第四章代数式讲义.docx
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第四章代数式讲义
第四章代数式讲义
代数式讲义
一、知识点复习及例题选讲
知识点1:
代数式
1)、代数式:
用基本运算符号把数和字母连接而成的式子。
如:
n、-2、
、、
、2n+500、abc、2ab+2bc+2ac(单独一个数或一个字母也是代数式)注意:
列代数式时,数字与字母、字母与字母相乘,乘号通常用·表示或省略不写,并且把数字写在字母的前面,除法运算通常写成分数的形式。
2)、单项式:
表示数与字母的积的代数式叫单项式。
单独一个数或一个字母也是单项式。
其中的数字因数叫单项式的系数,所有的字母的指数的和叫单项式的次数。
注意:
单项式是由系数、字母、字母的指数构成的,其中系数不能用带分数表示,如
,这种表示就是错误的,应写成
。
一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
如
是6次单项式。
3)、多项式:
几个单项式的和叫做多项式,次数最高项的次数叫做这个多项式的次数。
4)、单项式、多项式统称为整式。
例1:
列代数式表示(注意规范书写)
1、某商品售价为
元,打八折后又降价20元,则现价为_____元
2、橘子每千克
元,买10
以上可享受九折优惠,则买20千克应付_________元钱.
3、.如图,图1需4根火柴,图2需____根火柴,图3需____根火柴,……图
需____根火柴。
(图1)(图2)(图3)
4、托运行李p千克(p为整数)的费用标准:
已知托运第1个1千克需付2元,以后每增加1千克(不足1千克按1千克计)需增加费用5角.若某人托运p千克(p>1)的行李,则托运费用为 ;
例2:
填空
的系数为_______,次数为_____________:
的次数_____________
列代数式练习题
1、设甲数为x,用代数式表示乙数。
(1)已数比甲数大5;
(2)乙数比甲数的2倍小3;
(3)乙数比甲数大16%;(4)乙数比甲数的倒数小7.
(5)乙数比甲数的一半小1;(6)甲数比乙数多3;
(7)乙数比甲数的倒数小17%.(8)甲、乙两数的平方差;
(9)甲数与乙数的倒数的和;(10)甲数除乙数与1的和的商.
2、用代数式表示
(1)比a小3的数;
(2)比b的一半大5的数;
(3)a的3倍与b的2倍的和;(4)x的与的差;
(5)a与b的和的60%;(6)x与4的平方差(即平方的差);
(7)a、b两数平方和(8)a、b两数和的平方。
3、设甲数为a,乙数为b,用代数式表示
(1)甲乙两数的和的2倍;
(2)甲数的与乙数的的差;
(3)甲、乙两数的平方和;(4)甲乙两数的和与甲两数的差的积。
(5)甲与乙的2倍的和;(6)甲数的与乙数差的;
(7)甲、乙两数和的平方;(8)甲乙两数的和与甲乙两数的积的差。
4、当
时,求代数式
的值
6、当m=2,n=–5时,求
的值
7、已知当
时,2x-5y12、一个塑料三角板,形状和尺寸如图所示,
(1)求出阴影部分的面积;
(2)当a=5cm,b=4cm,r=1cm时,计算出阴影部分的面积是多少。
一、填空题:
1、一支圆珠笔a元,5支圆珠笔共_____元。
2、“a的3倍与b的
的和”用代数式表示为________。
3、比a的2倍小3的数是_____。
4、某商品原价为a元,打7折后的价格为______元。
5、一个圆的半径为r,则这个圆的面积为_______。
6、当x=-2时,代数式x2+1的值是_______。
7、代数式x2-y的意义是_______________。
8、一个两位数,个位上的数字是为a,十位上的数字为b,则这个两位数是______
9、若n为整数,则奇数可表示为_____。
10、设某数为a,则比某数大30%的数是_____。
11、被3除商为n余1的数是_____。
12、校园里刚栽下一棵的高的小树苗,以后每年长。
则n年后的树高是__m
二、求代数式的值:
1、已知:
a=12,b=3,求
的值。
2、当x=-
,y=-
,求4x2-
y的值。
3、已知:
a+b=4,ab=1,求2a+3ab+2b的值。
知识点2:
去括号法则
1.去括号法则:
(1)括号前是“+”号,把括号和前面的“+”号去掉,括号里的各项的符号都不改变。
(2)括号前是“-”号,把括号和前面的“-”号去掉,括号里的各项的符号都要改变。
2.去括号法则中乘法分配律的应用:
若括号前有因式,应先利用乘法分配律展开,同时注意去括号时符号的变化规律。
3.多重括号的化简原则
(1)由里向外逐层去掉括号
(2)由外向里逐层去掉括号
例3:
去括号,合并同类项
(1)-3(2s-5)+6s
(2)3x-[5x-(
x-4)]
(3)6a2-4ab-4(2a2+
ab)(4)
知识点3:
代数式的值
1)、用具体的数值代替代数式中的字母,按照代数式的运算关系计算,所得的结果是代数式的值。
2)、求代数式的值时应注意以下问题:
(1)严格按求值的步骤和格式去做.
