课后限时集训63.docx

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课后限时集训63

课后限时集训63

统计图表、用样本估计总体

建议用时：

45分钟

一、选择题

1．（2017·全国卷Ⅰ）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：

kg）分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（　　）

A．x1，x2，…，xn的平均数

B．x1，x2，…，xn的标准差

C．x1，x2，…，xn的最大值

D．x1，x2，…，xn的中位数

B　[因为可以用极差、方差或标准差来描述数据的离散程度，所以要评估亩产量稳定程度，应该用样本数据的极差、方差或标准差．故选B.]

2．（2019·全国卷Ⅲ）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（　　）

A．0.5　　　　　　　  B．0.6

C．0.7  D．0.8

C　[根据题意阅读过《红楼梦》《西游记》的人数用韦恩图表示如下：

所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为＝0.7.]

3．（2019·合肥一模）科技研发是企业发展的驱动力量.2007年至2018年，某企业连续12年累计研发投入达4 100亿元，我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比．这12年间的研发投入（单位：

十亿元）用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示．

根据折线图和条形图，下列结论错误的是（　　）

A．2012年至2013年研发投入占营收比增量相比2017年至2018年增量大

B．2013年至2014年研发投入增量相比2015年至2016年增量小

C．该企业连续12年来研发投入逐年增加

D．该企业连续12年来研发投入占营收比逐年增加

D　[由折线图和条形图可得2012年至2013年研发投入占营收比增量相比2017年至2018年增量大，2013年至2014年研发投入增量相比2015年至2016年增量小，该企业连续12年来研发投入逐年增加，该企业连续12年来研发投入占营收比，有增有减，故选D.]

4．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：

件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（　　）

A．3,5  B．5,5

C．3,7  D．5,7

A　[甲组数据的中位数为65，由甲、乙两组数据的中位数相等，得y＝5.又甲、乙两组数据的平均值相等，∴×（56＋65＋62＋74＋70＋x）＝×（59＋61＋67＋65＋78），∴x＝3.故选A.]

5．（2019·汕头二模）在某次高中学科竞赛中，4 000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中有误的是（　　）

A．成绩在[70,80）分的考生人数最多

B．不及格的考生人数为1 000人

C．考生竞赛成绩的平均分约70.5分

D．考生竞赛成绩的中位数为75分

D　[由频率分布直方图可得，成绩在[70,80）的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；由频率分布直方图可得，成绩在[40,60）的频率为0.25，因此，不及格的人数为4 000×0.25＝1 000，故B正确；由频率分布直方图可得：

平均分等于45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5，故C正确；因为成绩在[40,70）的频率为0.45，在[70,80）的频率为0.3，所以中位数为70＋10×≈71.67，故D错误．故选D.]

二、填空题

6．已知样本数据x1，x2，…，xn的平均数＝5，则样本数据2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1的平均数为________．

11　[由x1，x2，…，xn的平均数＝5，得2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1的平均数为2＋1＝2×5＋1＝11.]

7．（2019·江苏高考）已知一组数据6,7,8,8,9,10，则该组数据的方差是________．

　[由题意，该组数据的平均数为＝8，所以该组数据的方差是[（6－8）2＋（7－8）2＋（8－8）2＋（8－8）2＋（9－8）2＋（10－8）2]＝.]

8．（2019·全国卷Ⅱ）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为____________．

0．98　[经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为＝0.98.]

三、解答题

9．某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：

（1）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；

（2）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；

（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．

[解]　

（1）由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是75,75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.

50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是66,68，故样本中位数为＝67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67.

（2）由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为＝0.1，＝0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1,0.16.

（3）由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．

10．（2019·石家庄模拟）“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称．某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分为100分（90分及以上为认知程度高）．现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组，第一组：

[20,25），第二组：

[25,30），第三组：

[30,35），第四组：

[35,40），第五组：

[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人．

（1）求x；

（2）求抽取的x人的年龄的中位数（结果保留整数）；

（3）从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为1～5组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中1～5组的成绩分别为93,96,97,94,90，职业组中1～5组的成绩分别为93,98,94,95,90.

