的和为25.
例2用2,3,4,5中的三个数能组成哪些三位质数?
分析:
首先考虑个位数字是几,如果个位数字是2或4,这样的三位数必能被2整除,因此这样的三位数不会是质数,如果个位数字是5,这样的三位数必能被5整除,这样的三位数也不会是质数,所以个位数字只能是3,再由剩下的三个数字组成百位、十位,得出个位数字是3的三位数为:
243,423,253,523,453,543,最后根据质数的判断方法,得到所求的质数.
解:
如果组成的三位数的个位数字是2、4、5时,这个数必能被2或5整除,因此个位数字只能是3,而个位数字是3的三位数有243,423,253,523,453,543,其中243,423,453,543均能被3整除,253能被11整除,所以只有523是质数.
质数的判断方法是,当一个数比较小时,用定义直接判断,但这个数比较大时,通常采用查质数表,最好记住100以内的所有质数.在没有质数表的情况下,可以用质数从小到大的顺序逐个地去试除.如果能被其中某一个质数整除,就说明这个数是合数,如果除到商已比试除的质数小,还不能被这些质数中的任何一个整除,那么这个数一定是质数.
例如,判断100以内的数是否是质数,只需用2、3、5、7这四个质数去试除,如果没有一个能整除它,这个数一定是质数,否则不是质数.判断97是不是质数,因为97不能被2,3,5,7中的任何一个整除,因此97是质数.为什么不必去试除比97小的所有的质数呢?
因为97不能被2,3,5,7中的任何一个整除,它就一定不能被4,6,8,9,10等数(分别为2,3,5的倍数)整除,又因为,如果用11或大于11的质数去试除,97÷11=8…9,97÷13=7…6,其商为8、7,比除数还小,都已试除过,因此判断100以内的数是否是质数只需用2,3,5,7去试除.
判断200以内的数是否是质数,只需用2,3,5,7,11,13,17这七个质数去试除;判断300以内的质数,只需用2到17这七个质数去试除;判断400以内的质数,只需用20以内的八个质数与去试除;判断500以内的质数,只需2到23的质数去试除.其余可用类似的方法推出,你可以思考一下1000以内的质数如何判断?
例3将40,44,45,63,65,78,99,105这八个数平分成两组,使每组四个数的乘积相等.
分析:
如果采用观察、计算调整的方法是比较麻烦的.要使两组数的乘积相等,只有两组数中的质因数相同,而且质因数的个数也相同,就可以了,所以从这八个数分解质因数入手,根据各质因数的个数,进行适当的搭配,便能找出问题的答案.
解:
将八个数分解成质因数:
40=23×544=22×11
45=32×563=32×7
65=5×1378=2×3×13
99=32×11105=3×5×7
这八个数分解质因数后一共有6个2,8个3,4个5,2个7,2个11,2个13.因此,这八个数被分成两组后,每一组应含有3个2,4个3,2个5,1个7,1个11,1个13,这样可以得到两组分别为:
40,63,65,99和44,45,78,105.
例4九个连续自然数中至多有四个质数,例如1至9中有2、3、5、7四个质数.请在200以内再找出五组这样的质数.
分析:
9个连续自然数中至多有5个奇数.在两位数中,个位是5的数必能被5整除,而且三个连续的奇数必有一个能被3整除,所以只有当个位数字为5的两位数又能被3整除时,其余的四个奇数才有可能是质数.当找到一组这样的两位以上的质数时,另一组与这组对应的数的差必定是30的倍数.按照上述办法找出后,再根据质数的判断方法去筛选就可得出结果.
首先容易得出3,5,7,11;5,7,11,13;在两位数中,按照上面的方法可得出以下各组数:
11,13,15,17,19;
41,43,45,47,49;
71,73,75,77,79;
101,103,105,107,109;
131,133,135,137,139;
161,163,165,167,169;
191,193,195,197,199;
根据质数的判断方法可以得出两位数中还有11,13,17,19;101,103,107,109;191,193,197,199这三组符合条件.
解:
200以内另外五组这样的质数为:
3,5,7,11;5,7,11,13;11,13,17,19;101,103,107,109;191,193,197,199
归一问题
归一问题是一类典型应用题.这类问题是用等分除法求出一个单位的数值(单一量)之后,再求出题目所要求解的问题.解答归一问题的方法,叫做归一法.
归一问题可以分为两种:
一种是求总量的,叫做正归一问题;另一种是求份数的,叫做反归一问题.归一问题在日常生活和生产中经常遇到.
例1某纺织厂有32台织布机,10天可织布4万米,后来改进操作规程,每台织布机每天多织5米,照这样的速度生产,如果该纺织厂又增加同样的织布机4台,20天可织布多少万米?
分析:
要求20天织布多少米,必须先求出改进操作规程前每天每台织布机织多少米,然后求出改进操作规程后每天每台织布机织多少米,就是“单一量”.这样便容易求出20天织布多少米.