(2)一个代数式中的同一个字母,只能用同一个数值代替,若有多个字母,代入时要注意对应关系,千万不能混淆.(3)在代入值时,原来省略的乘号要恢复,而数字和其他运算符号不变(4)字母取负数代入时要添括号(5)有乘方运算时,如果代入的数是分数或负数,要加括号。
例4当x=
,y=-3时,求下列代数式的值:
(1)3x2-2y2+1;
(2)
3)、计算程序图的理解和设计
(1)如果指明了运算顺序,只要将输入的数按照这个顺序计算即可得到输出的数。
(2)反之,如果知道了输出的代数式,可以根据它的运算顺序设计出计算程序。
例5:
如图,是一组数值转换机的示意图,填出图一的输出结果及图二的运算顺序:
知识点4:
合并同类项
1.同类项:
所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项是同类项。
如:
100a和200a,240b和60b,-2ab和10ab
2.合并同类项的法则:
同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变.
例如:
合并同类项3x2y和5x2y,字母x、y及x、y的指数都不变,只要将它们的系数3和5相加,即3x2y+5x2y=(3+5)x2y=8x2y.
3.合并同类项的步骤:
(1)准确的找出同类项
(2)运用加法交换律,把同类项交换位置后结合在一起(3)利用法则,把同类项的系数相加,字母和字母的指数不变(4)写出合并后的结果
4.注意:
(1)不是同类项不能合并
(2)求代数式的值时,如果代数式中含有同类项,通常先合并同类项再代入数值进行计算.
例6:
判断下列各组中的两个项是不是同类项:
(1)
a2b和-
a2b
(2)2m2np和-pm2n(3)0和-1
例7.如果
xky与—
x2y是同类项,则k=______,
xky+(-
x2y)=________.
例8.直接写出下列各式的结果:
(1)-
xy+
xy=_______;
(2)7a2b+2a2b=________;
(3)-x-3x+2x=_______;(4)x2y-
x2y-
x2y=_______;
(5)3xy2-7xy2=________.
例9.合并下列多项式中的同类项.
(1)4x2y-8xy2+7-4x2y+10xy2-4;
(2)a2-2ab+b2+a2+2ab+b2.
例10.求下列多项式的值:
(1)
a2-8a-
+6a-
a2+
,其中a=
;
(2)、3x2y2+2xy-7x2y2-
xy+2+4x2y2,其中x=2,y=
.
知识点5:
整式的加减
1)、整式的加减的方法:
进行整式的加减运算时,如果有括号先去括号,再合并同类项.
2)、整式的加减的步骤:
1.列出代数式2.去括号3.合并同类项
注意:
整式的加减最后结果不能再含有同类项
例11、先化简,再求值。
(1)(5a2-3b2)+(a2-b2)-(5a2-2b2)其中a=-1,b=1
(2)9a3-[-6a2+2(a3-
a2)]其中a=-2
例12、
(1)已知一个多项式与a2-2a+1的和是a2+a-1,求这个多项式。
(2)已知A=2x2+y2+2z,B=x2-y2+z,求2A-B
二、练习
1、甲乙两地相距x千米,某人原计划t小时到达,后因故提前1小时到达,则他每小时应比原计划多走 千米;
2、代数式
的次数是 ,
的系数是
3、当x-y=2时,代数式(x-y)2+2(x-y)+5的值是_______.
4、已知4y2—2y+5=9时,则代数式2y2—y+1等于_______.
5、已知│a-1│+(2a-b)2=0,那么3ab–15b2-6ab+15a-2b2等于_______.
6、当x=3,y=
时,求下列代数式的值:
(1)2x2-4xy2+4y;
(2)
7、小明读一本共m页的书,第一天读了该书的
,第二天读了剩下的
.
(1)用代数式表示小明两天共读了多少页.
(2)求当m=120时,小明两天读的页数.
8、当x=-1,y=-2时,求2x2-5xy+2y2-x2-xy-2y2-3x2的值。
9、.去括号
,
.
10、
的相反数是()
A.
B.
C.
D.
11、化简2a-5(a+1)的结果( )
A.-3a+5 B.3a-5 C.-3a-5D.-3a-1
12、将如图两个框中的同类项用线段连起来:
13、当m=________时,-x3b2m与
x3b是同类项.
14、如果5akb与-4a2b是同类项,
那么5akb+(-4a2b)=_______.