①分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差；

②以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想．

[解]　

（1）根据频率分布直方图得第一组的频率为0.01×5＝0.05，∴＝0.05，∴x＝120.

（2）设中位数为a，则0.01×5＋0.07×5＋（a－30）×0.06＝0.5，

∴a＝≈32，则中位数为32.

（3）①5个年龄组成绩的平均数为1＝×（93＋96＋97＋94＋90）＝94，方差为s＝×[（－1）2＋22＋32＋02＋（－4）2]＝6.

5个职业组成绩的平均数为2＝×（93＋98＋94＋95＋90）＝94，方差为s＝×[（－1）2＋42＋02＋12＋（－4）2]＝6.8.

②从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更稳定（感想合理即可）．

1．（2018·全国卷Ⅰ）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是（　　）

A．新农村建设后，种植收入减少

B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

A　[设新农村建设前经济收入的总量为x，则新农村建设后经济收入的总量为2x.

建设前种植收入为0.6x，建设后种植收入为0.74x，故A不正确；

建设前其他收入为0.04x，建设后其他收入为0.1x，故B正确；

建设前养殖收入为0.3x，建设后养殖收入为0.6x，故C正确；

建设后养殖收入与第三产业收入的总和占建设后经济收入总量的58%，故D正确．]

2．为了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图．但不慎将部分数据丢失，只知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生人数为b，则a，b的值分别为（　　）

A．0.27,78  B．0.27,83

C．2.7,78  D．2.7,83

A　[由频率分布直方图知组距为0.1，

视力在4.3到4.4之间的频数为100×0.1×0.1＝1，

视力在4.4到4.5之间的频数为100×0.1×0.3＝3.

∵前4组的频数成等比数列，∴公比为3.

从而视力在4.6到4.7之间的频数最大，为1×33＝27，∴a＝0.27.

根据后6组的频数成等差数列，且频数之和为100－13＝87，

设公差为d，则6×27＋d＝87，∴d＝－5，

从而b＝4×27＋×（－5）＝78.]

3．（2019·郑州市第三次质量检测）某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12，若要使该总体的标准差最小，则4x＋2y的值是（　　）

A．12  B．14

C．16  D．18

A　[因为中位数为12，所以x＋y＝4，数据的平均数为×（2＋2＋3＋4＋x＋y＋20＋19＋19＋20＋21）＝11.4，要使该总体的标准差最小，即方差最小，所以（10＋x－11.4）2＋（10＋y－11.4）2＝（x－1.4）2＋（y－1.4）2≥22＝0.72，当且仅当x－1.4＝y－1.4，即x＝y＝2时取等号，此时总体标准差最小，4x＋2y＝12，故选A.]

4．某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获得的利润为30元，未售出的产品，每盒亏损10元．该大学生通过查询资料得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该大学生为这个开学季购进了160盒该产品，以x（单位：

盒，100≤x≤200）表示这个开学季内的市场需求量，y（单位：

元）表示这个开学季内经销该产品的利润．

（1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量x的众数和平均数；

（2）将y表示为x的函数；

（3）根据直方图估计利润y不少于4 000元的概率．

[解]　

（1）由题中频率分布直方图得，这个开学季内市场需求量x的众数是150盒，

需求量在[100,120）内的频率为0.005 0×20＝0.1，

需求量在[120,140）内的频率为0.010 0×20＝0.2，

需求量在[140,160）内的频率为0.015 0×20＝0.3，

需求量在[160,180）内的频率为0.012 5×20＝0.25，

需求量在[180,200]内的频率为0.007 5×20＝0.15.

则平均数＝110×0.1＋130×0.2＋150×0.3＋170×0.25＋190×0.15＝153（盒）．

（2）因为每售出1盒该产品获得的利润为30元，未售出的产品，每盒亏损10元，

所以当100≤x＜160时，y＝30x－10×（160－x）＝40x－1 600；

当160≤x≤200时，y＝160×30＝4 800.