解:
(1)改革操作规程前,每天每台织布机织布
40000÷32÷10=125(米)
(2)改进操作规程后,每天每台织布机织布
125+5=130(米)
(3)(32+4)台织布机,20天可织布
130×(32+4)×20=93600(米)=9.36(万米)
综合算式
(40000÷32÷10+5)×(32+4)×20
=(125+5)×36×20
=130×36×20
=93600(米)
=9.36(万米)
答:
36台织布机,20天可织布9.36万米.
例2某工厂一个车间,原计划20人4天做1280个零件,刚要开始生产,又增加了新任务,在工作效率相同的情况下,需要15个人7天才能全部完成,问增加了多少个零件?
分析:
要求增加了多少个零件,只需先求出每人每天生产多少个零件,然后求出15个人7天生产的零件数,最后用它减去1280个零件就可得出所要求的问题.
解:
(1)每人每天生产的零件数
1280÷20÷4=16(个)
(2)15人7天生产的零件数
16×15×7=1680(个)
(3)增加的零件数
1680-1280=400(个)
综合算式
(1280÷20÷4)×15×7-1280
=16×15×7-1280
=1680-1280
=400(个)
答:
增加了400个零件.
例3某农场收割麦子,计划18人每天6小时15天收割完,后来为了加快速度,实际每天增加了9人,并且工作时间增加了2小时,实际比原计划提前了几天完成这项任务?
分析:
这题工作总量没有发生变化,只是人数和时间发生了变化.首先先求出工作总量,再求出实际工作的天数,便可以求出提前的天数.
解:
设一人工作一小时为一“工时”.
(1)工作总量为
18×6×15=1620(工时)
(2)(18+9)人工作的小时数
1620÷(18+9)=60(小时)
(3)实际工作的天数
60÷(6+2)=7.5(天)
(4)实际比原计划提前的天数
15-7.5=7.5(天)
综合算式
15-18×6×15÷(18+9)÷(6+2)
=15-1620÷27÷8
=15-7.5
=7.5(天)
答:
实际比原计划提前了7.5天.
例4一项工程预计28天完成,先由20个人去做8天,完成了工程的
分析:
要想求出需要增加多少名工人,只需先求出完成全部工程所需的
减去原有人数,即为增加的工人数.
解:
设一人工作一天为一“日工”
(1)完成全部工程所需的工作总量
(2)剩余工程所需的工作量
(3)在20天里完成剩余工程需要的工人数
480÷(28-8)=24(人)
(4)增加的工人数
24-20=4(人)
综合列式
=480÷20-20
=24-20
=4(人)
答:
还需要增加4名工人.
例5有一只闹钟和一只手表,已知闹钟走1小时,手表要多走30秒,又已知在1小时的标准时间里,闹钟少走30秒,问这只手表的时间准不准?
每小时相差多少?
分析:
初看起来,手表比闹钟快30秒,闹钟比标准时间慢30秒,一快一慢都是30秒,刚好抵消.这是错误的,因为手表多走30秒是手表上的30秒,闹钟比标准时间少走30秒是闹钟上的30秒,手表比闹钟走得快,因此手表走30秒的时间比闹钟走30秒的时间短,两者无法抵消的.解这个问题的关键是先要计算在1小时(3600秒)的标准时间里闹钟走了多少秒,在这段时间里手表走了多少秒?
与1小时(3600秒)的标准时间比较就可得出手表的误差.
解:
(1)标准时间走3600秒时,闹钟走了
3600-30=3570(秒)
(2)闹钟走3600秒时,手表走了
3600+30=3630(秒)
(3)闹钟走1秒时,手表走了
3630÷3600=121÷120(秒)
(4)标准1小时(闹钟走3570秒时),手表走了
121÷120×3570=121×3570÷120=3599.75(秒)
(5)手表比标准1小时慢
3600-3599.75=0.25(秒)
综合列式
3600-(3600+30)÷3600×(3600-30)
=3600-3630÷3600×3570
=3600-3599.75
=0.25(秒)
答:
这只手表每小时慢0.25秒.
还原问题
从问题的最后结果出发,运用加与减、乘与除的互逆关系,一步一步进行逆推,即遇加用减,遇减用加,遇乘用除,遇除用乘,最后求出问题的解,这种解题的方法通常叫做还原
法,或逆推法,这类应用题通常叫做还原问题.
例1某数加上2,乘以5,除以11,再减去8,结果是1,求这个数.
分析:
采用还原法思考,题中最后的结果是1,1是一个数减去8得到的,在没减去8之前的数是8+1=9,9又是一个数除以11得到的,在没除以11之前的数是9×11=99,而99又是一个数乘以5得到的,在没乘以5之前的数是99÷5=19.8,19.8就是某数加上2得到的,因此在没加2之前这个数为19.8-2=17.8.
解
(1)没减去8之前的数
8+1=9
(2)没除以11之前的数
9×11=99
(3)没乘以5之前的数
99÷5=19.8
(4)没加上2之前,某数
19.8-2=17.8
综合算式
(1+8)×11÷5-2=17.8答:
这个数是17.8.