15、下列各组中两项相互为同类项的是()
A.
x2y与-xy2;B.与;C.3b与3abc;D.与
m2n
16、下列说法正确的是()
A.字母相同的项是同类项B.只有系数不同的项,才是同类项
C.-1与是同类项D.-x2y与xy2是同类项
17、合并下列各式中的同类项:
(1)-4x2y-8xy2+2x2y-3xy2;
(2)3x2-1-2x-5+3x-x2;
(3);(4)5yx-3x2y-7xy2+6xy-12xy+7xy2+8x2y.
(5)2(x-y)2—3(y-x)+5(x-y)2+3(x-y)
18、先化简,再求值
,其中,
19、已知(a-2)2+
=0,求5ab2-[2a2b-(4ab2-2a2b)]的值。
强化练习
一、填空题
1.单项式
的系数是_______,次数是_________.
2.多项式
的次数是______,三次项系数是________.
3.把多项式
按x升幂排列是_________________.
4.下列代数式:
.其中单项式有_______________________________,多项式有___________________________.
5.多项式
b2-8ab2+5a2b2-9ab+ab2-3中,________与-8ab2是同类项,5a2b2与_______是同类项,是同类项的还有_____________________________.
6.3a-4b-5的相反数是_______________.
二、选择题
1.如果多项式
是关于x的三次多项式,那么()
A.a=0,b=3B.a=1,b=3C.a=2,b=3D.a=2,b=1
2.如果
,则A+B=()
A.2B.1C.0D.–1
3.下列计算正确的是()
A.3a-2a=1B.–m-m=m2C.2x2+2x2=4x4D.7x2y3-7y3x2=0
4.在3a-2b+4c-d=3a-d-()的括号里应填上的式子是()
A.2b-4cB.–2b-4cC.2b+4cD.–2b+4c
5.如果一个多项式的次数是4,那么这个多项式任何一项的次数应()
A.都小于4B.都不大于4C.都大于4D.无法确定
三、解答题
1.如果与–是同类项,求a,b的值.
2.先化简,再求值.
,其中a=-5,b=-3.
3.把多项式
写成一个三次多项式与一个二次三项式之差.
4.计算:
反馈检测
一、填空题(每小题5分,共25分)
1.在一次募捐活动中,某校平均每名同学捐款a元,结果一共捐款b元,则式子
可解释为_________________________________________________________.
2.在某地,人们发现蟋蟀叫的次数与温度有某种关系.用蟋蟀1分钟叫的次数除以7,然后再加上3,就可以近似地得到该地当时的温度(0C).设蟋蟀1分钟叫的次数为n,用代数式表示该地当时的温度为_______0C;当蟋蟀1分钟叫的次数为100时,该地当时的温度约为________0C(精确到个位).
3.k=______时,-
与
的和是单项式.
4.在括号内填上适当的项:
(a+b-c)(a-b+c)=
.
5.多项式
的次数是____,常数项为_____,四次项为_______.
二、选择题(每小题5分,共25分)
1.某宾馆的标准间每个床位标价为m元,旅游旺季时上浮x%,则旅游旺季时标准间的床位价为()元.
%+x%(1+x%)(1-x%).
2.用代数式表示“a与-b的差”,正确的是()
(-b)
3.当x=-2,y=3时,代数式4x3-2y2的值是()
4.下列运算正确的是()
+2b=5ab=0+2x3=5x5=1
5.下列说法中,错误的是()
A.单项式与多项式统称为整式B.单项式x2yz的系数是1
+2是二次二项式D.多项式3a+3b的系数是3
三、解答题(每题10分,共50分)
1.⑴若
,请指出a与b的关系.⑵若25a4b4是某单项式的平方,求这个单项式.
2.化简求值:
4a2b-2ab2-3a2b+4ab2,其中a=-1,b=2.
3.在计算代数式(2x3-3x2y-2xy2)-(x3-2xy2+y3)+(-x3+3x2y-y3)的值,其中x=,y=-1时,甲同学把x=错抄成x=-,但他计算的结果也是正确的.试说明理由,并求出这个结果.
4.你一定知道小高斯快速求出:
1+2+3+4+…+100=5050的方法.现在让我们比小高斯走得更远,求1+2+3+4+…+n=_______________.
请你继续观察:
13=12,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…
求出:
13+23+33+…+n3=_______________________.
5.如果A=3x2-xy+y2,B=2x2-3xy-2y2,那么2A-3B等于多少
《整式的加减》综合检测(A)
一、填空题(每题3分,共30分)
1.光明奶厂1月份产奶m吨,2月份比1月份增产15%,则2月份产奶______吨.
2.代数式6a表示_____________________________________________.
3.单项式-4
xy2的系数是_______,次数是__________.