所以y＝

（3）因为利润y不少于4 000元，所以当100≤x＜160时，由40x－1 600≥4 000，解得140≤x＜160；

当160≤x≤200时，y＝4 800＞4 000恒成立，所以140≤x≤200时，利润y不少于4 000元．

故由

（1）知利润y不少于4 000元的概率P＝1－0.1－0.2＝0.7.

1．下图是追踪调查200个某种电子元件寿命（单位：

h）所得到的频率分布直方图，其中300 h～400 h,400 h～500 h两组数据丢失，下面四个说法中有且只有一个与原数据相符，这个说法是（　　）

①寿命在300 h～400 h的频数是90；

②寿命在400 h～500 h所对应的矩形的面积是0.2；

③用频率分布直方图估计该种电子元件的平均寿命为（150×0.1＋250×0.15＋350×0.45＋450×0.15＋550×0.15）h；

④寿命超过400 h的频率为0.3.

A．①　　  B．②  

C．③　　  D．④

B　[若①正确，则300 h～400 h对应的频率为0.45，400 h～500 h对应的频率为0.15，则②错误，电子元件的平均寿命约为（150×0.1＋250×0.15＋350×0.45＋450×0.15＋550×0.15）h，则③正确，寿命超过400 h的频率为0.15＋0.15＝0.3，则④正确，故不符合题意；若②正确，则300 h～400 h对应的频率为0.4，则①错误，电子元件的平均寿命约为（150×0.1＋250×0.15＋350×0.4＋450×0.2＋550×0.15）h，则③错误，寿命超过400 h的频率为0.2＋0.15＝0.35，则④错误，故符合题意．故选B.]

2．气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位：

℃）：

①甲地：

5个数据的中位数为24，众数为22；

②乙地：

5个数据的中位数为27，总体均值为24；

③丙地：

5个数据中有1个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.

其中肯定进入夏季的地区有（　　）

A．①②  B．①③

C．②③  D．①②③

B　[甲地的5个数据的中位数为24，众数为22，则甲地连续5天的日平均温度的记录数据中必有22,22,24，其余2天的记录数据大于24，且不相等，故甲地符合进入夏季的标准．

乙地的5个数据的中位数为27，总体均值为24，当5个数据为19,20,27,27,27时，其连续5天的日平均温度中有低于22 ℃的，此时乙地不符合进入夏季的标准．

丙地的5个数据中有1个数据是32，总体均值为26，设其余4个数据分别为x1，x2，x3，x4，则总体方差s2＝×[（32－26）2＋（x1－26）2＋（x2－26）2＋（x3－26）2＋（x4－26）2]＝7.2＋[（x1－26）2＋（x2－26）2＋（x3－26）2＋（x4－26）2]．若x1≤21，则s2≥7.2＋5＝12.2，即s2>10.8，不满足题意，所以x1，x2，x3，x4均大于或等于22，故丙地符合进入夏季的标准．综上所述，肯定进入夏季的地区有①③.故选B.]

课后限时集训63

统计图表、用样本估计总体

建议用时：

45分钟

一、选择题

1．（2017·全国卷Ⅰ）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：

kg）分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（　　）

A．x1，x2，…，xn的平均数

B．x1，x2，…，xn的标准差

C．x1，x2，…，xn的最大值

D．x1，x2，…，xn的中位数

B　[因为可以用极差、方差或标准差来描述数据的离散程度，所以要评估亩产量稳定程度，应该用样本数据的极差、方差或标准差．故选B.]

2．（2019·全国卷Ⅲ）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（　　）

A．0.5　　　　　　　  B．0.6

C．0.7  D．0.8

C　[根据题意阅读过《红楼梦》《西游记》的人数用韦恩图表示如下：

所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为＝0.7.]