平均数
在日常生产和生活中,通过求平均数来说明问题的例子很多.例如,农民根据平均亩产量看出产量的高低;学校根据同一年级的同一次考试各班的平均分数,比较出各班的差异;等等.因此,学会求平均数是很有必要的.
几个数的和,再用它们的个数去除,就得到这几个数的平均数.与平均数有关的问题叫做平均数问题.解答平均数问题的基本公式是
平均数=总数÷总份数
总份数=总数÷平均数
总数=平均数×总份数
例1小宁在期末考试时,语文、数学、英语三科平均分数是93分,语文、数学平均90.5分,数学、英语平均97分.问他的三科成绩各是多少?
分析:
已知三科的平均分数是93分,那么这三科的总分数为93×3=279分,由语文、数学平均90.5分,则知这两科的总分数为90.5×2=181分,用三科的总分数减去这两科的总分数279-181=98分,即为英语的分数;同样,再由数学、英语平均97分,知道这两科的总分数为97×2=194分,用三科的总分数减去这两科的总分数279-194=85分,即为语文的分数;最后用三科的总分数减去语文、英语的分数就得到数学的分数.
解:
(1)这三科的总分数
93×3=279(分)
(2)语文、数学的总分数
90.5×2=181(分)
(3)英语的分数
279-181=98(分)
(4)数学、英语的总分数
97×2=194(分)
(5)语文的分数
279-194=85(分)
(6)数学的分数
279-98-85=96(分)
答:
小宁的语文是85分,数学是96分,英语是98分.
例2一个气象站每天早晨测量室外温度,现已知某星期一至星期日这七天的平均温度是25℃,并且知道星期一、三的温度相同,它们比星期二高3.5℃,星期二、四的温度相同,它们比星期五低1℃,星期六、日的温度相同,它们比星期五高2℃,问这七天的温度分别是多少?
分析:
由已知我们可以看出有四天的温度与星期五的温度有关,星期一、三两天的温度比星期二高3.5℃,星期二的温度比星期五低1℃,由此可知,星期一、三的温度比星期五的温度高3.5-1=2.5℃,这样七天中有六天与星期五的温度有关,把星期五的温度作为基准数,这六天的温度比星期五的温度共高2.5×2-1×2+2×2=7℃,再用这七天的总度数减去7℃,就是星期五的温度的7倍,这样星期五的温度可以求出,从而问题便可以解决.
解:
(1)七天的总度数
25×7=175(℃)
(2)六天比星期五共高的度数
(3.5-1)×2-1×2+2×2=7(℃)
(3)星期五的度数
(175-7)÷7=24(℃)
(4)星期一、三的度数
24+3.5-1=26.5(℃)
(5)星期二、四的度数
24-1=23(℃)
(6)星期六、日的度数
24+2=26(℃)
答:
星期一与星期三的温度是26.5℃,星期二与星期四的温度是23℃,星期五的温度是24℃,星期六与星期日的温度是26℃.
例3甲、乙、丙三个学生各拿出相同的钱买相同的画片,买来之后,甲、乙两人都比丙各多买了9张画片,因此他俩分别给了丙0.6元,问每张画片多少钱?
分析:
三人拿出相同的钱买相同的画片,应该买来同样多的画片,但是甲、乙确比丙各多买了9张,一共多买了9×2=18张,如果把这18张平均分配,每人应得18÷3=6张,甲、乙应分别给丙3张就行了.但实际上,甲、乙两人各自给丙0.6元,这0.6元就是3张画片的钱数,于是求出每张画片的价钱.
解:
(1)甲、乙共多买张数
9×2=18(张)
(2)这18张平均分给3人,每人应得的张数
18÷3=6(张)
(3)每张画片的价钱
0.6÷(9-6)=0.2(元)
综合算式
0.6÷(9-9×2÷3)=0.2(元)
答:
每张画片的价钱是0.2元.
例4商店里购进同样钱数的甲、乙两种糖果.已知甲种糖果每千克12元,乙种糖果每千克8元.现将这两种糖果混在一起成为什锦糖,问这种什锦糖每千克的成本是多少元?
分析:
甲、乙两种糖果的总价和总重量都不确定,因此无法确定什锦糖的总价和总重量.但这种什锦糖中含有的这两种糖果的价钱相同,重量不同,所以,如果能确定什锦糖中甲、乙两种糖的重量比值,就可以求出这种什锦糖的成本.假如我们取出一部分什锦糖,其中含甲、乙两种糖果的价钱相同,均为24(12与8的最小公倍数)元,那么24元可购得甲种糖24÷12=2千克,乙种糖果24÷8=3千克,也就是说,48元可购得这种什锦糖3+2=5千克,因此这种什锦糖的成本就可以求出来了.
解:
(1)12与8的最小公倍数
4×3×2=24
(2)价值48元的什锦糖中含有甲、乙两糖果的重量
甲种糖果24÷12=2(千克)
乙种糖果24÷8=3(千克)
(3)每千克什锦糖的成本
48÷(3+2)=9.6(元)
答:
这种什锦糖每千克的成本是9.6元.
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