4.多项式
的二次项是___________.
5.三个连续偶数中间一个是2n,第一个是______,第三个是_______,这三个数的平方和是_____________(只列式子,不计算)
6.若+3×105是五次多项式,则k=__________.
7.单项式-5xm+3y4与7x5y3n-1是同类项,则nm=_____,这两个单项式的和是___________.
+b2+__________=3ab-b2.
9.一长方形的一边长为2m+n,比另一边多m-n(m>n),则长方形的周长是____________.
是两位数,y是三位数,y放在x左边组成的五位数是______________.
二、选择题(每题4分,共20分)
1.下列说法中,正确的是()
A.若ab=-1,则a、b互为相反数B.若
,则a=3
不是单项式的系数是-1
2.多项式
的项是()
-a,-3B.2a2,a,3C.2a2,-a,3D.2a2,a,-3
3.下列代数式
,其中整式有()个
4.若a<0,则2a+5
等于()
5.看下表,则相应的代数式是()
x
0
1
2
3
代数式值
2
-1
-4
-7
+2+2
三、解答题(每小题10分,共50分)
1.已知
,
则
________.
计算:
探究:
.
2.已知A=3a2-2a+1B=5a2-3a+2C=2a2-4a-2,求A-B-C.
3.如果关于x的多项式
与3xn+5x是同次多项式,求
的值.
4.化简5a2-
(用两种方法)
5.按下列要求给多项式-a3+2a2-a+1添括号.
⑴使最高次项系数变为正数;
⑵使二次项系数变为正数;
⑶把奇次项放在前面是“-”号的括号里,其余的项放在前面是“+”号的括号里.
第三部分《整式的加减》代数式
强化练习参考答案
一、与b的差2.⑴(1+10%)x⑵(a+b)2+(a-b)23.++n=n(n+1)(a-3)+a25二、
三、1.∵3a2-2a+6=82.b2-4ac=(-
)2-4×(-1)×
=
∴3a2-2a=2∵(±
)2=
∴
∴
是±
的平方.
∴
3.⑴b=(220-14)=
答:
正常情况下,在运动时一个14岁的少年所能承受的每分钟心跳的最高次数164次.
⑵b=(220-45)=140,∵22×6=132132<140∴他没有危险.
反馈检测参考答案
一、1.(1-20%)m2.答案不唯一 3.
4.
,9cm25.15
二、1C2D3B4C5A
三、1.⑴10a+b,100a+10b+c⑵(1+20%)a·85%,⑶a+(x-1)⑷(
)2.193.4.-55.4.
强化练习参考答案
一1.
42.4,33.–7+2xy2-x2y-x3y3
4.
5.ab2;-7a2b2;4ab与-9ab6.–3a+4b+5.
二、
三、1.2,32.
3.
4.
.
反馈检测参考答案
一、1.参加捐款的学生人数2.(
)、173.44.b-c,b-c5.5;-4;-7xy3.
二、
三、1.⑴a=b或a=-b⑵±5a2b22.a2b+2ab2,-6
3.提示:
(2x3-3x2y-2xy2)-(x3-2xy2+y3)+(-x3+3x2y-y3)
=2x3-3x2y-2xy2-x3+2xy2-y3-x3+3x2y-y3=-2y3
当y=-1时,原式=-2×(-1)3=2
4.
,(1+2+3+4+-----+n)2=
.
5.提示:
2A-3B=2(3x2-xy+y2)-3(2x2-3xy-2y2)
=6x2-2xy+2y2-6x2+9xy+6y2
=7xy+8y2.
《整式的加减》综合检测(A)
一、1.(1+15%)m2.答案不唯一
;3;2n+2;(2n-2)2+(2n)2+(2n+2)27.
2x5y48.ab-2b2+6n+x
二、
三、1.解:
,
=
+
+---+
=1-
=
.
=
+
+---+
=
=
=
.
2.解:
A-B-C=(3a2-2a+1)-(5a2-3a+2)-(2a2-4a-2)
=3a2-2a+1-5a2+3a-2-2a2+4a+2
=-4a2+5a+1.
3.解:
根据题意,若m=0,则n=2;若m≠0,则n=4.
当n=2时,
=-2
当n=4时,
=8.
4.解:
方法一(先去小括号):
原式=5a2-
=5a2-(4a2+4a)=a2-4a.
方法二(先去中括号):
原式=5a2-a2-(5a2-2a)+2(a2-3a)
=5a2-a2-5a2+2a+2a2-6a=a2-4a.
5.解:
⑴-a3+2a2-a+1=-(a3-2a2+a-1).
⑵-a3+2a2-a+1=+(-a3+2a2-a+1).
⑶-a3+2a2-a+1=-(a3+a)+(2a2+1).
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