3．（2019·合肥一模）科技研发是企业发展的驱动力量.2007年至2018年，某企业连续12年累计研发投入达4 100亿元，我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比．这12年间的研发投入（单位：

十亿元）用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示．

根据折线图和条形图，下列结论错误的是（　　）

A．2012年至2013年研发投入占营收比增量相比2017年至2018年增量大

B．2013年至2014年研发投入增量相比2015年至2016年增量小

C．该企业连续12年来研发投入逐年增加

D．该企业连续12年来研发投入占营收比逐年增加

D　[由折线图和条形图可得2012年至2013年研发投入占营收比增量相比2017年至2018年增量大，2013年至2014年研发投入增量相比2015年至2016年增量小，该企业连续12年来研发投入逐年增加，该企业连续12年来研发投入占营收比，有增有减，故选D.]

4．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：

件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（　　）

A．3,5  B．5,5

C．3,7  D．5,7

A　[甲组数据的中位数为65，由甲、乙两组数据的中位数相等，得y＝5.又甲、乙两组数据的平均值相等，∴×（56＋65＋62＋74＋70＋x）＝×（59＋61＋67＋65＋78），∴x＝3.故选A.]

5．（2019·汕头二模）在某次高中学科竞赛中，4 000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中有误的是（　　）

A．成绩在[70,80）分的考生人数最多

B．不及格的考生人数为1 000人

C．考生竞赛成绩的平均分约70.5分

D．考生竞赛成绩的中位数为75分

D　[由频率分布直方图可得，成绩在[70,80）的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；由频率分布直方图可得，成绩在[40,60）的频率为0.25，因此，不及格的人数为4 000×0.25＝1 000，故B正确；由频率分布直方图可得：

平均分等于45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5，故C正确；因为成绩在[40,70）的频率为0.45，在[70,80）的频率为0.3，所以中位数为70＋10×≈71.67，故D错误．故选D.]

二、填空题

6．已知样本数据x1，x2，…，xn的平均数＝5，则样本数据2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1的平均数为________．

11　[由x1，x2，…，xn的平均数＝5，得2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1的平均数为2＋1＝2×5＋1＝11.]

7．（2019·江苏高考）已知一组数据6,7,8,8,9,10，则该组数据的方差是________．

　[由题意，该组数据的平均数为＝8，所以该组数据的方差是[（6－8）2＋（7－8）2＋（8－8）2＋（8－8）2＋（9－8）2＋（10－8）2]＝.]

8．（2019·全国卷Ⅱ）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为____________．

0．98　[经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为＝0.98.]

三、解答题

9．某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：

（1）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；

（2）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；

（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．

[解]　

（1）由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是75,75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.

50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是66,68，故样本中位数为＝67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67.

（2）由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为＝0.1，＝0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1,0.16.

（3）由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．

10．（2019·石家庄模拟）“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称．某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分为100分（90分及以上为认知程度高）．现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组，第一组：

[20,25），第二组：

[25,30），第三组：

[30,35），第四组：

[35,40），第五组：

[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人．

（1）求x；

（2）求抽取的x人的年龄的中位数（结果保留整数）；

（3）从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为1～5组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中1～5组的成绩分别为93,96,97,94,90，职业组中1～5组的成绩分别为93,98,94,95,90.

①分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差；

②以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想．

[解]　

（1）根据频率分布直方图得第一组的频率为0.01×5＝0.05，∴＝0.05，∴x＝120.

（2）设中位数为a，则0.01×5＋0.07×5＋（a－30）×0.06＝0.5，

∴a＝≈32，则中位数为32.

（3）①5个年龄组成绩的平均数为1＝×（93＋96＋97＋94＋90）＝94，方差为s＝×[（－1）2＋22＋32＋02＋（－4）2]＝6.

5个职业组成绩的平均数为2＝×（93＋98＋94＋95＋90）＝94，方差为s＝×[（－1）2＋42＋02＋12＋（－4）2]＝6.8.

②从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更稳定（感想合理即可）．

1．（2018·全国卷Ⅰ）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成