届高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语12命题及其关系充分条件与必要条件学案文北师大版.docx
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届高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语12命题及其关系充分条件与必要条件学案文北师大版
§1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件
最新考纲
考情考向分析
1.理解命题的概念.
2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.
3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.
命题的真假判断和充分必要条件的判定是考查的主要形式,多与集合、函数、不等式、立体几何中的线面关系相交汇,考查学生的推理能力,题型为选择、填空题,低档难度.
1.命题
用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫作命题,其中判断为真的语句叫作真命题,判断为假的语句叫作假命题.
2.四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性;
②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
3.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇏p
p是q的必要不充分条件
p⇏q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分又不必要条件
p⇏q且q⇏p
知识拓展
从集合的角度理解充分条件与必要条件
若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则关于充分条件、必要条件又可以叙述为:
(1)若A⊆B,则p是q的充分条件;
(2)若A⊇B,则p是q的必要条件;
(3)若A=B,则p是q的充要条件;
(4)若AB,则p是q的充分不必要条件;
(5)若AB,则p是q的必要不充分条件;
(6)若A⃘B且A⊉B,则p是q的既不充分又不必要条件.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“对顶角相等”是命题.( √ )
(2)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则綈q”.( × )
(3)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.( √ )
(4)当p是q的充要条件时,也可说成q成立当且仅当p成立.( √ )
(5)若p是q的充分不必要条件,则綈p是綈q的必要不充分条件.( √ )
题组二 教材改编
2.下列命题是真命题的是( )
A.矩形的对角线相等
B.若a>b,c>d,则ac>bd
C.若整数a是素数,则a是奇数
D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题
答案 A
3.“x-3=0”是“(x-3)(x-4)=0”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
答案 充分不必要
题组三 易错自纠
4.命题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是( )
A.若x C.若x>y,则x2>y2D.若x≥y,则x2≥y2 答案 B 解析 根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系,得命题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是“若x≤y,则x2≤y2”. 5.设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的( ) A.充要条件B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件 答案 C 解析 x>y⇏x>|y|(如x=1,y=-2), 但当x>|y|时,能有x>y. ∴“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件. 6.已知p: x>a是q: 2<x<3的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________. 答案 (-∞,2] 解析 由已知,可得{x|2<x<3}{x|x>a},∴a≤2. 题型一 命题及其关系 1.下列命题是真命题的是( ) A.若 = ,则x=y B.若x2=1,则x=1 C.若x=y,则 = D.若x<y,则x2<y2 答案 A 2.某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”,这句话的等价命题是( ) A.不拥有的人们会幸福B.幸福的人们不都拥有 C.拥有的人们不幸福D.不拥有的人们不幸福 答案 D 3.原命题为“△ABC中,若cosA<0,则△ABC为钝角三角形”,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( ) A.真,真,真B.假,假,真 C.真,真,假D.真,假,假 答案 B 解析 若cosA<0,A为钝角,则△ABC为钝角三角形,所以原命题为真,则逆否命题也为真;△ABC为钝角三角形,可能是B或者C为钝角,A可能为锐角,cosA>0.所以逆命题为假,则否命题也为假.故选B. 4.设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是____________. 答案 若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0 思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时,需注意: ①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写; ②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提. (2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例即可. (3)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假. 题型二 充分必要条件的判定 典例 (1)“0≤m≤1”是“函数f(x)=cosx+m-1有零点”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件 答案 A 解析 方法一 若0≤m≤1,则0≤1-m≤1, ∴cosx=1-m有解. 要使函数f(x)=cosx+m-1有零点, 只需|m-1|≤1,解得0≤m≤2,故选A. 方法二 函数f(x)=cosx+m-1有零点, 则|m-1|≤1,解得0≤m≤2, ∵{m|0≤m≤1}{m|0≤m≤2}. ∴“0≤m≤1”是“函数f(x)=cosx+m-1”有零点的充分不必要条件. (2)已知条件p: x>1或x<-3,条件q: 5x-6>x2,则綈p是綈q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案 A 解析 由5x-6>x2,得2 即q: 2 所以q⇒p,p⇏q,所以綈p⇒綈q,綈q⇏綈p, 所以綈p是綈q的充分不必要条件,故选A. 思维升华充分条件、必要条件的三种判定方法 (1)定义法: 根据p⇒q,q⇒p进行判断,适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法: 根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及字母范围的推断问题. (3)等价转化法: 根据一个命题与其逆否命题的等价性,进行判断,适用于条件和结论带有否定性词语的命题. 跟踪训练 (1)(2018届莆田一中月考)王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪,非常之观,常在于险远,而人之所罕至焉,故非有志者不能至也”,请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪,非常之观”的( ) A.充要条件B.既不充分又不必要条件 C.充分不必要条件D.必要不充分条件 答案 D 解析 非有志者不能至,是必要条件;但“有志”也不一定“能至”,不是充分条件. (2)设a,b∈R,则“(a-b)a2<0”是“a<b”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件 答案 A 解析 若“(a-b)a2<0”,则“a<b”,是真命题; 而若“a<b”,则“(a-b)a2<0”当a=0时不成立,是假命题.故选A. 题型三 充分必要条件的应用 典例已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,求m的取值范围. 解 由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10, ∴P={x|-2≤x≤10}. 由x∈P是x∈S的必要条件,知S⊆P. 则 ∴当0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件, 即所求m的取值范围是[0,3]. 引申探究 若本例条件不变,问是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件. 解 若x∈P是x∈S的充要条件,则P=S, ∴ 方程组无解, 即不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件. 思维升华充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意: (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 跟踪训练 (1)(2017·山西五校联考)已知p: (x-m)2>3(x-m)是q: x2+3x-4<0的必要不充分条件,则实数m的取值范围为________. 答案 (-∞,-7]∪[1,+∞) 解析 p对应的集合A={x|x<m或x>m+3}, q对应的集合B={x|-4<x<1}, 由p是q的必要不充分条件可知,BA, ∴m≥1或m+3≤-4, 即m≥1或m≤-7. (2)设n∈N+,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=________. 答案 3或4 解析 由Δ=16-4n≥0,得n≤4, 又n∈N+,则n=1,2,3,4. 当n=1,2时,方程没有整数根; 当n=3时,方程有整数根1,3, 当n=4时,方程有整数根2.综上可知,n=3或4. 等价转化思想在充要条件中的应用 典例已知p: ≤2,q: x2-2x+1-m2≤0(m>0),綈p是綈q的必要不充分条件,则实数m的取值范围为________. 思想方法指导等价转化思想是指在解题中将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题.本题中既有对题目中条件的化简,又有充分必要条件和集合间关系的转化. 解析 ∵綈p是綈q的必要不充分条件, ∴q是p的必要不充分条件. 即p是q的充分不必要条件, 由x2-2x+1-m2≤0(m>0), 得1-m≤x≤1+m(m>0). ∴q对应的集合为{x|1-m≤x≤1+m,m>0}. 设M={x|1-m≤x≤1+m,m>0}. 又由 ≤2,得-2≤x≤10, ∴p对应的集合为{x|-2≤x≤10}. 设N={x|-2≤x≤10}. 由p是q的充分不必要条件知,NM, ∴ 或 解得m≥9. ∴实数m的取值范围为[9,+∞). 答案 [9,+∞) 1.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( ) A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数,则它是负数” C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数” 答案 B 2.命题“若a>-3,则a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( ) A.1B.2C.3D.4 答案 B 解析 原命题正确,从而其逆否命题也正确;其逆命题为“若a>-6,则a>-3”是假命题,从而其否命题也是假命题.因此4个命题中有2个假命题. 3.“(2x-1)x=0”是“x=0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案 B 4.(2017·河南八市联考)命题“若a>b,则a+c>b+c”的否命题是( ) A.若a≤b,则a+c≤b+c B.若a+c≤b+c,则a≤b C.若a+c>b+c,则a>b D.若a>b,则a+c≤b+c 答案 A 解析 否命题是将原命题的条件和结论都否定,故命题“若a>b,则a+c>b+c”的否命题是“若a≤b,则a+c≤b+c”,故选A. 5.(2017·广东名校模拟)王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”,其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( ) A.充分条件B.必要条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件 答案 B 解析 “攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.故选B. 6.(2017·安徽江南十校联考)“a=0”是“函数f(x)=sinx- +a为奇函数”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件 答案 C 解析 显然当a=0时,f(x)=sinx- 为奇函数. 当f(x)为奇函数时,f(-x)+f(x)=0. 又f(-x)+f(x)=sin(-x)- +a+sinx- +a=0, 因此2a=0,故a=0. 所以“a=0”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件. 7.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件 答案 A 解析 若直线a和直线b相交,则平面α和平面β相交;若平面α和平面β相交,那么直线a和直线b可能平行或异面或相交,故选A. 8.下列结论错误的是( ) A.命题“若x2-3x-4=0,则x=4”的逆否命题为“若x≠4,则x2-3x-4≠0” B.“x=4”是“x2-3x-4=0”的充分条件 C.命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆命题为真命题 D.命题“若m2+n2=0,则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0,则m≠0或n≠0” 答案 C 解析 C项命题的逆命题为“若方程x2+x-m=0有实根,则m>0”.若方程有实根,则Δ=1+4m≥0, 即m≥- ,不能推出m>0,所以不是真命题. 9.“若a≤b,则ac2≤bc2”,则原命题及命题的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________. 答案 2 解析 其中原命题和逆否命题为真命题,逆命题和否命题为假命题. 10.设p: 实数x,y满足x>1且y>1,q: 实数x,y满足x+y>2,则p是q的________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充分不必要 解析 当x>1,y>1时,x+y>2一定成立,即p⇒q, 当x+y>2时,可令x=-1,y=4,即q⇏p, 故p是q的充分不必要条件. 11.已知命题p: a≤x≤a+1,命题q: x2-4x<0,若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是________. 答案 (0,3) 解析 令M={x|a≤x≤a+1}, N={x|x2-4x<0}={x|0<x<4}. ∵p是q的充分不必要条件,∴MN, ∴ 解得0<a<3. 12.有下列几个命题: ①“若a>b,则a2>b2”的否命题; ②“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题; ③“若x2<4,则-2<x<2”的逆否命题. 其中真命题的序号是________. 答案 ②③ 解析 ①原命题的否命题为“若a≤b,则a2≤b2”,错误; ②原命题的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,正确;③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤-2,则x2≥4”,正确. 13.(2018·邵阳二模)“m>1”是“函数f(x)=3x+m-3 在区间[1,+∞)上无零点”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件 答案 A 解析 函数f(x)=3x+m-3 在区间[1,+∞)上无零点,则31+m>3 ,即m+1> ,解得m> , 故“m>1”是“函数f(x)=3x+m-3 在区间[1,+∞)上无零点”的充分不必要条件,故选A. 14.已知条件p: 2x2-3x+1≤0,条件q: x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________. 答案 解析 方法一 命题p为 , 命题q为{x|a≤x≤a+1}. 綈p对应的集合A= ,
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